Quelltext der Seite Wellenfunktion

Die '''Wellenfunktion''', meist als mathematische [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] von Ort und Zeit <math>\psi(\vec r,t)</math> geschrieben, gibt in der [[Wellenmechanik]]  den [[Quantenmechanischer Zustand|quantenmechanischen Zustand]] eines Systems aus einem oder mehreren [[Elementarteilchen]] an. Bei einem [[Quantensystem]] aus <math>n</math> Teilchen umfasst <math>\vec r = (\vec r_1, \vec r_2, \vec r_3, ..., \vec r_n)</math> die Ortskoordinaten sämtlicher Teilchen. Gegebenenfalls können Variablen für weitere Freiheitsgrade hinzugefügt werden. Der Funktionswert <math>\psi(\vec r,t)</math> selbst ist keine direkt messbare Größe, die Wellenfunktion enthält nach der [[Kopenhagener Deutung]] der [[Quantenmechanik]] aber jede physikalisch mögliche Information über die Werte der in diesem Zustand [[Physikalische Größe|messbaren Größen]]. In vielen Fällen ist es in der [[Quantenphysik]] aus prinzipiellen Gründen nicht möglich, schon vor einer Messung einer Größe den Messwert genau vorherzusagen, vielmehr wird dieser erst durch den [[Quantenmechanische Messung|Messprozess]] hervorgebracht. Die physikalisch mögliche Information ist dann darauf beschränkt, für die zu erwartenden Messergebnisse eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] vorherzusagen. Zum Beispiel ist es bei einem Quantensystem unmöglich, vor einer Ortsmessung den genauen Ort jedes Teilchens zu kennen. Die Wellenfunktion gibt durch ihr [[Betragsquadrat]] <math>|\psi(\vec r_1, \vec r_2, \vec r_3, ..., \vec r_n,t)|^2</math> die räumliche Verteilung der [[Wahrscheinlichkeit]] an, die  <math>n</math> Teilchen zu diesem Zeitpunkt an den Positionen <math>\vec r_1, \vec r_2, \vec r_3, ...\vec r_n</math> anzutreffen. Betrachtet man ein System, das nur ein einziges Teilchen enthält, kann man sich diese Wahrscheinlichkeitsverteilung unmittelbar im dreidimensionalen Raum vorstellen.

[[Erwin Schrödinger]] führte die Wellenfunktion 1926 ein, aufbauend auf dem Konzept der [[Materiewelle]], die zuvor von [[Louis de Broglie]] als zusätzliches Element zur Beschreibung der Bewegungen von Elementarteilchen vorgeschlagen worden war. Ihre räumliche Form und zeitliche Entwicklung werden durch die zugleich eingeführte [[Schrödinger-Gleichung]] bestimmt. Diese (oder eine der weiterentwickelten Gleichungen, wie z.&nbsp;B. die [[Pauli-Gleichung|Pauli-]], [[Dirac-Gleichung|Dirac-]] oder [[Klein-Gordon-Gleichung]]) beschreibt, welches Quantensystem betrachtet wird und wie es sich zeitlich entwickelt.

Für ein frei fliegendes Teilchen hat die Wellenfunktion die von anderen Wellen her bekannte mathematische Form. Für ein Quantensystem mit einem Teilchen in einem anziehenden [[Kraftfeld]] kann die Wellenfunktion [[stehende Welle]]n bilden, die den gebundenen [[Stationärer Zustand (Quantenmechanik)|stationären Zuständen]] mit diskreter („gequantelter“) Energie entsprechen. Bei genügend hoher Teilchenenergie kann die Wellenfunktion einen [[Streuzustand]] bilden, der aus zwei Komponenten besteht: einer ungestört einlaufenden Welle und einer vom Kraftfeld erzeugten auslaufenden [[Kugelwelle]]. Beide Komponenten überlagern sich im ganzen Raum. Bildet die Wellenfunktion ein räumlich konzentriertes [[Wellenpaket]], dann zerfließt dies im Allgemeinen sehr schnell, wenn es nicht durch ein Kraftzentrum in der Mitte zusammengehalten wird. In gewissen Fällen lässt die Funktion ein Verhalten erkennen, wie es der Vorstellung von einem Teilchen entspricht [[Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)#Harmonische Schwingung eines Wellenpakets und Kohärenter Zustand|(Beispiel: Harmonischer Oszillator)]].

Nur wenn die Betrachtung auf ein System mit einem einzigen Teilchen beschränkt bleibt, kann die Wellenfunktion eine im dreidimensionalen Raum vorstellbare Welle beschreiben. Gehören mehrere Teilchen zum betrachteten System, ist die Wellenfunktion eine Funktion der Ortskoordinaten ''aller'' Teilchen in einem entsprechend höherdimensionalen Raum. Zudem ist die Wellenfunktion komplexwertig und kann daher nicht einfach grafisch dargestellt werden. Wellenfunktionen, die zu einem Zustand mit wohldefinierter Energie <math>E</math> gehören ([[Energieeigenzustand]]), können stets als Produkt von zwei Faktoren geschrieben werden, von denen einer nur von der Zeit und der andere nur von dem Ort bzw. von den Orten abhängt. Die Abhängigkeit von der Zeit hat dann die Form eines komplexen Phasenfaktors <math>\exp{(-\mathrm i Et/\hbar)}</math>. (<math>\hbar </math> ist die reduzierte [[Planck-Konstante]].) Der andere Faktor, der nur vom Ort (bzw. den Orten) abhängig ist, kann in vielen Fällen reellwertig gewählt werden und ist dann im Fall eines Einteilchensystems in üblicher Form grafisch darstellbar.

Da die Wellenfunktion keine messbare physikalische Größe darstellt, ist sie zunächst als ein mathematisches Hilfsmittel zur Berechnung von möglichen Messergebnissen anzusehen. Ob sie unabhängig davon auch als ein Gegenstand der realen Welt existiert, wird seit ihrer Einführung immer noch kontrovers diskutiert<ref>{{Literatur |Autor=Mauro Dorato |Titel=Laws of nature and the reality of the wave function |Sammelwerk=Synthese |Band=192 |Nummer=10 |Datum=2015 |Seiten=3179-3201 |DOI=10.1007/s11229-015-0696-2 |Sprache=en}}</ref> (siehe auch [[Interpretationen der Quantenmechanik]]).

== Von Teilchenbahnen zur Vorstellung einer Wellenbewegung ==
Um den Ort eines punktförmigen Teilchens im Raum mathematisch zu beschreiben, braucht man die Werte seiner drei räumlichen [[Koordinate]]n <math>\vec r = (x,y,z)</math> in jedem Moment (<math>t</math>); für ''N'' Teilchen braucht man analog 3''N'' Ortskoordinaten. Diese stellen im 3''N''-dimensionalen [[Konfigurationsraum]] in jedem Moment einen Punkt dar, der den aktuellen räumlichen Zustand des Systems angibt. In der Zeit bewegt dieser Punkt sich längs der [[Trajektorie (Physik)|Trajektorie]] des Systems voran. Für diese Bewegung im Konfigurationsraum stellt die [[klassische Mechanik]] mittels des [[Hamiltonsches Prinzip|Hamiltonschen Prinzips]] eine Gleichung bereit, die in gleicher Form in der Optik als [[Eikonal]]gleichung auftritt, wenn man (im gewöhnlichen 3-dimensionalen Raum) von der [[Wellenoptik]] ausgehend die [[geometrische Optik]] als Näherung auffasst und nun zum Beispiel den Weg eines aus Lichtwellen gebildeten Lichtstrahls bestimmen will. Angesichts des Versagens der klassischen Mechanik in der [[Atomphysik]] nahm Schrödinger diesen rein mathematisch motivierten Grundgedanken zum Ausgangspunkt, als er nach einer Abänderung der klassischen Mechanik suchte, die der gewohnten physikalischen Anschauung nicht so fremd wäre wie die 1925 von [[Werner Heisenberg]] und anderen entdeckte [[Matrizenmechanik]].

{{Zitat
 |Text=Vielleicht ist unsere klassische Mechanik das volle Analogon der geometrischen Optik und als solches falsch, nicht in Übereinstimmung mit der Wirklichkeit, sie versagt, sobald die Krümmungsradien und Dimensionen der Bahn nicht mehr groß sind gegen eine gewisse Wellenlänge, der im [Konfigurations]-Raum  reale Bedeutung zukommt. Dann gilt es, eine „undulatorische Mechanik“ zu suchen - und der nächstliegende Weg dazu ist wohl die wellentheoretische Ausgestaltung des Hamiltonschen Bildes.
 |Autor=Erwin Schrödinger
 |Quelle=''Quantisierung als Eigenwertproblem.'' In: ''Annalen der Physik.'' Bd. 79, 1926, S. 497}}

Welche physikalische Größe der Träger einer „Materiewelle“ im Konfigurationsraum sein könnte, blieb dabei zunächst völlig offen; Schrödinger nannte sie „Feldskalar“. (Ähnlich dazu hieß es in den frühen optischen Wellentheorien so lange „Lichterregung“, bis durch die [[Maxwellsche Elektrodynamik]] klar wurde, dass es sich um das [[Elektromagnetisches Feld|elektromagnetische Feld]] handelt.) Für die Frequenz und Wellenlänge der Materiewelle hingegen gab es für Teilchen in freier Bewegung die aus [[Quantenhypothese]] und [[Relativitätstheorie]] abgeleiteten [[Materiewelle#Die Einstein-de-Broglie-Beziehungen|Einstein-de-Broglie-Beziehungen]] zu Energie und Impuls des Teilchens. Ausgehend von der Idee, dass die stationären Zustände der Atome, die mit ihren bestimmten Energiestufen im Rahmen der klassischen Mechanik nicht zu verstehen sind, mit [[Stehende Welle|stehenden]] statt fortschreitenden Wellen darstellbar wären, fand Schrödinger die dazu geeignete [[Eigenwertgleichung]], die als [[Schrödingergleichung#Wege zur Schrödingergleichung|zeitunabhängige Schrödingergleichung]] bezeichnet wird. Lösungen dieser Gleichung sind Funktionen, die in jedem Punkt die Amplitude der stehenden Welle angeben. Für ein System mit anziehendem [[Coulomb-Potential]] erhielt Schrödinger Lösungen in räumlich konzentrierter Form nur für bestimmte Energiewerte unterhalb <math>E=0</math>, mathematisch als Eigenwerte bezeichnet. Im Fall des [[Wasserstoff|H-Atoms]] stimmten sie genau mit den Energien der aus dem [[Bohrsches Atommodell|Bohrschen Atommodell]] bekannten stationären Zustände überein. Große Amplituden haben diese Wellenfunktionen nur in einem Bereich von der Größe des Atoms, außerhalb fallen sie exponentiell ab.

Aus der zeitunabhängigen Schrödingergleichung ergibt sich auf einfachem Weg die Verallgemeinerung zu einer [[Wellengleichung]], die auch bei nicht-stationärem Verhalten erfüllt sein muss, die also eine [[Bewegungsgleichung]] darstellt und als [[Schrödingergleichung|zeitabhängige Schrödingergleichung]] bezeichnet wird. Da diese Bewegungsgleichung im [[Komplexe Zahl|komplexen Raum]] formuliert werden muss, ist ihre Lösung im Allgemeinen eine Funktion mit komplexen Funktionswerten. Schon deshalb kann <math>\psi(\vec r,t)</math> nicht unbedingt die Bedeutung einer realen physikalischen Größe zukommen. <math>\psi(\vec r,t)</math> ist in der Regel nicht [[Messung|messbar]], sondern dient nur der mathematischen Beschreibung des quantenmechanischen Zustands eines physikalischen Systems.

Ein detaillierter Hinweis darauf, wie die Amplitude der Wellenfunktion mit der Anwesenheit von Teilchen verknüpft ist, ergibt sich, wenn man ihre Veränderung durch eine Störung des Systems berechnet. Die erfolgreiche Erklärung der Aufspaltung der [[Energieniveau]]s des H-Atoms durch ein äußeres elektrisches Feld ([[Starkeffekt]]), sowie der Übergangsraten bei der Absorption oder Emission entsprechender Lichtwellen, leitete Schrödinger zu der {{"|Hypothese, dass die Ladung des Elektrons nicht in einem Punkt konzentriert ist, sondern proportional zur Größe <math>|\psi(\vec r,t)|^2</math> über den ganzen Raum verteilt ist.}}

Die Wellenmechanik zeigt gegenüber der kurz zuvor entwickelten Matrizenmechanik zwei zu Beginn wichtige Vorteile: Sie erlaubt zum einen auf einfache Weise die Berechnung von instationären Phänomenen, also von Prozessen der Veränderung, und sie eröffnet zum anderen die Möglichkeit, sich die Wellenfunktion als eine räumliche Welle im dreidimensionalen Raum denken zu können, also diejenigen Prozesse anschaulich zu verstehen, die bei Quantensystemen von der Größe der Atome abhängen. Der in der Einleitung erwähnte Streuzustand ist hierfür ein Beispiel. Diese Veranschaulichung ist allerdings nur möglich, wenn das betrachtete System so weit vereinfacht wird, dass es nur ein einziges Teilchen enthält. Bei ''N'' Teilchen müsste man sich ein Wellenfeld im 3''N''-dimensionalen Raum vorstellen, nicht ''N'' Wellenfelder (unterscheidbarer Art) im dreidimensionalen Raum.

Aus der Wellenfunktion lässt sich das zu erwartende Ergebnis jeder Messung berechnen, allerdings oft nur als Wahrscheinlichkeitsverteilung vieler möglicher Messwerte. Gerade die letztgenannte Einschränkung entspricht den Beobachtungen. Misst man zum Beispiel im Beugungsversuch am [[Doppelspaltexperiment|Doppelspalt]] auf einem Schirm den Auftreffort von Elektronen, die aus einer praktisch punktförmigen Quelle einzeln emittiert wurden und einen Doppelspalt passiert haben, findet man eine breite Verteilung, obwohl alle Elektronen am Anfang im selben physikalischen Zustand gewesen sind, der sich bis zum Auftreffen am Schirm auch in gleicher Weise entwickelt haben müsste. Zudem zeigt diese Verteilung dieselben Interferenzstreifen, die für die [[Interferenz (Physik)|Interferenz]] von Wellen vorhergesagt werden, wenn ihre Wellenlänge den von den Einstein-de Broglie-Beziehungen bestimmten Wert hat.

== Definition ==

=== Entwicklungskoeffizienten des Zustandsvektors ===
Formal betrachtet sind die Wellenfunktionen die Entwicklungskoeffizienten des quantenmechanischen [[Zustandsvektor]]s im Orts- beziehungsweise Impulsraum. Es ist in [[Dirac-Notation]]
:<math>\begin{align}
\psi(\vec x, t) &= \langle x | \psi (t) \rangle \\
\tilde \psi(\vec p,t) &= \langle p |\psi(t)\rangle
\end{align}</math>
mit
* dem Zustandsvektor <math>|\psi \rangle</math>
* den [[Kovektor]]en <math>\langle x|</math> zu den Ortseigenzuständen <math> |x\rangle</math>
* den Kovektoren <math>\langle p|</math> zu den Impulseigenzuständen <math> |p\rangle</math>
sodass gilt:
:<math>|\psi \rangle = \int \mathrm d^3\! \vec x\, |x\rangle \langle x | \psi \rangle = \int \mathrm d^3\! \vec x\, |x \rangle\, \psi(\vec x)</math>
:<math>|\psi \rangle = \int \mathrm d^3\! \vec p\, |p\rangle \langle p | \psi \rangle = \int \mathrm d^3 \!\vec p\, |p \rangle \, \tilde\psi(\vec p)</math>
Die Orts- und Impulseigenzustände sind die [[Eigenzustand|Eigenzustände]] des Ortsoperators <math>\hat x</math> beziehungsweise Impulsoperators <math>\hat p</math>, für die <math>\hat x |x \rangle = x |x \rangle</math> und <math>\hat p |p \rangle = p |p \rangle</math> gilt. Sie entsprechen den (physikalisch nicht realisierbaren) Zuständen mit scharf definiertem Ort bzw. Impuls.  Die Wellenfunktionen im Orts- und im Impulsraum sind normiert, da der Zustandsvektor bereits normiert ist:
:<math>1 = \langle \psi | \psi \rangle = \int \mathrm d^3\! \vec x\, \psi^* \! (\vec x) \, \psi(\vec x) = \int \mathrm d^3\! \vec p\, \tilde \psi^*\! (\vec p)\, \tilde \psi(\vec p)</math>

=== Lösung der Bewegungsgleichung ===
Von praktischer Bedeutung sind die Wellenfunktionen als Lösung der Bewegungsgleichungen im Orts- oder Impulsraum. Dabei macht man sich zunutze, dass der Ortsoperator in der Ortsbasis ein Multiplikationsoperator und der [[Impulsoperator]] in der Ortsbasis ein [[Differentialoperator]] ist. In der Impulsbasis sind die Rollen vertauscht, dort ist der Ortsoperator ein Differentialoperator und der Impulsoperator ein Multiplikationsoperator.

Die Schrödinger-Gleichung lautet in der basisunabhängigen Dirac-Notation
:<math>\mathrm i \hbar \partial_t |\psi\rangle = \frac{\hat p^2}{2m} |\psi\rangle + V(\hat x) |\psi\rangle</math>
und im Ortsraum
:<math>\mathrm i \hbar \partial_t \psi(\vec x,t) = \frac{- \hbar^2}{2m} \Delta \psi(\vec x,t) + V(\vec x) \psi(\vec x,t)</math>
mit
* der [[Reduzierte Planck-Konstante|reduzierten Planck-Konstante]] <math>\hbar</math>,
* dem [[Laplace-Operator]] <math>\Delta</math>,
* der [[Masse (Physik)|Masse]] des Teilchens <math>m</math> und
* einem ortsabhängigen [[Potential (Physik)|Potential]] <math>V(\vec x)</math>;
alle (im Rahmen dieses Artikels behandelten) Eigenschaften der Wellenfunktion, die die nichtrelativistische Schrödinger-Gleichung löst, lassen sich auf den relativistischen Fall der Klein-Gordon- oder der Dirac-Gleichung verallgemeinern.

Zwar ist die Schrödinger-Gleichung keine [[Wellengleichung]] im Sinn der klassischen Physik, doch ist eine Lösung der Schrödinger-Gleichung im Ortsraum bei verschwindendem Potential eine [[ebene Welle]], dargestellt durch die Funktion
:<math>\psi(\vec x,t) = \exp(\mathrm i (\omega t - \vec k \cdot \vec x))</math>
mit
* der [[Kreisfrequenz]] <math>\omega</math> und
* dem [[Wellenvektor]] <math>\vec k</math>.
Ihre [[Dispersionsrelation]] lautet:
:<math>\omega(\vec k) = \frac{\hbar \vec k^2}{2m}</math>

Da die Bewegungsgleichungen linear sind, ist jede [[Superposition (Mathematik)|Superposition]] von Lösungen wieder eine Lösung.

=== Wellenfunktion im Impulsraum ===
Die Wellenfunktion im Impulsraum <math>\tilde \psi(\vec p)</math> ist mit der Wellenfunktion im Ortsraum <math>\psi(\vec x)</math> über eine [[Fourier-Transformation]] verknüpft. Es gilt
:<math>\tilde \psi(\vec p,t) = \int \mathrm d^3 \vec x\, \psi(\vec x,t) \, \mathrm e^{-\mathrm i \vec p \cdot \vec x}</math>
nebst der Ersetzung <math>\vec p = \hbar \vec k</math>. Aufgrund des [[Satz von Plancherel|Satzes von Plancherel]] ist die Fouriertransformation mit der Normierung verträglich, sodass die Wellenfunktion im Impulsraum ebenso normiert ist wie die Wellenfunktion im Ortsraum.

== Beispiel: Freies Teilchen ==
Die Wellenfunktion <math>\psi(\vec x,t)</math> eines freien Teilchens kann als [[Fourierreihe]] über ebene Wellen dargestellt werden:

:<math>\psi(\vec x,t) = \int \frac{\mathrm d^3 \vec k}{(2\pi)^3} A(\vec k) \mathrm e^{\mathrm i(\omega t - \vec k \cdot \vec x)} </math>

mit
* dem Ortsvektor <math>\vec x</math>
* dem [[Wellenvektor]] <math>\vec {k}</math>, der Richtung und [[Wellenlänge]] der ebenen Welle festlegt
* der vom Wellenvektor abhängigen komplexwertigen [[Amplitude]] <math>A(\vec k)</math>
* der [[Kreisfrequenz]] <math>\omega(\vec k)</math>, die die [[Periode (Physik)|Schwingungsperiode]] der Welle beschreibt und mit dem Wellenvektor über eine [[Dispersionsrelation]] verknüpft ist.

Die Amplituden müssen so gewählt werden, dass die Normierung der Wellenfunktion gewährleistet ist. Das Betragsquadrat der Wellenfunktion ist durch
:<math>\begin{align}
|\psi(\vec x,t)|^2 & = \psi^*(\vec x,t) \, \psi(\vec x,t)\\
                       & = \int \frac{\mathrm d^3 \vec k}{(2 \pi)^3} \int \frac{\mathrm d^3 \vec k'}{(2\pi)^3} A^*(\vec k) A(\vec k') \mathrm e^{\mathrm i (\vec k - \vec k') \cdot \vec x} \mathrm e^{-\mathrm i (\omega - \omega') t}
\end{align}</math>
gegeben. Eine Integration über das gesamte Volumen ergibt mit der Darstellung der [[Dirac-Distribution]] <math>\textstyle \int \mathrm d^3 x \, \mathrm e^{i \vec k \cdot \vec x} = \delta^{(3)}(\vec k)</math>:

:<math>\int \mathrm d^3\vec x \, |\psi(\vec x,t)|^2 = \int \frac{\mathrm d^3 \vec k}{(2\pi)^3} A^*(\vec k) A(\vec k) = 1</math>.

Praktisch kann dies beispielsweise durch eine [[Normalverteilung|gaußförmige]] Einhüllende
:<math>A(\vec k) = \left[\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \mathrm e^{-\frac{\vec k^2}{2\sigma^2}}\right]^{1/2}</math>
realisiert werden. Durch die Wahl dieser Einhüllenden wird ein Teilchen mit minimaler [[Heisenbergsche Unschärferelation|Orts-Impuls-Unschärfe]] und einem Erwartungswert des Impulses bei <math> \langle\vec p \rangle = 0</math> beschrieben. <math>\sigma</math> ist dabei die Breite des Wellenpakets im Impulsraum, die gewissermaßen angibt, wie sich die Unschärfe auf den Orts- und Impulserwartungswert verteilt.

== Messungen in der Wellenmechanik ==
Im [[Quantenmechanische Messung|quantenmechanischen Messprozess]] erleidet gemäß der [[Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik]] die Wellenfunktion instantan einen [[Kollaps der Wellenfunktion|Kollaps]]. Sie wird zu derjenigen Eigenfunktion <math>|\phi\rangle</math> des zur Messung zugehörigen Operators  <math>\hat \Phi</math>, die zu dem durch die Messung festgestellten Eigenwert <math>\phi</math> gehört. Die Wahrscheinlichkeit, von einem Zustand <math>|\psi\rangle</math> auf diesen Eigenzustand zu kollabieren, ist in der Matrizenmechanik durch
:<math>P = |\langle \phi | \psi \rangle |^2 </math>
gegeben. In der Wellenmechanik entspricht dies der Formulierung
:<math>
P = \left | \int \mathrm d^3 \vec x\, \langle \phi | x \rangle \langle x | \psi \rangle \right |^2 = \left| \int \mathrm d^3 \vec x\, \phi^* (x) \psi(x)\right|^2
</math>.
Das Skalarprodukt des Hilbertraums entspricht einer Integration über den gesamten Raumbereich im Ortsraum. Zwei Wellenfunktionen heißen orthogonal, wenn das Integral über den gesamten Ortsraum ihres Produkts verschwindet. Die Wahrscheinlichkeit, den Messwert <math>\phi</math> zu erhalten, wenn <math>\phi (x)</math> und <math>\psi(x)</math> orthogonal sind, ist dementsprechend Null.

Der [[Erwartungswert]] einer Messung im Zustand <math>|\psi\rangle</math> wird in der Matrizenmechanik durch
:<math>\langle \hat \Phi \rangle = \langle \psi | \hat \Phi |\psi\rangle</math>
beschrieben. Dies übersetzt sich in der Wellenmechanik zu:
:<math>\langle \hat \Phi \rangle = \int \mathrm d^3 \vec x \int \mathrm d^3 \vec x'\, \langle \psi | x \rangle \langle x | \hat \Phi | x' \rangle \langle x' |\psi \rangle = \int \mathrm d^3 \vec x \int \mathrm d^3 \vec x'\, \psi^*(\vec x) \, \Phi(x,x')\, \psi(\vec x')</math>
Dabei ist die Funktion <math>\Phi(x,x')</math> der Operator in Ortsdarstellung. Für lokale Operatoren gilt <math>\Phi(\vec x,\vec x') = \Phi(\vec x) \,\delta^{(3)}(\vec x-\vec x')</math> und die doppelte Integration reduziert sich auf eine einfache:
:<math>\langle \hat \Phi \rangle = \int \mathrm d^3 \vec x \, \psi^*(\vec x) \Phi(\vec x) \psi(\vec x)</math>

== Teilcheninterpretation ==
Die physikalische Interpretation einer Wellenfunktion ist kontextabhängig. Mehrere Beispiele werden unten angeführt, gefolgt von einer Interpretation der oben beschriebenen drei Fälle.

=== Ein Teilchen in einer Raumdimension ===
Die Wellenfunktion eines Teilchens im eindimensionalen Raum ist eine [[Komplexe Zahl|komplexe]] [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>\psi(x)\,</math> über der Menge der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]]. Das Betragsquadrat der Wellenfunktion, <math>|\psi|^2\,</math>, wird als [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] der Teilchenposition interpretiert.

Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung das Teilchen im Intervall <math>[a, b]</math> zu finden, ist folglich

:<math>\int_{a}^{b} |\psi(x)|^2\, \mathrm dx \quad </math>.

Dies führt zu der [[Normierter Raum|Normierungsbedingung]]

:<math> \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2\, \mathrm dx \,\stackrel{!}{=}\, 1 \quad </math>

da eine Messung der Teilchenposition eine reelle Zahl ergeben muss. Das heißt: Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen an irgendeinem Ort zu finden, ist gleich 1.

=== Ein Teilchen in drei Raumdimensionen ===
Der dreidimensionale Fall ist analog zum Eindimensionalen; Die Wellenfunktion ist eine komplexe Funktion <math>\psi(x, y, z)\,</math> definiert über dem dreidimensionalen Raum, und ihr Betragsquadrat wird als dreidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert. Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung das Teilchen im Volumen <math>R</math> zu finden, ist deshalb

:<math>\int_R |\psi(x, y, z)|^2\, \mathrm dV</math>.

Die Normierungsbedingung ist analog zum eindimensionalen Fall

:<math> \int |\psi(x, y, z)|^2\, \mathrm dV = 1</math>

wobei das Integral sich über den gesamten Raum erstreckt.

=== Zwei unterscheidbare Teilchen in drei Raumdimensionen ===
In diesem Fall ist die Wellenfunktion eine komplexe Funktion von sechs Raumvariablen,

:<math>\psi(x_1, y_1, z_1, x_2, y_2, z_2)\,</math>,

und <math>|\psi|^2\,</math> ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Positionen beider Teilchen. Die Wahrscheinlichkeit einer Positionsmessung beider Teilchen in den beiden jeweiligen Regionen R und S ist dann

:<math>\int_R \int_S |\psi|^2 \, \mathrm dV_2\,\mathrm dV_1 </math>

wobei <math>\mathrm dV_1 = \mathrm dx_1 \mathrm dy_1 \mathrm dz_1</math> und ebenso für <math>\mathrm dV_2</math>. Die Normierungsbedingung ist deshalb

:<math>\int |\psi|^2 \, \mathrm dV_2\,\mathrm dV_1 = 1</math>,

wobei das vorgestellte Integral über den gesamten Bereich aller sechs Variablen reicht.

Dabei ist von entscheidender Bedeutung, dass im Fall von Zwei-Teilchen-Systemen nur das System, das aus ''beiden'' Teilchen besteht, eine wohldefinierte Wellenfunktion haben muss. Daraus ergibt sich, dass es unmöglich sein kann, eine Wahrscheinlichkeitsdichte für Teilchen EINS zu definieren, welche nicht ausdrücklich von der Position von Teilchen ZWEI abhängt. Die [[Moderne Physik]] nennt dieses Phänomen [[Quantenverschränkung]] bzw. [[Quanten-Nichtlokalität]].

=== Ein Teilchen im eindimensionalen Impulsraum ===
Die Wellenfunktion eines eindimensionalen Teilchens im Impulsraum ist eine komplexe Funktion <math>\psi(p)\,</math> definiert auf der Menge der reellen Zahlen. Die Größe <math>|\psi|^2\,</math> wird als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion im Impulsraum interpretiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Impulsmessung einen Wert im Intervall <math>[a, b]</math> ergibt, ist folglich

:<math>\int_{a}^{b} |\psi(p)|^2\, \mathrm dp\quad </math>.

Dies führt zur Normierungsbedingung

:<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(p)|^2\, \mathrm dp = 1 </math>,

weil eine Messung des Teilchenimpulses immer eine reelle Zahl ergibt.

=== Spin-½-Teilchen (z.&nbsp;B. Elektron) ===
Die Wellenfunktion eines Teilchens mit [[Spin]] ½ (ohne Berücksichtigung seiner räumlichen Freiheitsgrade) ist ein Spalten-Vektor

:<math>\vec \psi = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix}</math>.

Die Bedeutung der Komponenten des Vektors hängt von der verwendeten Basis ab, typischerweise entsprechen <math>c_1</math>
und <math>c_2</math> den Koeffizienten für eine Ausrichtung des Spins in <math>z</math>-Richtung (''spin up'') und entgegen der <math>z</math>-Richtung (''spin down''). In der [[Bra-Ket|Dirac-Notation]] ist dies:

:<math>| \psi \rangle = c_1 | \mathord\uparrow_z \rangle + c_2 | \mathord\downarrow_z \rangle</math>

Die Werte <math>|c_1|^2 \,</math> und <math>|c_2|^2 \,</math> werden dann als die Wahrscheinlichkeiten interpretiert, dass der Spin bei einer Messung in <math>z</math>-Richtung oder entgegen der <math>z</math>-Richtung orientiert ist.

Dies führt zur Normierungsbedingung

:<math>|c_1|^2 + |c_2|^2 = 1\,</math>.

== Literatur ==
;Schrödingers Originalarbeiten
* Erwin Schrödinger: ''Quantisierung als Eigenwertproblem.'' In: ''[[Annalen der Physik]].'' Bd.&nbsp;79, 1926, S.&nbsp;361, 489; Bd. 80, 1926, S. 437; und Bd.&nbsp;81, 1926, S.&nbsp;109. (Originalarbeiten) [https://uni-tuebingen.de/fileadmin/Uni_Tuebingen/Fakultaeten/MathePhysik/Institute/IAP/Forschung/MOettel/Geburt_QM/schrodinger_AnnPhys_386_109_1926.pdf Online]
* {{Literatur |Autor=Erwin Schrödinger |Titel=Die Wellenmechanik |Verlag=Battenberg |Ort=Stuttgart |Datum=1963 |DNB=454485557 |Reihe=Dokumente der Naturwissenschaft. Abteilung Physik |BandReihe=3 |Kommentar=Schrödingers Arbeiten zur Wellenmechanik – Die Arbeiten zur Wellenmechanik sind auch nachgedruckt in Günther Ludwig (Hrsg.): ''Wellenmechanik.'' Akademie-Verlag, Berlin 1970, {{DNB|458581941}}}}
* {{Literatur
   |Autor=Erwin Schrödinger
   |Titel=Der Grundgedanke der Wellenmechanik
   |Sammelwerk=Was ist ein Naturgesetz? Beiträge zum naturwissenschaftlichen Weltbild
   |Auflage=5.
   |Verlag=Oldenbourg Wissenschaftsverlag
   |Ort=München
   |Datum=1997
   |ISBN=3-486-56293-2
   |DOI=10.1002/phbl.19660220102}} [https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/phbl.19660220102 Online]
* {{Literatur |Autor=Erwin Schrödinger |Titel=An undulatory theory of the mechanics of atoms and molecules |Sammelwerk=The Physical Review |Band=28 |Nummer=6 |Datum=1926 |Seiten=1049 |DOI=10.1103/PhysRev.28.1049 |Sprache=en}}

;Andere Autoren
* {{Literatur |Autor=Max Born |Titel=Quantenmechanik der Stoßvorgänge |Sammelwerk=Zeitschrift für Physik |Band=38 |Nummer=11-12 |Datum=1926 |Seiten=803–827 |DOI=10.1007/BF01397184}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Quantenmechanik]]