Quelltext der Seite Umkehrregel

Die '''Umkehrregel''' ist eine Formel, die einen Zusammenhang zwischen der [[Differentialrechnung|Ableitung]] einer [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] und der Ableitung ihrer [[Umkehrfunktion]] herstellt. Genauer besagt sie: Ist eine [[Stetige Funktion|stetige]] und [[Monotone reelle Funktion|streng monotone]] Funktion <math>f \colon I \to \mathbb R</math> auf einem Intervall <math>I</math> an der Stelle <math>x_0</math> [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]] und ist <math>f'(x_0)\neq 0</math>, dann gilt mit <math>y_0=f(x_0)</math>:

:<math>(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))} = \frac{1}{f'(x_0)}</math>.

Die Umkehrregel ist eine Teilaussage des '''Satzes von der Umkehrfunktion''''','' der in verschiedenen Ausführungen existiert und jeweils die Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion zeigt. Er lässt sich unter anderem für [[Komplexwertige Funktion|komplexe Funktionen]] und [[Analysis#Mehrdimensionale reelle Analysis|mehrdimensionale Funktionen]] formulieren.

== Beispiele ==

=== Ableitung des Logarithmus ===

Die [[Exponentialfunktion]] <math>f(x) = \mathrm{e}^x</math> ist stetig und streng monoton steigend. Für die Ableitung gilt <math>f'(x) = \mathrm{e}^x \ne 0</math>.
Die Umkehrfunktion von <math>f</math> ist der [[Natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]: <math>f^{-1}(y) = \ln(y)</math>. Nach der Umkehrregel ergibt sich
:<math>\ln'(y) = (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} = \frac{1}{\mathrm{e}^{\ln(y)}} = \frac{1}{y}.</math><ref name=":3">{{Literatur |Autor=Forster, Lindemann |Titel=Analysis 1 |Datum=2023 |Seiten=238}}</ref>

=== Ableitung der n-ten Wurzel ===

Die Potenzfunktion <math>f(x) = x^n</math> ist für <math>n \in \N</math> und <math>x\geq0</math> stetig und streng monoton steigend.
Für die Ableitung gilt <math>f'(x) = n x^{n-1} \ne 0</math>. Die Umkehrfunktion von <math>f</math> ist gegeben durch <math>f^{-1}(y) = \sqrt[n]{y}</math>. Aus der Umkehrregel erhält man
:<math>(\sqrt[n]{y})' = (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} = \frac{1}{n (\sqrt[n]{y})^{n-1}} = \frac{1}{n} (\sqrt[n]{y})^{1-n} = \frac{1}{n} y^{\frac{1-n}{n}} = \frac{1}{n} y^{\frac{1}{n}-1}.</math><ref name=":2" /><ref>{{Literatur |Autor=Goebbels, Richter |Titel=Mathematik verstehen und anwenden |Datum=2023 |Seiten=345}}</ref>

=== Ableitung des Arkussinus ===

Die [[Sinus und Kosinus|Sinusfunktion]] <math>f(x) = \sin(x)</math> ist auf dem offenen Intervall <math>(-\pi/2, \pi/2)</math> stetig und streng monoton steigend;
außerdem gilt in diesem Intervall <math>f'(x) = \cos(x) \ne 0</math>.
Die Umkehrfunktion von <math>f</math> ist die [[Arkussinus und Arkuskosinus|Arkussinusfunktion]]: <math>f^{-1}(y) = \arcsin(y)</math>. Für <math>-1 < y < 1</math> folgt somit aus der Umkehrregel
:<math>\arcsin'(y) = (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} = \frac{1}{\cos(\arcsin(y))} = \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}.</math><ref>{{Literatur |Autor=Forster, Lindemann |Titel=Analysis 1 |Datum=2023 |Seiten=239}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Courant |Titel=Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1 |Datum=1971 |Seiten=132}}</ref>
(Die letzte Umformung beruht auf dem [[Trigonometrischer Pythagoras|trigonometrischen Pythagoras]].)

Auf analoge Weise leitet man die Ableitungen von [[Arkussinus und Arkuskosinus|Arkuskosinus]] und [[Arkustangens und Arkuskotangens|Arkustangens]] aus den Ableitungen von Kosinus bzw. Tangens her.

== Herleitungen ==

=== Durch Achsenspiegelung ===
[[Datei:Umkehrregel-Spiegelung.svg|250px|mini|<math>(f^{-1})'(y_0)=\frac{a}{b}=\frac{1}{b/a}=\frac{1}{f'(x_0)}.</math>]]
Diese Herleitung basiert auf der Eigenschaft, dass der Graph der Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math> aus dem Graphen von <math>f</math> durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten hervorgeht. Es wird ein Punkt <math>(x_0, y_0)</math> auf dem Graphen von <math>f</math> mit einem zugehörigen Steigungsdreieck betrachtet. Bezeichnet man dessen Katheten mit <math>a</math> und <math>b</math>, so ist <math>f'(x_0)=b/a</math>. Durch Spiegelung dieser Konfiguration an der Winkelhalbierenden erhält man den Punkt <math>(y_0,x_0)</math> auf dem Graphen von <math>f^{-1}</math> mit einem zugehörigen Steigungsdreieck. Aus dem <math>x</math>-Zuwachs wird der <math>y</math>-Zuwachs und umgekehrt, d.&nbsp;h. <math>f'(y_0)=b/a</math>. Die Steigung des Graphen von <math>f^{-1}</math> im Punkt <math>(y_0,x_0)</math> ist also gleich dem Kehrwert der Steigung des Graphen von <math>f</math> im Punkt <math>(x_0,y_0)</math>, d.&nbsp;h.

:<math>(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Greefrath et al. |Titel=Didaktik der Analysis |Datum=2016 |Seiten=178}}</ref>

=== Durch Vertauschen der Koordinatenachsen ===
[[Datei:Umkehrregel-durch-Achsenvertauschung.svg|250px|mini|Die Kurve ist zugleich der Graph von <math>f</math> und <math>f^{-1}</math>, je nachdem ob man <math>x</math> oder <math>y</math> als unabhängige Variable auffasst.]]
Zur geometrischen Herleitung der Umkehrregel ist eine Spiegelung des Graphen gar nicht nötig, da die Bildung der Umkehrfunktion einfach einer Vertauschung der Variablen <math>x</math> und <math>y</math> und damit der Koordinatenachsen entspricht. Der Graph von <math>f</math> ist somit zugleich der Graph von <math>f^{-1}</math>, je nachdem ob man <math>x</math> oder <math>y</math> als unabhängige Variable auffasst. Für die Tangente an einer Kurve hat es jedoch keine Bedeutung, ob <math>x</math> oder <math>y</math> die unabhängige Variable ist. Es muss also die Bildung der Ableitung der Umkehrfunktion auf die gleiche Gerade als Tangente führen. Wird <math>x</math> als unabhängige Variable gesehen, so hat diese Geraden die Steigung <math>a/b</math>, und ist gleich <math>f'(x_0)</math>; wird <math>y</math> als unabhängige Variable gesehen, so hat sie die Steigung <math>b/a</math>, welche zugleich <math>(f^{-1})'(y_0)</math> ist. Also ist

:<math>(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Prange, von Koppenfels |Titel=Vorlesungen über Integral- und Differentialrechnung |Datum=1943 |Seiten=210}}</ref>

=== Mithilfe von Differentialen ===
Die Umkehrregel lässt sich durch das formale Rechnen mit [[Differential (Mathematik)|Differentialen]] herleiten: Ist <math>y=f(x)</math> eine Funktion mit Ableitung <math>y'(x)=\tfrac{dy}{dx}</math>  ([[Differentialrechnung|Leibniz-Notation]]) und  <math>x = f^{-1}(y)</math> ihre Umkehrabbildung mit der Ableitung <math>x'(y)=\tfrac{dx}{dy}</math>, so erhält man die Umkehrregel durch „Kehrwertbildung“:
:<math>y'(x)=\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}= \frac{1}{x'(y)}</math>.<ref name=":2">{{Literatur |Autor=[[Otto Toeplitz]] |Titel=Die Entwicklung der Infinitesimalrechnung |Reihe=Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften |BandReihe=56 |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=1949 |ISBN=3-642-49496-X |Seiten=102}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Prange, von Koppenfels |Titel=Vorlesungen über Integral- und Differentialrechnung |Datum=1943 |Seiten=266-267}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Dietmar Herrmann |Titel=Mathematik der Neuzeit |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2022 |ISBN=978-3-662-65416-3 |Kapitel=Kapitel 13.15 Der Calculus von Leibniz |Seiten=436}}</ref>

=== Mithilfe der Kettenregel ===
Aus der Identität <math>(f\circ f^{-1})(y)=y</math> folgt durch Ableiten auf beiden Seiten

:<math>f'(f^{-1}(y))\cdot (f^{-1})'(y)=1</math>.

Mittels Division durch <math>f'(f^{-1}(y)) \neq 0</math> erhält man hieraus die Umkehrregel.

Damit man die linke Seite der Identität mit der [[Kettenregel]] ableiten darf, muss <math>f</math> differenzierbar an der Stelle <math>x= f^{-1}(y)</math> mit <math>f'(x)\neq 0</math> sein und <math>f^{-1}</math> differenzierbar an der Stelle <math>y = f(x)</math> sein.<ref>{{Literatur |Autor=Königsberger |Titel=Analysis 1 |Datum=2004 |Seiten=143}}</ref><ref name=":5">{{Literatur |Autor=Goebbels, Ritter |Titel=Mathematik verstehen und anwenden. Differenzial- und Integralrechnung, Lineare Algebra |Datum=2023 |Seiten=344}}</ref><ref name=":1">{{Literatur |Autor=Arens et al. |Titel=Mathematik |Datum=2023 |Seiten=329}}</ref>
== Satz von der Umkehrfunktion ==
Beim ''Satz von der Umkehrfunktion'' werden Bedingungen für die Funktion <math>f</math> formuliert, welche die Existenz der Ableitung der Umkehrfunktion sicherstellen. Statt im folgenden Satz strenge Monotonie vorauszusetzen, ist es auf Intervallen äquivalent, die [[Injektive Funktion|Injektivität]] von <math>f</math> zu verlangen.<ref name=":5" /> [[Ohne Beschränkung der Allgemeinheit]] kann für den Zielbereich das Intervall <math>J=f(I)</math> genutzt werden, wodurch die [[Bijektive Funktion|Bijektivität]] von <math>f</math> und damit die Existenz der Umkehrfunktion gesichert ist. Wird zudem die Differenzierbarkeit statt an nur einer Stelle, auf dem gesamten Intervall gefordert (eine stärkere Bedingung), so kann auf die Annahme der Stetigkeit verzichtet werden.

=== Satz von der Umkehrfunktion auf einem Intervall ===
Sei <math>I\subseteq\R</math> ein nicht-triviales [[Intervall (Mathematik)|Intervall]], <math>f\colon I\to\R</math> eine [[Stetige Funktion|stetige]], [[Monotone reelle Funktion|streng monotone]] Funktion und <math>f^{-1}</math> ihre Umkehrfunktion.
Ist <math>f</math> in <math>x_0\in I</math> differenzierbar und <math>f'(x_0) \ne 0</math>, dann ist <math>f^{-1}</math> an der Stelle <math>y_0=f(x_0)</math> differenzierbar und es gilt

:<math>(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))} = \frac{1}{f'(x_0)}</math>.<ref name=":0">{{Literatur |Autor=Otto Forster |Titel=Analysis 1 |Verlag=Springer Fachmedien Wiesbaden |Ort=Wiesbaden |Datum=2016 |ISBN=978-3-658-11544-9 |Seiten=172 |DOI=10.1007/978-3-658-11545-6}}</ref>

==== Beweis ====
Eine Möglichkeit, die Aussage zu zeigen, ist über den [[Differenzenquotient]]en von [[Folge (Mathematik)|Folgen]].

Sei <math>y_n\in f(I)\backslash\{f(x_0)\}</math> eine beliebige Folge mit <math>\lim_{n\to\infty} y_n=f(x_0)</math> und sei <math>x_n:=f^{-1}(y_n)</math>. Aus den Voraussetzungen kann man folgern, dass <math>f^{-1}</math> [[Bijektive Funktion|bijektiv]] und stetig ist<ref>{{Literatur |Autor=Forster, Lindemann |Titel=Analysis 1 |Datum=2023 |Seiten=173}}</ref>, daher gilt <math>\lim_{n\to\infty} x_n=x_0</math> und <math>x_n\ne x_0</math> für alle <math>n</math>. Es gilt
:<math>(f^{-1})'(f(x_0))=\lim_{n\to\infty}\frac{f^{-1}(f(x_n))-f^{-1}(f(x_0))}{y_n-f(x_0)}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n-x_0}{f(x_n)-f(x_0)}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}}=\frac{1}{f'(x_0)}</math>.<ref name=":0" />

=== Satz von der Umkehrfunktion für komplexe Zahlen ===
Sei <math>D\subset\C </math> [[Offene Menge|offen]], <math>f</math> [[Holomorphe Funktion|holomorph]] in <math>D</math>, <math>z_0\in D</math> und <math>f'(z_0)\ne 0</math>. Dann existiert eine offene Umgebung <math>U</math> von <math>z_0</math> und <math>V</math> von <math>f(z_0)</math>, sodass <math>f|_U:U\to V</math> bijektiv und <math>f^{-1}</math> holomorph in <math>V</math> ist mit

:<math>(f^{-1})'(z) = \frac{1}{f'(f^{-1}(z))} </math>, für alle <math>z\in V</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Wolf-Patrick Düll |Titel=Höhere Analysis |Datum= |Seiten=3}}</ref>

=== Satz von der Umkehrfunktion für <math>C^1</math>-Funktionen ===
Fordert man die Stetigkeit der ersten Ableitung von <math>f</math>, so genügt bereits die Voraussetzung <math>f'(x_0) \ne 0</math>, da daraus direkt <math>f' \ne 0</math> auf einem kleinen Bereich um <math>x_0</math> und daraus wiederum die Existenz der Umkehrfunktion von <math>f</math> auf diesem kleinen Bereich folgt. Von dieser Grundidee geht man bei der mehrdimensionalen Verallgemeinerung der Umkehrregel, dem [[Satz von der Umkehrabbildung]], aus:

Sei <math>\Omega\subset\R^n</math> offen, <math>f:\Omega\to\R^n</math> eine [[stetig differenzierbare Funktion]], sodass die [[Jacobi-Matrix]] <math>Df(x_0)</math> invertierbar ist. Dann ist <math>f</math> ein [[lokaler Homöomorphismus]]; d. h. es gibt für jedes <math>x_0 \in\Omega</math> eine offene Umgebung <math>U</math> und eine offene Umgebung <math>V</math> von <math>f(x_0)</math>, sodass <math>f</math> ein Homöomorphismus von <math>U</math> nach <math>V</math> ist. Es gilt:

:<math>Df^{-1}(f(x_0))=Df(x_0)^{-1}</math>.<ref>{{Internetquelle |url=https://terrytao.wordpress.com/2011/09/12/the-inverse-function-theorem-for-everywhere-differentiable-maps/ |titel=The inverse function theorem for everywhere differentiable maps |werk=What's new |datum=2011-09-13 |sprache=en |abruf=2025-12-02}}</ref>

Der Beweis ist ein Korollar des [[Satz von der impliziten Funktion|Satzes von der impliziten Funktion]].

=== Globale Version ===
Der Satz von der Umkehrabbildung ist ein lokales Ergebnis, d. h. er gilt für jeden Punkt. A priori zeigt der Satz also nur, dass die Funktion <math>f</math> lokal [[Bijektive Funktion|bijektiv]] ist. Mit dem folgenden Lemma aus der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] kann die lokale [[Injektive Funktion|Injektivität]] auf eine globale Injektivität erweitert werden.

Wenn <math>A</math> eine [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene Teilmenge]] einer ([[Zweitabzählbar|zweitabzählbaren]]) [[Topologische Mannigfaltigkeit|topologischen Mannigfaltigkeit]] <math>X</math> (oder allgemeiner ein [[topologischer Raum]], der eine kompakte Ausschöpfung zulässt), <math>Z</math> ein topologischer Raum, <math>f \colon X \to Z</math> ein auf <math>A</math> injektiver [[lokaler Homöomorphismus]] ist, dann ist <math>f</math> injektiv auf einer Umgebung von <math>A</math>.

Das Lemma impliziert die folgende (in gewisser Weise) globale Version des Satzes von der Umkehrfunktion:

Sei <math>f \colon U \to V</math> eine Abbildung zwischen offenen Teilmengen von <math>\R^n</math> oder allgemeiner von [[Mannigfaltigkeit]]en. Angenommen, <math>f</math> ist [[stetig differenzierbar]] (d. h. <math>C^k</math>). Wenn <math>f</math> auf einer abgeschlossenen Teilmenge <math>A \subset U</math> injektiv ist und die Jacobi-Matrix von <math>f</math> in jedem Punkt von <math>A</math> invertierbar ist, dann ist <math>f</math> auf einer Umgebung <math>A'</math> von <math>A</math> injektiv und <math>f^{-1} \colon f(A') \to A'</math> ist stetig differenzierbar.<ref>Ch. I., § 3, Exercise 10. and § 8, Exercise 14. in V. Guillemin, A. Pollack. "Differential Topology". Prentice-Hall Inc., 1974. ISBN 0-13-212605-2.</ref>

Wenn <math>A</math> ein Punkt ist, dann entspricht dieser Satz dem üblichen Satz von der Umkehrabbildung.

== Siehe auch ==
* [[Faktorregel]]
* [[Summenregel]]
* [[Produktregel]]
* [[Quotientenregel]]
* [[Kettenregel]]

== Literatur ==
* Steffen Goebbels, Stefan Ritter: ''Mathematik verstehen und anwenden: Differenzial- und Integralrechnung, Lineare Algebra.'' 4. Auflage. Springer Spektrum, 2023, ISBN 978-3-662-68366-8, S. 344–347.
* [[Otto Forster]], Florian Lindemann: ''Analysis 1.'' 13. Auflage. Springer, Wiesbaden 2023, ISBN 978-3-658-40129-0, S. 237–239.
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 1''. 6. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-40371-X, S. 143.
* [[Richard Courant]]: ''Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1''. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1971, 3-540-05466-9, S. 128–134.
* [[Karl Strubecker]]: ''Einführung in die Höhere Mathematik. Band II: Differentialrechnung einer reellen Veränderlichen.'' Oldenbourg, München / Wien 1967, S. 153–156.
* [[Georg Prange]], [[Werner von Koppenfels (Mathematiker)|Werner von Koppenfels]]: ''Vorlesungen über Integral- und Differentialrechnung. Erster Band: Funktionen einer reellen Veränderlichen.'' Springer, Berlin / Heidelberg 1943, ISBN 978-3-540-01337-2, S. 210–211 und S. 266–267.
* Greefrath et al: ''Didaktik der Analysis''. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-48876-8, S. 177–179.
* Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn: ''Elementare Analysis''. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-8274-2091-6, S. 304–305.
* Tilo Arens et al.: ''Mathematik''. 5. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2023, ISBN 978-3-662-64388-4, S. 329–330.
* [[Edmund Weitz]]: ''Konkrete Mathematik (nicht nur) für Informatiker''. 2. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-62617-7, S. 573–574.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]