Quelltext der Seite Uneigentliches Integral

Ein '''uneigentliches Integral''' ist ein Begriff aus dem [[Teilgebiet der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Analysis]]. Mit Hilfe dieses [[Integralrechnung|Integralbegriffs]] ist es möglich, [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] zu integrieren, die einzelne [[Singularität (Mathematik)|Singularitäten]] aufweisen oder deren [[Definitionsbereich]] [[Intervall (Mathematik) #Unbeschränkte Intervalle|unbeschränkt]] ist und die deshalb nicht im eigentlichen Sinn integrierbar sind.

Das uneigentliche Integral kann als Erweiterung des [[Riemann-Integral]]s, des [[Lebesgue-Integral]]s oder auch anderer Integrationsbegriffe verstanden werden. Oftmals wird es allerdings im Zusammenhang mit dem Riemann-Integral betrachtet, da insbesondere das (eigentliche) Lebesgue-Integral schon viele Funktionen integrieren kann, die nur uneigentlich Riemann-integrierbar sind.

== Definition ==
Es gibt zwei Gründe, warum uneigentliche Integrale betrachtet werden. Zum einen möchte man Funktionen auch über unbeschränkte Bereiche integrieren, beispielsweise von <math>- \infty</math> bis <math>\infty</math>. Dies ist mit dem Riemann-Integral ohne weiteres nicht möglich. Uneigentliche Integrale, die dieses Problem lösen, nennt man ''uneigentliche Integrale erster Art''. Außerdem ist es auch von Interesse, Funktionen zu integrieren, die auf dem Rand ihres [[Definitionsbereich]]s eine [[Singularität (Mathematik)|Singularität]] haben. Uneigentliche Integrale, die das ermöglichen, nennt man ''uneigentliche Integrale zweiter Art''. Es ist möglich, dass uneigentliche Integrale an einer Grenze uneigentlich erster Art und an der anderen Grenze uneigentlich zweiter Art sind. Jedoch ist es für die Definition des uneigentlichen Integrals unerheblich, von welcher Art das Integral ist.

=== Integrationsbereich mit einer kritischen Grenze ===
Sei <math>-\infty < a < b \leq \infty</math> und <math>f \colon {[a,b[} \to \R</math> eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die über jedem abgeschlossenen Teilintervall <math>[a,\beta] \subset[a,b[</math> integrierbar ist. Dann ist das uneigentliche Integral im Fall der [[Grenzwert (Folge)|Konvergenz]] definiert durch

:<math>
\int_a^b f(x)\, \mathrm{d} x := \lim_{\beta \nearrow b} \int_a^\beta f(x)\, \mathrm{d} x\,.
</math>

Analog ist das uneigentliche Integral für <math>-\infty \leq a < b < \infty</math> und <math>f \colon {]a,b]} \to \R</math> definiert.<ref name="koe1-218">[[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 1''. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4, S. 218.</ref>

Existiert der Grenzwert nicht, so nennt man <math>\textstyle \int_a^b f(x)\, \mathrm dx</math> auch ein ''divergentes Integral.''

=== Integrationsbereich mit zwei kritischen Grenzen ===
Sei <math>-\infty \leq a < b \leq \infty</math> und <math>f \colon {]a,b[} \to \R</math> eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]]. So ist das uneigentliche Integral im Fall der [[Grenzwert (Folge)|Konvergenz]] definiert durch

:<math>
\int_a^b f(x)\, \mathrm{d} x :=  \int_a^c f(x)\, \mathrm{d} x + \int_c^b f(x)\, \mathrm{d} x\,,
</math>

wobei <math>a < c < b</math> gilt und die beiden rechten Integrale uneigentliche Integrale mit einer kritischen Grenze sind.<ref name="koe1-218"/> Ausgeschrieben heißt das

:<math>
\int_a^b f(x)\, \mathrm{d} x :=  \lim_{\alpha \searrow a} \int_\alpha^c f(x)\, \mathrm{d} x + \lim_{\beta \nearrow b} \int_c^\beta f(x)\, \mathrm{d} x\,.
</math>

Die Konvergenz und der Wert des Integrals hängt nicht von der Wahl von <math>c</math> ab.

== Beispiele ==
=== Integrale zweier Potenz-Funktionen ===
Falls eine [[Stammfunktion]] bekannt ist, kann wie im eigentlichen Fall das Integral an der benachbarten Stelle <math>\beta</math> ausgewertet werden und dann der Grenzwert für <math>\beta\nearrow b</math> berechnet werden. Ein Beispiel ist das Integral

:<math>
\int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt x} = 2\sqrt{x}\Big|_0^1 = 2\,,
</math>

bei dem der [[Integrand]] bei <math>x=0</math> eine [[Definitionslücke|Singularität]] besitzt und daher nicht als (eigentliches) Riemann-Integral existiert. Fasst man das Integral als uneigentliches Riemann-Integral zweiter Art auf, so gilt

:<math>
\lim_{\alpha \searrow 0} \int_\alpha^1\frac{1}{\sqrt{x}}\, \mathrm{d}x = \lim_{\alpha \searrow 0}\left[2\sqrt{1}-2\sqrt{\alpha}\right]=2\,.
</math>

Das Integral

:<math>
\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x
</math>

hat einen unbeschränkten Definitionsbereich und ist daher ein uneigentliches Integral erster Art. Es gilt

:<math>
\lim_{\beta\to\infty} \int_1^{\beta}\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x = \lim_{\beta\to\infty} \left[-\frac{1}{\beta} + \frac{1}{1}\right] = 1\,. 
</math>

=== Gaußsches Fehlerintegral ===
{{Hauptartikel|Fehlerintegral}}
Das Gaußsche Fehlerintegral

:<math>
\int_{-\infty}^\infty e^{- \frac{1}{2} x^2}\,\mathrm{d}x = \sqrt{2 \pi}
</math>

ist ein uneigentliches Riemann-Integral erster Art. Im Sinn der [[Lebesgue-Integral|lebesgueschen Integrationstheorie]] existiert das Integral auch im eigentlichen Sinn.

=== Kosmische Geschwindigkeit ===
In der Physik lässt sich die [[Fluchtgeschwindigkeit (Raumfahrt)|Fluchtgeschwindigkeit]] über ein uneigentliches Integral berechnen. Die Fluchtgeschwindigkeit eines Massekörpers wie beispielsweise einer [[Rakete]] von einem Himmelskörper ist die erforderliche Geschwindigkeit, sich aus seinem [[Gravitationsfeld]] ohne weiteren [[Ballistik|ballistischen]] Antrieb zu entfernen. Da [[Gravitation]] eine unendliche Reichweite hat, muss der Körper über ausreichend Energie besitzen, dieses Feld verlassen zu können. Um die Energie zu erreichen, braucht es eine bestimmte Mindestgeschwindigkeit, die man als Fluchtgeschwindigkeit bezeichnet. Da die Gravitationskraft trotz ihrer unendlichen Reichweite im Quadrat seiner Entfernung abnimmt ist die erforderliche Energie beziehungsweise Fluchtgeschwindigkeit endlich.

Zur Berechnung der Gravitationskraft <math>F</math> zweier Massekörper <math>{m_1}</math>, der Masse des fliehenden Körpers, <math>{m_2}</math>, der Masse des Himmelskörpers, in Abhängigkeit von der Abstandskoordinate <math>r</math> verwendet man:
:<math>F(r) = \gamma \cdot \frac{m_1 m_2}{r^2}</math>

Die erforderliche Energie um von der Oberfläche mit dem Abstand <math>R</math> zu entkommen beträgt
:<math>E(R) = \int_{r=R_0}^R \gamma \cdot \frac{m_1 m_2}{r^2} \,\mathrm dr = \gamma \cdot {m_1} \cdot {m_2} \cdot \Big[ \frac{1}{R_0} - \frac{1}{R} \Big]</math>

Im Grenzwertprozess lässt man <math>R \to \infty </math> streben und erhält so die Formel für das uneigentliche Integral
:<math>E(R) = \gamma \cdot {m_1} \cdot {m_2}  \int_{r=R_0}^\infty \frac{\mathrm dr}{r^2} = \gamma \cdot \frac{{m_1} {m_2}}{R_0} </math>

Nun kann aus der Gleichsetzung der [[Kinetische Energie|kinetischen Energie]] mit der Energie aus dem Gravitationsfeld zu entkommen die Geschwindigkeit errechnet werden, um gerade diesem Gravitationsfeld zu entkommen
:<math>\frac{1}{2} {m_1} v^2 =\gamma \cdot \frac{{m_1} {m_2}}{R_0} \Rightarrow v= \sqrt{ 2 \cdot \gamma \cdot \frac{m_2}{R_0}}</math>

Aus der resultierenden Gleichung für die Fluchtgeschwindigkeit <math>v</math> erkennt man, dass <math>v</math> von der Masse des fliehenden Körpers unabhängig ist und nur vom Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche des Planeten <math>R_0</math>, der Planetenmasse <math>m_2</math> und der [[Gravitationskonstante]] <math>\gamma</math> abhängt.

== Beziehung zwischen eigentlichen und uneigentlichen Riemann- und Lebesgue-Integralen ==
* Jede Riemann-integrierbare Funktion ist auch Lebesgue-integrierbar.
* Somit ist jede uneigentlich Riemann-integrierbare Funktion auch uneigentlich Lebesgue-integrierbar.
* Es gibt Funktionen, die uneigentlich Riemann-integrierbar, aber nicht Lebesgue-integrierbar sind, man betrachte etwa das Integral
::<math>\int_1^\infty \frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x.</math>
:(Es existiert nicht im Lebesgue-Sinn, da für jede Lebesgue-integrierbare Funktion auch ihr [[Absolutbetrag]] Lebesgue-integrierbar ist, was mit nützlichen Eigenschaften der [[Lp-Raum|durch das Lebesgue-Integral definierten Funktionenräume]] einhergeht, die somit beim uneigentlichen Lebesgue-Integral verloren gehen).
* Auf der anderen Seite gibt es Funktionen, die Lebesgue-integrierbar, aber nicht (auch nicht uneigentlich) Riemann-integrierbar sind, z.&nbsp;B. die [[Dirichlet-Funktion]] auf einem beschränkten Intervall.

== Weblinks ==

{{Commonscat|Improper integral}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Integralbegriff]]