Quelltext der Seite Versiera der Agnesi

[[Datei:VersieraAgnesi2.png|mini|hochkant=1.5]]

Die '''Versiera der Agnesi''', auch '''Versiera der Maria Agnesi''', ist eine spezielle [[Ebene (Mathematik)|ebene]] [[Kurve (Mathematik)|Kurve]], eine [[algebraische Kurve]] 3.&nbsp;Ordnung, die mit Hilfe [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|konstruktiver]] Methoden auf der Grundlage eines [[Kreis]]es erzeugt wird. Die Kurve an sich entspricht der Kurve der [[Cauchy-Verteilung]].

Die Kurve wurde bereits 1653 von [[Pierre de Fermat]] und 1703 von [[Guido Grandi]] untersucht. Sie ist benannt nach der [[Liste von Mathematikern|Mathematikerin]] [[Maria Gaetana Agnesi|Maria Agnesi]], die sie 1748 veröffentlichte. Die italienische Bezeichnung ''{{lang|it|la versiera di Agnesi}}'' ist angelehnt an [[latein]]isch ''{{lang|la|versoria}}'' ([[Schot]] bei Segelschiffen) und an den [[Sinus versus]]. Das wurde vom Cambridge-Professor [[John Colson]] als ''{{lang|it|l’avversiera di Agnesi}}'' gelesen, wobei ''{{lang|it|avversiera}}'' „Frau, die gegen Gott gerichtet ist“ bedeutet und als „Hexe“ (''{{lang|en|witch}}'') interpretiert wurde, weshalb die Kurve im Englischen ''{{lang|en|witch of Agnesi}}'' („Hexe von Agnesi“) heißt.<ref>Lynn M. Osen: ''Women in Mathematics.'' MIT Press, Cambridge MA 1975, ISBN 0-262-15014-X, S. 45.</ref><ref>[[Simon Singh]]: ''Fermat’s Enigma. The quest to solve the world’s greatest mathematical problem.'' Walker Books, New York 1997, ISBN 0-471-27047-4, S. 100.</ref><ref>David J. Darling: ''The universal book of mathematics. From Abracadabra to Zeno’s paradoxes.'' Wiley International, Hoboken NJ 2004, ISBN 0-8027-1331-9, S. 8.</ref>

== Konstruktion ==
[[Datei:WitchOfAgnesi03a.png|mini|hochkant=1.5|Die Versiera der Agnesi mit benannten Punkten]]

Beginnend mit einem festen Kreis wird ein Punkt ''O'' auf dem Kreis gewählt. Für jeden anderen Punkt ''A'' auf dem Kreis wird die Sekante ''OA'' gezeichnet. Der Punkt ''M'' ist diametrisch gegenüberliegend zu ''O''. Die Linie ''OA'' schneidet die Tangente in ''M'' am Punkt ''N''. Die Linie parallel zu ''OM'' durch ''N'' und die Linie rechtwinklig zu ''OM'' durch ''A'' schneiden sich in ''P''. Wird der Punkt ''A'' geändert, so ist der Weg von ''P'' die Versiera der Agnesi.

Die Kurve ist [[asymptotisch]] zu der Tangente an den Kreis im Punkt ''O''.

== Gleichungen der Versiera der Agnesi ==
[[Datei:Agnesi.gif|mini|hochkant=1.5|Eine Animation, die die Konstruktion der Versiera der Agnesi darstellt]]
Angenommen, das [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesische Koordinatensystem]] habe den Ursprung in ''O'' und ''M'' liege auf der positiven ''y''-Achse; weiter sei der Durchmesser des Kreises gleich ''a''. Dann ergeben sich folgende Gleichungen der Versiera der Agnesi:
* Kartesische Koordinaten: <math>(x^2 + a^2) y - a^3 = \, 0</math> oder <math>y = \frac{a^3}{x^2 + a^2}</math>
* Parametergleichung: <math> x = a t \; , y = {a\over t^2 + 1} </math>
* Parametergleichung mit dem Winkel <math>\theta</math>, wenn <math>\theta</math> der Winkel zwischen ''OM'' und ''OA'' ist (gemessen im Uhrzeigersinn): <math>x = a \tan \theta,\ y = a \cos ^2 \theta.\,</math>
* Parametergleichung mit dem Winkel <math>\theta</math>, wenn <math>\theta</math> der Winkel zwischen ''OA'' und der ''x''-Achse ist, zunehmend im Gegenuhrzeigersinn: <math>x = a \cot \theta,\ y=a\sin ^2 \theta.\,</math>

Hierbei ist der Parameter <math>a \in \mathbb{R}</math>.

== Eigenschaften ==
[[Datei:WitchOfAgnesi04.png|mini|hochkant=1.5|Die Versiera der Agnesi mit Parametern ''a''=2, ''a''=4, ''a''=8, und ''a''=16]]

* [[Asymptote]]: <math>y=0</math>
* Flächeninhalt zwischen Kurve und Asymptote: <math>\pi a^2</math>
* [[Rotationsvolumen]] der Kurve um ihre Asymptote: <math>\frac{1}{2}\pi^2 a^3</math>
* Krümmungsradius am Scheitelpunkt <math>(x,\,y) = (0,\, a)</math>: <math>R = \frac{a}{2}</math>.
* Zwei [[Wendepunkt]]e: <math>(x,\,y) = \left(\pm \frac{a}{\sqrt{3}}, \frac{3a}{4} \right)</math>
* Stellt man die Darstellung in kartesischen Koordinaten nach ''y'' um, so erhält man <math> y(x) = \frac{a^3}{x^2 + a^2}. </math>Damit ist <math> Y(x) = a^2 \arctan \frac{x}{a} </math> eine Stammfunktion von ''y(x)'', also <math>Y'(x) = y(x)</math>.

== Variante ==
Gelegentlich wird die waagrechte Gerade (oben ''MN'') nicht durch den Nordpol des Kreises, sondern durch seinen Mittelpunkt gelegt. Die Versiera verläuft dann für Punkte oberhalb dieser Geraden im Innern des erzeugenden Kreises, ihre Gleichung in kartesischen Koordinaten lautet <math>y=\frac{2r^3}{x^2+r^2}</math>, wobei ''r'' der Radius des Kreises ist. Es ergibt sich die erstaunliche Tatsache, dass das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn die Kurve sich um die ''x''-Achse dreht, genauso groß ist wie das des [[Torus]], den der Kreis bei Drehung um die ''x''-Achse erzeugt, nämlich gleich
<math>2r^3\pi^2</math>.<ref>Hermann Schmidt: ''Ausgewählte höhere Kurven''. Kesselringsche Verlagsbuchhandlung, Wiesbaden 1949, S. 64 ff.</ref>

== Geschichte ==
[[Pierre de Fermat]] studierte die Kurve 1659 in seiner Abhandlung zur [[Quadratur (Mathematik)|Quadratur]]. Darin berechnet Fermat die Fläche unterhalb der Kurve und behauptet (ohne Details), dass sich die angewandte Methode auch für die [[Zissoide des Diokles]] eignet.
Fermat schreibt, dass ihm die Kurve von einem ausgebildeten Geometer („''ab erudito geometra''“) vorgeschlagen worden sei.
Paradís/Pla/Viader (2008) spekulieren, dass der vorschlagende Geometer [[Antoine de Laloubère]] gewesen sein könnte.

Die oben beschriebene Konstruktion der Kurve wurde 1718 von Grandi entwickelt; dieselbe Konstruktion hatte zuvor schon [[Isaac Newton]] gefunden, sie wurde allerdings erst 1779, also nach Newtons Tod, veröffentlicht.
Im Jahre 1748 veröffentlichte [[Maria Gaetana Agnesi]] ''Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana'', ein frühes Lehrbuch der [[Infinitesimalrechnung]]. Dieses Buch enthielt, anschließend an die Betrachtung von zwei anderen Kurven, eine Studie zur Versiera. Sie definiert die Kurve geometrisch als geometrischen Ort von Punkten, die eine bestimmte Bedingung erfüllen, bestimmt die [[algebraische Gleichung]], den Scheitel, die Asymptote und die Wendepunkte.

== Anwendungen ==
Eine skalierte Version der Kurve entspricht der [[Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] der [[Cauchy-Verteilung]]. Dies ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der [[Zufallsgröße]] <math>x</math>, die durch das folgende [[Zufallsexperiment]] definiert ist: Für einen festen Punkt <math>P</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse wird zufällig (Gleichverteilung) eine Gerade durch <math>P</math> gewählt; <math>x</math> sei die Koordinate des Schnittpunkts dieser Geraden mit der <math>x</math>-Achse.
Die dadurch bestimmte Cauchy-Verteilung ähnelt der [[Normalverteilung]], aber aufgrund der [[Heavy-tailed-Verteilung]] gibt es keinen [[Erwartungswert]] gemäß den üblichen Definitionen, trotz der Symmetrie. Das bedeutet, dass die <math>x</math>-Koordinate des [[Schwerpunkt]]s der Fläche zwischen der Kurve und ihrer Asymptote nicht wohldefiniert ist, obwohl die Fläche symmetrisch und ihr Inhalt endlich ist.

In der  [[Numerische Mathematik|Numerischen Mathematik]], bei der Approximation von Funktionen durch Polynome ([[Polynominterpolation]]) mit gleichmäßig verteilten Stützstellen, kann es bei manchen Funktionen vorkommen, dass die Verwendung von mehr Punkten schlechtere Näherungen liefert. Dieses paradoxe Verhalten wird [[Runges Phänomen]] genannt. Es wurde zuerst von [[Carl Runge]] für die Runge-Funktion <math>y=1/(1+25x^2)</math> entdeckt, eine weitere skalierte Version der Versiera der Agnesi, und zwar bei der Interpolation der Funktion über dem Intervall <math>[-1,1]</math>. Dasselbe Phänomen tritt auf für <math>y=1/(1+x^2)</math>, wenn man das größere Intervall <math>[-5,5]</math> zugrunde legt.

Die Versiera der Agnesi beschreibt die Energieverteilung von [[Spektrallinie]]n, insbesondere bei [[Röntgenstrahlen]].

Der Querschnitt eines sanften [[Hügel]]s ähnelt der Versiera. Kurven dieser Art wurden verwendet bei der mathematischen Modellierung von Landschaften.

[[Soliton]]en im tiefen Wasser können ebenfalls diese Form haben.

Eine Version der Kurve wurde von [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] verwendet, um die [[Leibniz-Reihe|Leibniz’sche Formel für die Kreiszahl <math>\pi</math>]] herzuleiten. Diese Formel, die [[unendliche Reihe]]
:<math>\frac{\pi}{4} = 1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots,</math>
ergibt sich aus der Fläche zwischen der Kurve und ihrer Asymptote, also aus dem Integral der Funktion <math>1/(1+x^2)</math>,
wenn man die [[geometrische Reihe]] <math>1-x^2+x^4-x^6+\cdots</math> als [[Taylor-Reihe]]n-Entwicklung dieser Funktion aufstellt und die Reihenglieder einzeln integriert.

== Literatur ==
* Ulrike Klens: ''Mathematikerinnen im 18. Jahrhundert: Maria Gaetana Agnesi, Gabrielle-Emilie du Châtelet, Sophie Germain: Fallstudien zur Wechselwirkung von Wissenschaft und Philosophie im Zeitalter der Aufklärung.'' Centaurus, Pfaffenweiler 1998, ISBN 3-89085-826-0 (Zugleich [[Dissertation]] an der [[Universität Augsburg]] 1992).

== Weblinks ==
* {{MacTutor |id=Witch |title=Witch of Agnesi |page=cur}}
* {{MathWorld |id=WitchofAgnesi |title=Witch of Agnesi}}
* [http://www.juergen-roth.de/dynageo/versiera/Versiera.html DynaGeoX-Applet der Kurve]
* [http://mathforum.org/dynamic/java_gsp/witch.html The Witch of Agnesi] – Mathforum.org Java-Applet (englisch)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kurve (Geometrie)]]