Quelltext der Seite Wilcoxon-Mann-Whitney-Test

Der '''Wilcoxon-Mann-Whitney-Test''' (auch: '''Mann-Whitney-U-Test''', '''U-Test''', '''Wilcoxon-Rangsummentest''') ist die zusammenfassende Bezeichnung für zwei äquivalente [[Nichtparametrische Statistik|nichtparametrische]] [[Statistischer Test|statistische Tests]] für Rangdaten ([[Ordinalskala|ordinalskalierte Daten]]). Sie testen, ob es bei Betrachtung zweier Populationen gleich wahrscheinlich ist, dass ein zufällig aus der einen Population ausgewählter Wert größer oder kleiner ist als ein zufällig ausgewählter Wert aus der anderen Population. Bei Verwerfung dieser Hypothese ist anzunehmen, dass die Werte aus der einen Population dazu tendieren, größer bzw. kleiner zu sein als die aus der anderen Population. Der Mann-Whitney-U-Test bzw. Wilcoxon-Rangsummentest ist – anders als der [[Median-Test]] – nicht von vornherein ein  Test zur Gleichheit zweier Mediane. Dies ist nur unter der Voraussetzung der Fall, dass die Verteilungsform und Streuung der abhängigen Variable in beiden Gruppen gleich ist.

Die Tests wurden von [[Henry Mann]] und Donald Whitney (U-Test, 1947) bzw. [[Frank Wilcoxon]] (Wilcoxon-Rangsummentest, 1945) entwickelt.<ref>Frank Wilcoxon: ''Individual Comparisons by Ranking Methods.'' In: ''Biometrics Bulletin.'' 1, 1945, S. 80–83, {{JSTOR|3001968}}.</ref><ref>Henry Mann, Donald Whitney: ''On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other.'' In: ''Annals of mathematical Statistics.'' 18, 1947, S. 50–60, [[doi:10.1214/aoms/1177730491]].</ref> Die zentrale Idee des Tests wurde bereits 1914 von dem deutschen Pädagogen [[Gustaf Deuchler]] entwickelt.<ref>William H. Kruskal: ''Historical Notes on the Wilcoxon Unpaired Two-Sample Test.'' In: ''Journal of the American Statistical Association.'' Band 52, 1957, S. 356–360, {{JSTOR|2280906}}.</ref>

Praktisch findet der Wilcoxon-Rangsummentest bzw. der U-Test als Alternative zum [[t-Test]] für unabhängige Stichproben Anwendung, wenn dessen Voraussetzungen verletzt sind. Dies ist unter anderem der Fall, wenn die zu testende Variable nur Ordinalskalenniveau aufweist, oder wenn [[Intervallskala|intervallskalierte]] Variablen in den beiden Populationen nicht (näherungsweise) normalverteilt sind.

Der Wilcoxon-Rangsummentest für zwei unabhängige Stichproben ist nicht zu verwechseln mit dem [[Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test]], der bei zwei verbundenen (gepaarten) Stichproben Anwendung findet.

== Annahmen ==
Für den Test zieht man eine Stichprobe <math>x_1, \ldots, x_n</math> vom Umfang <math>n</math> aus der 1. Population und unabhängig davon eine Stichprobe <math>y_1,\ldots,y_m</math> vom Umfang <math>m</math> aus der 2. Population. Für die zugehörigen unabhängigen Stichprobenvariablen <math>X_1,\ldots,X_n</math> und <math>Y_1,\ldots,Y_m</math> gilt <math>X_i \sim F_X</math> und <math>Y_i \sim F_Y</math>, wobei  <math>F_X, F_Y</math> [[Verteilungsfunktion]]en sind. Der Wilcoxon-Mann-Whitney-Test ist ein valider Test unter verschiedenen Annahmen und Hypothesen<ref>{{Literatur |Autor=Michael P. Fay, Michael A. Proschan |Titel=Wilcoxon-Mann-Whitney or t-test? On assumptions for hypothesis tests and multiple interpretations of decision rules |Sammelwerk=Statistics surveys |Band=4 |Datum=2010 |ISSN=1935-7516 |Seiten=1–39 |DOI=10.1214/09-SS051 |PMC=2857732 |PMID=20414472}}</ref>. Eine sehr allgemeine Formulierung ist wie folgt<ref>{{Literatur |Autor=George W. Divine, H. James Norton, Anna E. Barón, Elizabeth Juarez-Colunga |Titel=The Wilcoxon–Mann–Whitney Procedure Fails as a Test of Medians |Sammelwerk=[[The American Statistician]] |Band=72 |Nummer=3 |Datum=2018-07-03 |ISSN=0003-1305 |Seiten=278–286 |DOI=10.1080/00031305.2017.1305291}}</ref>.

# Die untersuchte Variable ist mindestens ordinal.
#Die Nullhypothese ist: Es ist gleich wahrscheinlich, dass ein zufällig aus der einen Population ausgewählter Wert größer oder kleiner ist als ein zufällig ausgewählter Wert aus der anderen Population (notiert als <math>H_0:P(X>Y) = P(X<Y)</math> oder  <math>H_0:P(X<Y) + 0.5P(X=Y) = 0.5 </math>)
#Die Alternativhypothese ist: Es ist '''nicht''' gleich wahrscheinlich, dass ein zufällig aus der einen Population ausgewählter Wert größer oder kleiner ist als ein zufällig ausgewählter Wert aus der anderen Population (notiert als <math>H_1:P(X>Y)\neq P(X<Y)</math> oder <math>H_1:P(X<Y) + 0.5P(X=Y) \neq 0.5 </math>)
#Wenn die Nullhypothese wahr ist, dann sind die beiden Verteilungen gleich:  <math>F_X=F_Y</math>.
Unter diesen Annahmen ist der Test exakt und konsistent.

Verschiedene andere Perspektiven auf den Wilcoxon-Mann-Whitney-Test sind Spezialfälle dieser allgemeinen Formulierung unter stärkeren Annahmen.

# Unter der Annahme, dass  <math>F_X</math> bzw. <math>F_Y</math>, stetig sind und sich nur um eine Verschiebung <math>a</math> voneinander unterscheiden, das heißt: <math>F_Y(x)=F_X(x-a)\,</math>. Weil die beiden Verteilungsfunktionen bis auf Verschiebung gleich sind, muss insbesondere <math>\sigma_X=\sigma_Y</math> (Varianzhomogenität) gelten. D.&nbsp;h. bei Ablehnung der Varianzhomogenität durch den [[Bartlett-Test]] oder [[Levene-Test]] unterscheiden sich die beiden Zufallsvariablen X und Y nicht nur durch eine Verschiebung.
#* Nullhypothese: Verschiebung ist 0, <math>H_0: a=0 </math>, oder Gleichheit der Mediane der zwei Populationen, <math>H_0: \tilde{X}=\tilde{Y} </math>
#* Alternativhypothese: Verschiebung ist ungleich 0, <math>H_A: a \neq 0 </math>, oder Ungleichheit der Mediane der zwei Populationen <math>H_A: \tilde{X} \neq \tilde{Y} </math>.
# Unter der zusätzlichen Annahme, dass der arithmetische Mittelwert für beide Populationen existiert
## Nullhypothese: Gleichheit der Populationsmittelwerte, <math>H_0:\bar{X}=\bar{Y} </math>
## Alternativhypothese: Ungleichheit der Populationsmittelwerte, <math>H_1:\bar{X}\neq \bar{Y} </math>

Dies folgt, da unter allen alternativen Perspektiven die Nullhypothese (zusammen mit den Annahmen) Gleichheit der Verteilungen impliziert und die Alternativhypothese genau dann wahr ist wenn <math>P(X>Y)\neq P(X<Y)</math>.

== Teststatistik ==

Es gibt zwei Teststatistiken: die ''Mann-Whitney-U-Statistik'' <math>U</math> und die ''Wilcoxon-Rangsummenstatistik'' <math>W_{m,n}</math>. Aufgrund des Zusammenhangs zwischen den Teststatistiken

:<math>W_{m,n} = U + \frac{m(m+1)}{2}</math>

sind der Wilcoxon-Rangsummentest und der Mann-Whitney-U-Test äquivalent.

=== Mann-Whitney-U-Statistik ===

Die [[Teststatistik]] ist die Mann-Whitney-[[U-Statistik]]:

:<math>U = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n S(x_i,y_j)</math>,

worin <math>S(x,y) = 1</math>, wenn <math>y < x</math>, <math>S(x,y) = \frac{1}{2}</math>, wenn <math>x = y</math>, und sonst <math>S(x,y) = 0</math> ist. Abhängig von der Alternativhypothese wird die Nullhypothese abgelehnt für zu kleine oder zu große Werte von <math>U</math>. In dieser Form findet er sich bei Mann und Whitney und wird oft als ''Mann-Whitney-U-Test'' bezeichnet.

==== Exakte kritische Werte ====

Die exakte Verteilung von <math>U</math> unter der Bedingung der Nullhypothese kann mittels [[Kombinatorik|kombinatorischer]] Überlegungen leicht gefunden werden. Allerdings steigt der Rechenaufwand für große Werte von <math>m,n</math> rasch an. Einige exakte kritische Werte liegen tabelliert vor und können für kleine Stichprobenumfänge der Tabelle unten entnommen werden (<math>\alpha=5\,\%</math> beim [[Zweiseitiger Test|zweiseitigen Test]] und <math>\alpha=2,5\,\%</math> beim [[Einseitiger Test|einseitigen Test]]).

Es gibt eine Rekursionsformel, die eine schrittweise und wenig rechenzeitintensive Ermittlung der kritischen Werte für geringe Stichprobengrößen erlaubt.<ref>A. Löffler: ''Über eine Partition der natürlichen Zahlen und ihre Anwendung beim U-Test.'' In: ''Wiss. Z. Univ. Halle.'' Band XXXII, Heft 5 1983, S. 87–89. ([https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f5/LoefflerWilcoxonMannWhitneyTest.pdf German_version], [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/1/19/MannWhitney_151102.pdf English_translation])</ref>

==== Approximative kritische Werte ====

Für <math>m>3</math>, <math>n>3</math> und <math>m+n>19</math> kann

:<math>U \approx N\left(\frac{m\,n}{2}; \frac{n\,m\,(n+m+1)}{12}\right)</math>

durch die Normalverteilung approximiert werden.<ref>B. Rönz, H. G. Strohe (Hrsg.): ''Lexikon Statistik.'' Gabler, Wiesbaden 1994, ISBN 3-409-19952-7.</ref> Die kritischen Werte ergeben sich dann aus den kritischen Werten der approximativen Normalverteilung.

=== Wilcoxon-Rangsummenstatistik ===

Die Wilcoxon-Rangsummenstatistik ist
:<math>W_{m,n} = \sum_{i=1}^m R(X_i)</math>

mit <math>R(X_i)</math> der Rang der i-ten X in der gepoolten, geordneten [[Stichprobe]]. In dieser Form trägt der Test häufig die Bezeichnung ''Wilcoxon-Rangsummentest''.

==== Exakte kritische Werte ====

Die exakte Verteilung von <math>W_{m,n}</math> unter der Bedingung der Nullhypothese kann mittels [[Kombinatorik|kombinatorischer]] Überlegungen leicht gefunden werden. Allerdings steigt der Rechenaufwand für große Werte von <math>m,n</math> rasch an. Man kann die exakten kritischen Werte <math>w</math> zum Signifikanzniveau <math>\alpha</math> mittels einer [[Rekursionsformel]] berechnen:

:<math>P(W_{m-1,n}=w) = \alpha</math> (oder <math>=\alpha/2</math> oder <math>=1-\alpha</math> oder <math>=1-\alpha/2</math>)

Die Formel entsteht, wenn man konditioniert auf die Bedingung, ob der letzte Wert in der Anordnung ein × (...X) oder ein Y (...Y) ist.

:<math>P(W_{m,n}=w) = P(W_{m,n}=w|...X)P(...X) + P(W_{m,n}=w|...Y)P(...Y)= \,</math>
::::::<math>= P(W_{m-1,n}=w-m-n)\frac{m}{m+n} + P(W_{m,n-1}=w)\frac{n}{m+n}</math>

==== Approximative kritische Werte ====

Für <math>m>25</math> oder <math>n>25</math> (auch: <math>m>10</math> oder <math>n>10</math>) kann die Teststatistik

:<math>W_{m,n} \approx N\left(\frac{m\,(n+m+1)}{2}; \frac{n\,m\,(n+m+1)}{12}\right)</math>

durch die [[Normalverteilung]] approximiert werden.<ref>H. Rinne: ''Taschenbuch der Statistik.'' 3. Auflage. Verlag Harri Deutsch, 2003, S. 534.</ref><ref>S. Kotz, C. B. Read, N. Balakrishnan: ''Encyclopedia of Statistical Sciences.'' Wiley, <!-- Band ?, -->2003, S. 208.</ref> Die kritischen Werte ergeben sich dann aus den kritischen Werten der approximativen Normalverteilung.

=== Einseitige Hypothesen ===

Der Test kann auch für die einseitigen Hypothesen

:<math>H_0: a\leq 0\text { vs. }H_1:a>0 </math> bzw.

:<math>H_0: a\geq 0\text { vs. }H_1:a<0 </math>

formuliert werden.

== Beispiel ==

Aus den Daten der allgemeinen Bevölkerungsumfrage der Sozialwissenschaften 2006 wurden zufällig 20 Personen gezogen und ihr Nettoeinkommen ermittelt:

{| class="wikitable"
|- align="right"
| align="left" | Rang           || 1 || 2   ||   3 || 4   || 5   ||   6 ||   7 ||   8 ||   9 ||  10 || 11   || 12   ||   13 || 14   ||   15 ||   16 ||   17 ||   18 ||   19 || 20
|- align="right"
| align="left" | Nettoeinkommen || 0 || 400 || 500 || 550 || 600 || 650 || 750 || 800 || 900 || 950 || 1000 || 1100 || 1200 || 1500 || 1600 || 1800 || 1900 || 2000 || 2200 || 3500
|- align="right"
| align="left" | Geschlecht     || M || W   ||   M ||   W ||   M ||   W ||   M ||   M ||   W ||  W  ||    M ||    M ||    W ||    M ||    W ||    M ||    M ||    M ||    M ||   M
|}

Man hat zwei Stichproben vor sich, Stichprobe der Männer mit <math>13</math> Werten und Stichprobe der Frauen mit <math>7</math> Werten. Wir könnten nun prüfen, ob das Einkommen der Männer und Frauen gleich ist (zweiseitiger Test) oder das Einkommen der Frauen geringer (einseitiger Test). Da es unrealistisch ist anzunehmen, dass sich die Einkommen von Männer und Frauen nur um eine Verschiebung <math>a</math> voneinander unterscheiden, nehmen wir die allgemeinste Perspektive an. Das heißt, wir testen

{| class="wikitable"
! Zweiseitiger Test !! Einseitiger Test
|-
|<math>H_0: P(X>Y) = P(X<Y)  \text{  vs. } H_1:P(X>Y)\neq P(X<Y) </math>
|<math>H_0: P(X>Y) = P(X<Y)  \text{  vs. } H_1:P(X>Y)> P(X<Y) </math>
|}

Wir müssen zudem annehmen,  dass wenn die Nullhypothese gilt die Einkommensverteilungen komplett gleich sind.

Zunächst wird aus beiden Zahlenreihen je eine Prüfgröße <math>U</math> gebildet:

:<math>U_1=n_1 \cdot n_2 + \frac{n_1 \cdot (n_1+1)}{2} - R_1</math>

:<math>U_2=n_1 \cdot n_2 + \frac{n_2 \cdot (n_2+1)}{2} - R_2</math>

<math>n_1</math> und <math>n_2</math> sind dabei die Anzahlen der Werte pro Stichprobe, <math>R_1</math> und <math>R_2</math> sind die jeweiligen Summen aller Rangzahlen pro Stichprobe. (Sind mehrere Werte in beiden Datensätzen identisch, dann muss für ihre Ränge jeweils der [[Median]] bzw. das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]] eingetragen werden.) Für die folgenden Tests benötigt man das Minimum von <math>U_1</math> und <math>U_2</math>, also <math>\min(U) = \min(U_1, U_2)</math>.

Für unser Beispiel ergibt sich (Index M = Männer, W = Frauen)

:<math>R_M=151</math> und <math>U_M=31</math>.

:<math>R_W=59</math> und <math>U_W=60</math> und

:<math>\min(U)=31</math>.

Bei korrekter Berechnung muss gelten <math>R_1+R_2=(n_1+n_2)(n_1+n_2+1)/2</math> bzw. <math>U_1+U_2=n_1n_2</math>. Die Testgröße <math>\min(U)</math> wird nun mit den kritischen Wert(en) verglichen. Das Beispiel ist so gewählt, dass sowohl ein Vergleich mit den exakten kritischen Werten als auch mit den approximativen Werten möglich ist.

=== Zweiseitiger Test ===

==== Exakte kritische Werte ====

Anhand der untenstehenden Tabelle ergibt sich mit <math>n_1=13</math> und <math>n_2=7</math> ein kritischer Wert von <math>U_\text{krit} = 20</math> für ein Signifikanzniveau von <math>\alpha=5\,\%</math>. Abgelehnt wird die Nullhypothese, wenn <math>\min(U) \le U_\text{krit}</math> ist; dies ist hier aber nicht der Fall.

==== Approximative kritische Werte ====

Da die Teststatistik <math>U</math> approximativ normal verteilt ist, folgt, dass die

:<math>Z = \frac{U-\frac{n_1n_2}{2}}{\sqrt{\frac{n_1n_2(n_1+n_2+1)}{12}}} \approx N(0;1)</math>

verteilt ist. Für ein Signifikanzniveau von <math>\alpha=5\,\%</math> ergibt sich der Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese im zweiseitigen Test durch das 2,5-%- bzw. 97,5-%-Quantil der [[Standardnormalverteilung]] <math>N(0;1)</math> mit <math>[-1{,}96;+1{,}96]</math>. Es ergibt sich jedoch <math>z=\tfrac{31-45{,}5}{\sqrt{159{,}25}}\approx -1{,}15</math>, d.&nbsp;h., der Prüfwert liegt innerhalb des Intervalls und die Nullhypothese kann nicht abgelehnt werden.

=== Einseitiger Test ===

==== Exakte kritische Werte ====

Anhand der untenstehenden Tabelle ergibt sich mit <math>n_1=13</math> und <math>n_2=7</math> ein kritischer Wert von <math>U_\text{krit}=20</math> für ein Signifikanzniveau von <math>\alpha=2{,}5\,\%</math> (''anderes Signifikanzniveau als beim zweiseitigen Test!''). Abgelehnt wird die Nullhypothese, wenn <math>U_M\le  U_\text{krit}</math> ist (es ist das passende <math>U</math> für das gewählte einseitige Testproblem zu betrachten); dies ist hier nicht der Fall.

==== Approximative kritische Werte ====

Für ein Signifikanzniveau von <math>\alpha=5\,\%</math> ergibt sich der kritische Wert als das 5-%-Quantil der Standardnormalverteilung <math>N(0;1)</math> und der Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese als <math>[-1{,}65;+\infty[</math>. Es ergibt sich jedoch <math>z=\tfrac{31-45{,}5}{\sqrt{159{,}25}}\approx -1{,}15</math>, d.&nbsp;h., die Nullhypothese kann nicht abgelehnt werden.

== Tabelle der kritischen Werte der Mann-Whitney-U-Statistik ==

Die folgende Tabelle ist gültig für <math>\alpha=5\,\%</math> (zweiseitig) bzw. <math>\alpha=2{,}5\,\%</math> (einseitig) mit <math>n_2\leq n_1</math>. Der Eintrag „-“ bedeutet, dass die Nullhypothese in jedem Fall zu dem gegebenen Signifikanzniveau nicht abgelehnt werden kann. Z.&nbsp;B. ist:

:<math>P(U \le 55|H_0,n_1=20,n_2=10)\le0{,}025</math> und
:<math>P(U \le 56|H_0,n_1=20,n_2=10)>0{,}025,</math>

so dass 55 der geeignete kritische Wert für den einseitigen Test bei <math>\alpha=2{,}5\,\%</math> mit <math>n_1=20</math> und <math>n_2=10</math> ist.

{| class="wikitable"
|-
!
! colspan="40"| <math>n_1</math>
|-
!<math>n_2</math>!!1!!2!!3!!4!!5!!6!!7!!8!!9!!10!!11!!12!!13!!14!!15!!16!!17!!18!!19!!20!!21!!22!!23!!24!!25!!26!!27!!28!!29!!30!!31!!32!!33!!34!!35!!36!!37!!38!!39!!40
|- align="right"
|style="font-weight:bold"|1||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||-||0||0
|- align="right"
|style="font-weight:bold"|2||||-||-||-||-||-||-||0||0||0||0||1||1||1||1||1||2||2||2||2||3||3||3||3||3||4||4||4||4||5||5||5||5||5||6||6||6||6||7||7
|- align="right"
|style="font-weight:bold"|3||||||-||-||0||1||1||2||2||3||3||4||4||5||5||6||6||7||7||8||8||9||9||10||10||11||11||12||13||13||14||14||15||15||16||16||17||17||18||18
|- align="right"
|style="font-weight:bold"|4||||||||0||1||2||3||4||4||5||6||7||8||9||10||11||11||12||13||14||15||16||17||17||18||19||20||21||22||23||24||24||25||26||27||28||29||30||31||31
|- align="right"
|style="font-weight:bold"|5||||||||||2||3||5||6||7||8||9||11||12||13||14||15||17||18||19||20||22||23||24||25||27||28||29||30||32||33||34||35||37||38||39||40||41||43||44||45
|- align="right"
|style="font-weight:bold"|6||||||||||||5||6||8||10||11||13||14||16||17||19||21||22||24||25||27||29||30||32||33||35||37||38||40||42||43||45||46||48||50||51||53||55||56||58||59
|- align="right"
|style="font-weight:bold"|7||||||||||||||8||10||12||14||16||18||20||22||24||26||28||30||32||34||36||38||40||42||44||46||48||50||52||54||56||58||60||62||64||66||68||70||72||74
|- align="right"
|style="font-weight:bold"|8||||||||||||||||13||15||17||19||22||24||26||29||31||34||36||38||41||43||45||48||50||53||55||57||60||62||65||67||69||72||74||77||79||81||84||86||89
|- align="right"
|style="font-weight:bold"|9||||||||||||||||||17||20||23||26||28||31||34||37||39||42||45||48||50||53||56||59||62||64||67||70||73||76||78||81||84||87||89||92||95||98||101||103
|- align="right"
|style="font-weight:bold"|10||||||||||||||||||||23||26||29||33||36||39||42||45||48||52||55||58||61||64||67||71||74||77||80||83||87||90||93||96||99||103||106||109||112||115||119
|- align="right"
|style="font-weight:bold"|11||||||||||||||||||||||30||33||37||40||44||47||51||55||58||62||65||69||73||76||80||83||87||90||94||98||101||105||108||112||116||119||123||127||130||134
|- align="right"
|style="font-weight:bold"|12||||||||||||||||||||||||37||41||45||49||53||57||61||65||69||73||77||81||85||89||93||97||101||105||109||113||117||121||125||129||133||137||141||145||149
|- align="right"
|style="font-weight:bold"|13|||||||||||||||||||||||||||45||50||54||59||63||67||72||76||80||85||89||94||98||102||107||111||116||120||125||129||133||138||142||147||151||156||160||165
|- align="right"
|style="font-weight:bold"|14||||||||||||||||||||||||||||55||59||64||69||74||78||83||88||93||98||102||107||112||117||122||127||131||136||141||146||151||156||161||165||170||175||180
|- align="right"
|style="font-weight:bold"|15||||||||||||||||||||||||||||||64||70||75||80||85||90||96||101||106||111||117||122||127||132||138||143||148||153||159||164||169||174||180||185||190||196
|- align="right"
|style="font-weight:bold"|16||||||||||||||||||||||||||||||||75||81||86||92||98||103||109||115||120||126||132||137||143||149||154||160||166||171||177||183||188||194||200||206||211
|- align="right"
|style="font-weight:bold"|17||||||||||||||||||||||||||||||||||87||93||99||105||111||117||123||129||135||141||147||154||160||166||172||178||184||190||196||202||209||215||221||227
|- align="right"
|style="font-weight:bold"|18||||||||||||||||||||||||||||||||||||99||106||112||119||125||132||138||145||151||158||164||171||177||184||190||197||203||210||216||223||230||236||243
|- align="right"
|style="font-weight:bold"|19||||||||||||||||||||||||||||||||||||||113||119||126||133||140||147||154||161||168||175||182||189||196||203||210||217||224||231||238||245||252||258
|- align="right"
|style="font-weight:bold"|20||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||127||134||141||149||156||163||171||178||186||193||200||208||215||222||230||237||245||252||259||267||274
|}

== Implementierung ==
In vielen Softwarepaketen ist der Mann-Whitney-Wilcoxon-Test (der Hypothese der gleichen Verteilungen gegenüber geeigneten Alternativen) schlecht dokumentiert. Einige Pakete behandeln Bindungen falsch oder dokumentieren asymptotische Techniken nicht (z.&nbsp;B. Korrektur für Kontinuität). Bei einer Überprüfung im Jahr 2000 wurden einige der folgenden Pakete diskutiert:<ref>{{Literatur |Autor=Reinhard Bergmann, John Ludbrook, Will P.J.M. Spooren |Titel=Different Outcomes of the Wilcoxon–Mann–Whitney Test from Different Statistics Packages |Sammelwerk=The American Statistician |Band=54 |Nummer=1 |Datum=2000 |Seiten=72–77 |Sprache=en |DOI=10.1080/00031305.2000.10474513 |JSTOR=2685616}}</ref>
* [[MATLAB]] hat in seinem Statistics Toolbox eine Rangsummentest (ranksum) [http://www.mathworks.co.uk/help/stats/ranksum.html ranksum] Funktion.
* [[Programmiersprache|R]] implementiert den Test in seinem „stats“ [http://stat.ethz.ch/R-manual/R-patched/library/stats/html/wilcox.test.html <code>wilcox.test</code>] Paket.
* [[SAS Institute|SAS]] implementiert den Test in seinem PROC NPAR1WAY Verfahren.
* [[Python (Programmiersprache)]] hat eine [[Implementierung]] dieses Tests über [[SciPy]]<ref>{{cite web |url=http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.mannwhitneyu.html |title=scipy.stats.mannwhitneyu |work=SciPy v0.16.0 Reference Guide |author=<!--Staff writer(s); no by-line.--> |date=2015-07-24 |publisher=The Scipy community |access-date=2015-09-11 |quote=scipy.stats.mannwhitneyu(x, y, use_continuity=True): Computes the Mann–Whitney rank test on samples&nbsp;x and&nbsp;y.}}</ref>
* [[SigmaStat]] (SPSS Inc., Chicago, IL)
* [[SYSTAT]] (SPSS Inc., Chicago, IL)
* [[Java (Programmiersprache)|Java]] implementiert den Test über [[Apache Commons]]<ref>{{cite web |url=http://commons.apache.org/proper/commons-math/javadocs/api-3.3/org/apache/commons/math3/stat/inference/MannWhitneyUTest.html |title=org.apache.commons.math3.stat.inference.MannWhitneyUTest}}</ref>
* [[JMP (statistische Software)|JMP]] (SAS Institute Inc., Cary, NC)
* [[S-Plus]] ([[Mathsoft]], Inc., Seattle, WA)
* [[STATISTICA]] (StatSoft, Inc., Tulsa, OK)
* [[UNISTAT]] (Unistat Ltd, London)
* [[SPSS]] (SPSS Inc, Chicago)
* [[StatsDirect]] (StatsDirect Ltd, Manchester, UK) implementiert den test [http://www.statsdirect.com/help/Default.htm#nonparametric_methods/mann_whitney.htm über Analysis_Nonparametric_Mann-Whitney].
* [[Stata]] (Stata Corporation, College Station, TX) implementiert den Test in seinem  [https://www.stata.com/help.cgi?ranksum ranksum] Kommando.
* [[StatXact]] (Cytel Software Corporation, Cambridge, Massachusetts).
* [[PSPP]] implementiert den Test in seiner [https://www.gnu.org/software/pspp/manual/html_node/WILCOXON.html WILCOXON] Funktion.

== Alternativen ==
Falls die Annahme der Gleichheit der Populationsverteilungen unter der Nullhypothese nicht realistisch ist, sollte der Wilcoxon-Mann-Whitney Test nicht benutzt werden. In diesem Fall kann die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art selbst in sehr großen Stichproben stark erhöht sein<ref name=":0">{{Literatur |Autor=Julian D. Karch |Titel=Psychologists Should Use Brunner-Munzel’s Instead of Mann-Whitney’s U Test as the Default Nonparametric Procedure |Sammelwerk=Advances in Methods and Practices in Psychological Science |Band=4 |Nummer=2 |Datum=2021-04-01 |ISSN=2515-2459 |Seiten=2515245921999602 |DOI=10.1177/2515245921999602}}</ref>. Dieses Problem wurde durch die Entwicklung alternativer Tests behoben. Zwei Beispiele sind der Brunner-Munzel und der Fligner-Policello-Test<ref>{{Literatur |Autor=Arne C. Bathke, Frank Konietschke |Titel=Rank and Pseudo-Rank Procedures for Independent Observations in Factorial Designs : Using R and SAS |Auflage=1st ed.|Ort=Cham |Datum=2018 |ISBN=978-3-030-02914-2}}</ref>. Beide Tests sind ''approximativ'' exakte und konsistente Tests für <math>H_0:P(X>Y)= P(X<Y)</math>  vs  <math>H_1:P(X>Y)\neq P(X<Y)</math>, das heißt, sie testen die gleiche Hypothese wie der Wilcoxon-Mann-Whitney-Test, aber benötigen nicht die Annahme der Gleichheit der Verteilungen unter der Nullhypothese. Daher wird empfohlen den Brunner-Munzel Test anzuwenden, wenn die Annahme der Gleichheit der Populationsverteilungen unter der Nullhypothese nicht gemacht werden kann<ref name=":0" />.

== Literatur ==
* Herbert Büning, Götz Trenkler: ''Nichtparametrische statistische Methoden.'' de Gruyter, 1998, ISBN 3-11-016351-9.
* Sidney Siegel: ''Nichtparametrische statistische Methoden.'' 2. Auflage. Fachbuchhandlung für Psychologie, Eschborn bei Frankfurt am Main 1985, ISBN 3-88074-102-6.

== Weblinks ==
* [http://www.socscistatistics.com/tests/mannwhitney/ Social Science Statistics Mann-Whitney-Test] (engl., Möglichkeit zur Berechnung von Werten)
* [http://vassarstats.net/utest.html VassarStats Mann-Whitney-Test] (engl., Möglichkeit zur Berechnung von Werten)
* [http://www.statsdirect.com/help/nonparametric_methods/mwt.htm Mann-Whitney U test] (engl.)
* [http://statistikgrundlagen.de/ebook/chapter/rangsummentest/ Rangsummentest Mann-Whitney-U-Test] (Erklärung des Testverfahrens auf Deutsch und Beispiele)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Nichtparametrischer Test]]