Quelltext der Seite Vorzeichen (Permutation)

Das '''Vorzeichen''', auch '''Signum''', '''Signatur''' oder '''Parität''' genannt, ist in der [[Kombinatorik]] eine wichtige Kennzahl von [[Permutation]]en. Das Signum einer Permutation kann die Werte <math>+1</math> oder <math>-1</math> annehmen, wobei man im ersten Fall von einer ''geraden'' und im zweiten Fall von einer ''ungeraden'' Permutation spricht.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, gerade und ungerade Permutationen zu charakterisieren. So ist eine Permutation genau dann gerade, wenn die Anzahl der [[Fehlstand|Fehlstände]] in der Permutation [[Gerade Zahl|gerade]] ist. Jede Permutation lässt sich auch als [[Komposition (Mathematik)|Verkettung]] endlich vieler [[Zyklische Permutation #Spezialfälle|Transpositionen]] darstellen und ist genau dann gerade, wenn die Anzahl der dabei benötigten Transpositionen gerade ist. Eine Permutation kann zudem auch in [[Zyklische Permutation|Zyklen]] zerlegt werden und ist genau dann gerade, wenn die Anzahl der Zyklen gerader Länge gerade ist. Das Signum einer Permutation ist auch gleich der [[Determinante]] der zugehörigen [[Permutationsmatrix]].

Das Signum ist als [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] ein [[Gruppenhomomorphismus]] von der [[Symmetrische Gruppe|symmetrischen Gruppe]] der Permutationen in die [[multiplikative Gruppe]] über der Menge <math>\{ +1, -1 \}</math>. Ein wichtiges Einsatzbeispiel des Signums ist die [[Determinante#Leibniz-Formel|Leibniz-Formel für Determinanten]].

== Definition ==

Ist <math>S_n</math> die [[symmetrische Gruppe]] aller [[Permutation]]en der Menge <math>\{ 1, \ldots , n \}</math>, dann wird das Vorzeichen einer Permutation <math>\pi = ( \pi(1), \pi(2), \ldots , \pi(n) ) \in S_n</math> durch

:<math>\sgn(\pi) = (-1)^{|\operatorname{inv}(\pi)|}</math>

definiert, wobei

: <math>\operatorname{inv}(\pi) = \{~ (i,j) \in \{ 1, \ldots , n \} \times \{ 1, \ldots , n \} \mid i < j, \pi(i) > \pi(j) ~\}</math>

die Menge der [[Fehlstand|Fehlstände]] der Permutation ist.

<math>|\operatorname{inv}(\pi)|</math> steht für die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] (Anzahl der Elemente) von <math>\operatorname{inv}</math>.

Ist das Vorzeichen <math>+1</math>, so nennt man die Permutation <math>\pi</math> gerade, ist es <math>-1</math>, nennt man sie ungerade.

Allgemeiner können auch Permutationen beliebiger [[Endliche Menge|endlicher]] [[Geordnete Menge|geordneter Mengen]] betrachtet werden, für die mathematische Analyse kann man sich jedoch auf die ersten <math>n</math> [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] beschränken.

== Beispiele ==
{| class="wikitable float-right center" style="width:250px;"
|+ Permutationen in ''S<sub>3</sub>''
|- class="hintergrundfarbe8"
! Permutation
! Fehlstände
! Signum
|-
| <math>\tbinom{\, 1 ~ 2 ~ 3 \,}{\, 1 ~ 2 ~ 3 \,} </math> || – || +1
|-
| <math>\tbinom{\, 1 ~ 2 ~ 3 \,}{\, 1 ~ 3 ~ 2 \,} </math> || (2,3) || −1
|-
| <math>\tbinom{\, 1 ~ 2 ~ 3 \,}{\, 2 ~ 1 ~ 3 \,} </math> || (1,2) || −1
|-
| <math>\tbinom{\, 1 ~ 2 ~ 3 \,}{\, 2 ~ 3 ~ 1 \,} </math> || (1,3),(2,3) || +1
|-
| <math>\tbinom{\, 1 ~ 2 ~ 3 \,}{\, 3 ~ 1 ~ 2 \,} </math> || (1,2),(1,3) || +1
|-
| <math>\tbinom{\, 1 ~ 2 ~ 3 \,}{\, 3 ~ 2 ~ 1 \,} </math> || (1,2),(1,3),(2,3) || −1
|}
Die Fehlstände der Permutation

: <math>\pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 1 & 5 & 2 & 3\end{pmatrix} \in S_5</math>

sind <math>(1,2), (1,4), (1,5), (3,4)</math> und <math>(3,5)</math>, somit ist

: <math>\sgn(\pi) = (-1)^5 = -1</math>

und damit die Permutation ungerade. Die [[identische Permutation]]

: <math>\operatorname{id} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ 1 & 2 & \cdots & n \end{pmatrix} \in S_n</math>

ist immer gerade, denn sie weist keine Fehlstände auf. Die nebenstehende Tabelle führt alle Permutationen der Länge drei mit ihren zugehörigen Vorzeichen auf.

== Darstellung als Produkt ==

=== Produktformel ===

Das Vorzeichen einer Permutation der ersten <math>n</math> natürlichen Zahlen kann auch durch die Produktformel

: <math>\sgn(\pi) = \prod_{1 \leq i<j \leq n} \frac{\pi(j)-\pi(i)}{j-i}</math>

dargestellt werden. Aufgrund der [[Bijektivität]] einer Permutation tritt hierbei jeder Term <math>j-i</math> für <math>1\le i<j\le n</math> bis auf gegebenenfalls das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] je einmal im Zähler und einmal Nenner eines Bruchs auf. Jeder Fehlstand führt dabei zu genau einem negativen Vorzeichen.

'''Beispiel'''

Das Signum der Permutation

: <math>\pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \in S_3</math>

ist durch

: <math>\begin{align}\sgn(\pi) &= \frac{\pi(2)-\pi(1)}{2-1} \cdot \frac{\pi(3)-\pi(1)}{3-1} \cdot \frac{\pi(3)-\pi(2)}{3-2} \\
                                            &=\frac{1-3}{2-1} \cdot \frac{2-3}{3-1} \cdot \frac{2-1}{3-2} \\
                                            &= \frac{2-1}{2-1} \cdot \frac{1-3}{3-1} \cdot \frac{2-3}{3-2} \\
                                            &= (+1) \cdot (-1) \cdot (-1) = +1\end{align}</math>

gegeben. Die beiden Fehlstände <math>(1,2)</math> und <math>(1,3)</math> führen dabei zu jeweils einem [[Vorzeichenwechsel]].

=== Verkettungseigenschaft ===

Für das Signum einer [[Komposition (Mathematik)|Verkettung]] zweier Permutationen <math>\tau, \pi \in S_n</math> gilt aufgrund der Produktdarstellung:

: <math>\begin{align} \sgn(\tau \circ \pi) & = \prod_{i<j} \frac{\tau(\pi(j))-\tau(\pi(i))}{j-i} = \prod_{i<j} \frac{\tau(\pi(j))-\tau(\pi(i))}{\pi(j)-\pi(i)} \cdot \prod_{i<j} \frac{\pi(j)-\pi(i)}{j-i} = \\
& = \prod_{\pi^{-1}(i)<\pi^{-1}(j)} \frac{\tau(j)-\tau(i)}{j-i} \cdot \prod_{i<j} \frac{\pi(j)-\pi(i)}{j-i} = \sgn(\tau) \cdot \sgn(\pi)
\end{align}</math>

Der letzte Schritt folgt daraus, dass in dem Produkt über <math>\pi^{-1}(i) < \pi^{-1}(j)</math> die gleichen Faktoren, wie in dem Produkt über <math>i < j</math> vorkommen, nur in anderer Reihenfolge. Für zwei durch <math>\pi</math> vertauschte Zahlen <math>i,j</math> kehrt sich dabei sowohl im Nenner und im Zähler das Vorzeichen um. Demnach ist die Verkettung zweier Permutationen genau dann gerade, wenn beide Permutationen das gleiche Signum aufweisen.

== Weitere Darstellungen ==

=== Darstellung über die Zahl der Transpositionen ===
[[Datei:Permutation-sign.svg|mini|hochkant=0.6|Umwandlung zwischen geraden und ungeraden Permutationen durch Transpositionen]]

Eine [[Vertauschung|Transposition]] <math>\tau_{kl}</math> mit <math>k<l</math> ist eine Permutation, die lediglich die zwei Zahlen <math>k</math> und <math>l</math> vertauscht, das heißt <math>k</math> auf <math>l</math> sowie <math>l</math> auf <math>k</math> abbildet und die übrigen Zahlen festlässt. Für das Signum einer Transposition gilt

: <math>\sgn(\tau_{kl}) = -1</math>,

denn jede Transposition lässt sich als Verkettung einer ungeraden Zahl von Nachbarvertauschungen der Form <math>\tau_{k,k+1}</math> durch

: <math>\tau_{kl} = (\tau_{l-1,l} \circ \tau_{l-2,l-1} \circ \cdots \circ \tau_{k+1,k+2}) \circ (\tau_{k,k+1} \circ \cdots \circ \tau_{l-2,l-1} \circ \tau_{l-1,l})</math>

darstellen. Hierbei wird zunächst die Zahl <math>l</math> durch sukzessive Nachbarvertauschungen an die Stelle <math>k</math> gebracht und dann die Zahl <math>k</math> von der Stelle <math>k+1</math> durch sukzessive Nachbarvertauschungen an die Stelle <math>l</math>. Nachdem jede dieser Nachbarvertauschungen genau einen Fehlstand erzeugt, ist die Gesamtzahl der Fehlstände einer Transposition

: <math>| \operatorname{inv}(\tau_{kl}) | = (l-k) + (l-k-1) = 2(l-k)-1</math>

und damit immer ungerade. Jede Permutation <math>\pi \in S_n</math> lässt sich nun als Verkettung von höchstens <math>n-1</math> Transpositionen darstellen. Jede dieser Transpositionen vertauscht dabei jeweils die kleinste Zahl <math>k</math>, für die <math>\pi(k) \neq k</math> gilt, mit derjenigen Zahl <math>l>k</math>, für die <math>\pi(l) = k</math> gilt. Ist <math>M(\pi)</math> die Anzahl der dabei benötigten Transpositionen, dann gilt aufgrund der Verkettungseigenschaft

: <math>\sgn(\pi) = (-1)^{M(\pi)}</math>.

Es gibt natürlich noch weitere Möglichkeiten, eine Permutation als Verkettung von Transpositionen darzustellen. Handelt es sich dabei aber um eine gerade Permutation, dann ist die Zahl der benötigten Transpositionen immer gerade, handelt es sich um eine ungerade Permutation immer ungerade.

'''Beispiel'''

Die Permutation

: <math>\pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 4 & 1\end{pmatrix} \in S_4</math>

lässt sich durch

: <math>\pi = \tau_{34} \circ \tau_{14} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 3 & 1\end{pmatrix}</math>

darstellen und ist damit gerade. Eine weitere Darstellung von <math>\pi</math> als Verkettung von Transpositionen wäre etwa <math>\pi = \tau_{23} \circ \tau_{12} \circ \tau_{23} \circ \tau_{34}</math>.

=== Darstellung über die Zahl und Länge der Zyklen ===
{{Doppeltes Bild|rechts|Cicluri12.png|150|Cicluri21.png|150|Durch die Hintereinanderausführung einer Permutation (rot) mit einer Vertauschung (blau) erhöht sich die Anzahl der Zyklen um eins, wenn die vertauschten Elemente innerhalb eines Zyklus liegen (links) und sie verringert sich um eins, wenn sie in verschiedenen Zyklen liegen (rechts).}}

Eine [[zyklische Permutation]] <math>\sigma_{k_1, \ldots, k_m}</math> ist eine Permutation, die die Zahlen <math>k_1, \ldots , k_m</math> [[Zyklische Gruppe|zyklisch vertauscht]], das heißt <math>k_1</math> auf <math>k_2</math> abbildet, <math>k_2</math> auf <math>k_3</math> bis hin zu <math>k_m</math> auf <math>k_1</math> und die übrigen Zahlen festlässt. Eine zyklische Permutation der Länge zwei entspricht gerade einer Transposition zweier Zahlen. Jede zyklische Permutation der Länge <math>m>1</math> kann als Verkettung von <math>m-1</math> Transpositionen geschrieben werden:

: <math>\sigma_{k_1, \ldots, k_m} = \tau_{k_1,k_2} \circ \cdots \circ \tau_{k_{m-1},k_m}</math>.

Da Transpositionen ungerade sind, ist das Signum einer zyklischen Permutation der Länge <math>m</math> aufgrund der Verkettungseigenschaft

: <math>\sgn(\sigma_{k_1, \ldots, k_m}) = \sgn(\tau_{k_1,k_2}) \cdot \ldots \cdot \sgn(\tau_{k_{m-1},k_m}) = (-1)^{m-1}</math>.

Eine zyklische Permutation ist also genau dann gerade, wenn ihre Länge ungerade ist. Jede Permutation <math>\pi \in S_n</math> lässt sich nun eindeutig als Verkettung von <math>s \leq n</math> zyklischen Permutationen mit paarweise disjunkten Zyklen darstellen. Sind <math>m_1, \ldots , m_s</math> die Längen dieser Zyklen, dann gilt aufgrund der Verkettungseigenschaft

: <math>\sgn(\pi) = (-1)^{m_1-1} \cdot \ldots \cdot (-1)^{m_s-1} = (-1)^{m_1+\ldots+m_s-s}</math>.

Das Signum kann daher direkt aus dem [[Zykeltyp|Zyklentyp]] der Permutation abgelesen werden. Eine Permutation ist demnach genau dann gerade, wenn die Summe der Längen der einzelnen Zyklen minus der Anzahl der Zyklen gerade ist. Da Zyklen ungerader Länge das Signum nicht verändern, ist eine Permutation genau dann gerade, wenn die Anzahl der Zyklen gerader Länge gerade ist. Nachdem sich die [[Ordnung eines Gruppenelementes|Ordnung]] einer Permutation aus dem [[Kleinstes gemeinsames Vielfaches|kleinsten gemeinsamen Vielfachen]] ihrer Zyklenlängen ergibt, ist eine Permutation mit ungerader Ordnung stets gerade.

'''Beispiel'''

Die Permutation

: <math>\pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 3 & 6 & 4 & 1 & 5 & 2 \end{pmatrix} \in S_6</math>

zerfällt in drei disjunkte Zyklen, in [[Permutation#Zyklenschreibweise|Zyklenschreibweise]]

: <math>\pi = (1 ~ 3 ~ 4)(2 ~ 6)(5)</math>.

Da die Summe <math>3+2+1-3</math> ungerade ist, ist die Permutation ebenfalls ungerade. Einerzyklen können in der Zyklenschreibweise und bei der Zählung auch weggelassen werden, ohne die Summe und damit das Signum zu verändern.

=== Darstellung über die Determinante der Permutationsmatrix ===

Ist <math>P_\pi \in \{ 0,1 \}^{n \times n}</math> die zu der Permutation <math>\pi \in S_n</math> zugehörige [[Permutationsmatrix]] mit Einträgen

: <math>(P_\pi)_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{falls } \pi(i)=j \\ 0, & \text{sonst,}\end{cases}</math>

dann entspricht das Signum von <math>\pi</math> gerade der [[Determinante]] von <math>P_\pi</math>, also

: <math>\sgn(\pi) = \det(P_\pi)</math>.

Die Determinante einer Permutationsmatrix ist entweder +1 oder −1. Die folgende Methode zur Bestimmung der Determinante ist auch für große Matrizen praktikabel. Dazu wird für jede Spalte S der Matrix die Anzahl der Spalten ermittelt, die in der Matrix links von S stehen und bei denen die Eins tiefer steht als in S; diese Anzahl heißt ''Kennmarke''. Ist die Summe der Kennmarken eine [[gerade Zahl]] dann ist die Determinante eins, sonst minus eins.<ref>{{Literatur
| Autor=[[Rudolf Zurmühl|R. Zurmühl]], [[Sigurd Falk|S. Falk]]
| Titel=Matrizen und ihre Anwendungen 1
| TitelErg=Grundlagen, Für Ingenieure, Physiker und Angewandte Mathematiker
| Seiten=57
| Verlag=Springer
| Ort=Berlin u.&nbsp;a.
| Jahr=1997
| ISBN=3-540-61436-2}}</ref>

'''Beispiel'''

Die zur Permutation

: <math>\pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \in S_3</math>

zugehörige Permutationsmatrix ist

: <math>P_\pi =
  \begin{pmatrix}
    0 & 0 & 1 \\
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
  \end{pmatrix}
</math>,

deren Determinante sich nach der [[Regel von Sarrus]] zu

: <math>\det(P_\pi) = (0 +0 +1) -(0 +0 +0) = +1</math>

ergibt. Die Kennmarken lauten:

{| class="wikitable"
! Spalte
|1||2||3
|-
! Zeilennummer
|2||3||1
|-
!Kennmarke
|0||0||2
|}
Die Summe der Kennmarken ist gerade, was obiges Ergebnis bestätigt.

== Weitere Eigenschaften ==

=== Mächtigkeiten ===

Es gibt genau <math>n!</math> verschiedene Permutationen der Menge <math>\{ 1, \ldots , n \}</math>. Für <math>n \geq 2</math> wird die Menge aller Permutationen durch die geraden und ungeraden Permutationen in zwei gleich große Hälften geteilt, denn es gibt gleich viele Möglichkeiten, die Vorzeichen im Zähler der Produktformel so zu wählen, dass das Produkt positiv bzw. negativ ist. Für die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] dieser beiden Mengen gilt demnach

: <math>\# \{ \pi \in S_n \mid \sgn(\pi) = +1 \} = \# \{ \pi \in S_n \mid \sgn(\pi) = -1 \} = \frac{n!}{2}</math>.

Aus diesem Grund spricht man hier neben dem Signum auch von der Parität (von {{laS|paritas|de=Gleichheit}}) einer Permutation.

=== Inverse Permutationen ===

Für das Signum der [[Inverse Permutation|inversen Permutation]] <math>\pi^{-1}</math> von <math>\pi</math> gilt:

: <math>\sgn(\pi^{-1}) = \prod_{i<j} \frac{j-i}{\pi(j)-\pi(i)} = \prod_{i<j} \frac{\pi(j)-\pi(i)}{j-i} = \sgn(\pi)</math>.

Durch Invertierung ändert sich also das Signum einer Permutation nicht, was mit der Verkettungseigenschaft auch direkt über

: <math>\sgn(\pi^{-1}) \cdot \sgn(\pi) = \sgn(\pi^{-1} \circ \pi) = \sgn(\operatorname{id}) = 1</math>

ersichtlich ist.

=== Signum-Homomorphismus ===

Aufgrund der Verkettungseigenschaft stellt die Abbildung

: <math>\sgn \colon S_n \to \{ +1, -1 \}</math>

einen [[Gruppenhomomorphismus]] von der symmetrischen Gruppe <math>(S_n, \circ)</math> in die [[multiplikative Gruppe]] <math>(\{ +1, -1 \}, \cdot)</math> dar (dies ist gerade die [[zyklische Gruppe vom Grad 2]]). Diese Eigenschaft wird in der Theorie der Determinanten, beispielsweise der [[Determinante#Leibniz-Formel|Leibniz-Formel]] verwendet. Der [[Kern (Algebra)|Kern]] dieses Homomorphismus ist die Menge der geraden Permutationen. Sie bildet einen [[Normalteiler]] von <math>S_n</math>, die [[alternierende Gruppe]] <math>A_n</math>. Die Menge der ungeraden Permutationen bildet jedoch keine [[Untergruppe]] von <math>S_n</math>, denn die Verkettung zweier ungerader Permutationen ergibt eine gerade Permutation.

[[Konjugation (Gruppentheorie)|Konjugierte]] Permutationen besitzen dasselbe Signum, wie aus den Eigenschaften des Signum-Homomorphismus folgt.
Ist nämlich <math>\sigma \in S_n</math>, dann gilt für alle <math>\pi \in S_n</math>
: <math>\sgn(\pi \circ \sigma \circ \pi^{-1})
= \sgn(\pi) \cdot \sgn(\sigma) \cdot \sgn(\pi^{-1})
= \sgn(\pi) \cdot \sgn(\pi)^{-1}  \cdot \sgn(\sigma)
= \sgn(\sigma)
</math>.

== Verwendung ==

Das Vorzeichen von Permutationen wird unter anderem in folgenden Bereichen verwendet:

* bei der Charakterisierung der [[Determinante]] einer Matrix über die [[Determinante#Leibniz-Formel|Leibniz-Formel]]
* bei der Definition [[Antisymmetrische Funktion|antisymmetrischer Funktionen]], beispielsweise [[Alternierende Multilinearform|alternierender Multilinearformen]]
* bei dem [[Lemma von Zolotareff]] zur Darstellung des [[Legendre-Symbol]]s
* bei der Ermittlung der erreichbaren Stellungen im [[15-Puzzle]]

Ein sehr anschauliches Beispiel findet sich in der [[Futurama]]-Folge "[[Im Körper des Freundes]]". Der Charakter "Professor Farnsworth" erfindet darin eine Maschine, welche die Seelen zweier Menschen vertauscht (sodass die Seele von Person A im Körper von Person B ist und die Seele von Person B im Körper von Person A). Unabhängig von der Zahl der vorgenommenen Tausche (und wie viele Personen daran beteiligt waren), ist stets eine ungerade Zahl an Permutationen notwendig, damit jeder wieder in seinem eigenen Körper ist.<ref>{{Internetquelle |autor=Burkard Polster |url=https://www.youtube.com/watch?v=w0mxdo5ur_A |titel=The parity of permutations and the Futurama theorem |werk= |hrsg= |datum= |abruf=2019-06-21 |sprache=}}</ref>

== Verallgemeinerung ==

Eine Verallgemeinerung des Signums für nicht notwendigerweise bijektive Abbildungen <math>\phi \colon \{ 1, \ldots , n \} \to \{ 1, \ldots , n \}</math> ist das [[Levi-Civita-Symbol]] <math>\varepsilon_{\phi_1 \ldots \phi_n}</math>, das mit der Notation <math>\phi_k = \phi(k)</math> für <math>k = 1 , \ldots , n</math> wie das Signum über

: <math>\varepsilon_{\phi_1 \ldots \phi_n} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} \frac{\phi_j-\phi_i}{j-i}</math>

definiert werden kann. Im Unterschied zum Signum kann das Levi-Civita-Symbol jedoch auch den Wert <math>0</math> annehmen, was genau dann der Fall ist, wenn die Abbildung <math>\phi</math> nicht bijektiv ist. Das Levi-Civita-Symbol wird insbesondere in der [[Vektor]]- und [[Tensor]]rechnung in Anwendungen wie der [[Relativitätstheorie]] und der [[Quantenmechanik]] verwendet.

== Literatur ==

* {{Literatur
   |Autor=[[Albrecht Beutelspacher]]
   |Titel=Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen
   |Auflage=6.
   |Verlag=Vieweg
   |Datum=2009
   |ISBN=3-528-56508-X}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Siegfried Bosch]]
   |Titel=Lineare Algebra
   |Verlag=Springer
   |Datum=2009
   |ISBN=3-540-76437-2}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld|id=EvenPermutation|title=Even Permutation}}
* {{MathWorld|id=OddPermutation|title=Odd Permutation}}
* {{PlanetMath|id=SignatureOfAPermutation|title=Signature of a permutation|author=Raymond Puzio, Larry Hammick, Pedro Sanchez}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Permutationstheorie]]