Quelltext der Seite Vierscheitelsatz

[[Datei:Ellipse kruemmung.svg|miniatur|hochkant=1.7|Vierscheitelsatz bei der Ellipse]]
Der '''Vierscheitelsatz''' ist ein Satz der [[Differentialgeometrie]] über [[Kurve (Mathematik)|Kurven]] in der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]]. Er besagt, dass bei jeder einfach geschlossenen, glatten ebenen Kurve die [[Krümmung]]sfunktion mindestens vier [[Extremum|Extremstellen]] besitzt. Punkte einer Kurve, an denen die Krümmung ein lokales Extremum besitzt (also ein lokales [[Lokales Maximum|Maximum]] oder [[lokales Minimum|Minimum]]), heißen ''Scheitel'' (vgl. [[Scheitelpunkt]]).

Der Satz wurde 1909 für konvexe Kurven vom indischen Mathematiker [[Syamadas Mukhopadhyaya]] (1866–1937)<ref>Mukhopadhyaya: New methods in the geometry of a plane arc, Bull. Calcutta Math. Soc. 1, 1909, 21–27</ref><ref name="AMS"> Dennis DeTurck, Herman Gluck, Daniel Pomerleano, David Shea Vick: [http://www.ams.org/notices/200702/fea-gluck.pdf ''The Four Vertex Theorem and Its Converse''] (PDF-Datei; 1,47&nbsp;MB). In: ''Notices of the American Mathematical Society.'' Bd. 54, No. 2, Februar 2007, {{ISSN|0002-9920}}, S. 192–207. </ref> bewiesen und im allgemeinen Fall von [[Adolf Kneser]] 1912<ref>Kneser: Bemerkungen über die Anzahl der Extrema der Krümmung auf geschlossenen Kurven und über verwandte Fragen in einer nicht euklidischen Geometrie, Festschrift Heinrich Weber. Teubner. 1912, S. 170–180</ref><ref name="AMS"/>.

Es gibt auch einen Umkehrsatz: jede stetige [[reelle Funktion]] auf dem Kreis mit mindestens zwei lokalen Maxima und zwei lokalen Minima ist die Krümmungsfunktion einer ebenen einfachen geschlossenen Kurve. Der Satz wurde für positiv definite Funktionen 1971 von [[Herman Gluck]]<ref>Gluck, The converse to the four-vertex theorem, L'Enseignement Math. 17, 1971, 295–309</ref><ref name="AMS"/> bewiesen und im allgemeinen Fall von [[Björn Dahlberg]] (1998).<ref>Dahlberg, The converse of the four vertex theorem, Proc. Amer. Math. Soc. 133, 2005, S. 2131–2135</ref><ref name="AMS"/> 

==Literatur==
* [[Christian Bär (Mathematiker)|Christian Bär]]: ''Elementare Differentialgeometrie.'' Walter de Gruyter, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-11-015519-2, S. 57 ({{Google Buch|BuchID=0KI5Kg9R4y8C|Seite=57|Linktext=Auszug (Google)|KeinText=ja}}).
* Dennis DeTurck, Herman Gluck, Daniel Pomerleano, David Shea Vick: [http://www.ams.org/notices/200702/fea-gluck.pdf ''The Four Vertex Theorem and Its Converse''] (PDF-Datei; 1,47&nbsp;MB). In: ''Notices of the American Mathematical Society.'' Bd. 54, No. 2, Februar 2007, {{ISSN|0002-9920}}, S. 192–207.
* W. C. Graustein: ''Extensions of the Four-Vertex Theorem''. Transactions of the American Mathematical Society, Band 41, Nr. 1 (Jan., 1937), S. 9–23 ({{JSTOR|1989876}})

==Weblinks==
* Britta Meixner, Ana-Catalina Plesa: ''[https://www.uni-passau.de/fileadmin/dokumente/fakultaeten/fim/lehrstuhl/schwartz/Lehre/Differential_Geometrie.pdf Differentialgeometrie]'' (PDF-Datei; 1,91&nbsp;MB). Vorlesungsmitschrift Uni Passau, Juli 2006, S. 31–46
* Sebastian Klein: [https://www.yumpu.com/de/document/view/10075614/kurven-und-flachen-sebastian-klein-lehrstuhl-fur-mathematik-iii ''Kurven und Flächen'']. Vorlesungsskript Uni Mannheim, Wintersemester 2008, S. 35
==Einzelnachweise==
<references />

[[Kategorie:Elementare Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Satz (Differentialgeometrie)]]