Quelltext der Seite Trennungssatz

Der '''Trennungssatz''' (auch '''Satz von Eidelheit''', benannt nach [[Meier Eidelheit]]) ist ein [[Satz (Mathematik)|mathematischer Satz]] über die Möglichkeiten zur Trennung [[Konvexe Menge|konvexer Mengen]] in [[Normierter Raum|normierten Vektorräumen]] (oder allgemeiner [[lokalkonvexer Raum|lokalkonvexen Räumen]]) durch lineare [[Funktional]]e. Dabei handelt es sich um geometrische Folgerungen aus dem [[Satz von Hahn-Banach]]. Wie dieser beruht daher der Trennungssatz auf einem nicht-[[Konstruktive Mathematik|konstruktiven]] Argument, wie dem [[Lemma von Zorn]] beziehungsweise dem [[Auswahlaxiom]].

== Erste Formulierung ==
Die einfachste Version des Trennungssatzes lautet wie folgt:
: Sei <math>X</math> ein [[Normierter Raum|normierter Vektorraum]] (oder [[lokalkonvexer Raum]]) über <math> \R </math> oder <math> \mathbb{C} </math>. Seien weiter <math>M \subset X</math> eine abgeschlossene [[konvexe Menge]] und <math>x \in X \setminus M</math>. Dann existiert ein lineares stetiges [[Funktional]] <math> \varphi \in X' </math> mit &nbsp; <math>{\rm Re} (\varphi(x)) < \inf\{{\rm Re} (\varphi(y))\ |\ y \in M\}</math>.

Hier bezeichnet <math>\rm Re</math> den [[Realteil]] und <math>X'</math> den [[Dualraum|topologischen Dualraum]] von <math>X</math>. Man sagt dann: Das Funktional <math>\varphi</math> trennt den Punkt <math>x</math> von  der Menge <math>M</math>.

== Weitere Formulierungen ==
In obiger Formulierung kann der Punkt <math>x</math> durch eine [[kompakter Raum|kompakte]] konvexe Menge ersetzt werden. Man erhält dann den folgenden Satz:
: Sei <math>X</math> ein normierter Vektorraum (oder lokalkonvexer Raum) über <math> \R </math> oder <math> \mathbb{C} </math>. Seien weiter <math>M \subset X</math> eine nicht-leere, abgeschlossene, konvexe Menge und <math>K \subset X \setminus M</math> eine nicht-leere, kompakte, konvexe Menge. Dann existiert ein lineares stetiges Funktional <math> \varphi \in X' </math> mit :::<math>\sup\{{\rm Re} (\varphi(x))\ |\ x\in K\} < \inf\{{\rm Re} (\varphi(y))\ |\ y \in M\}</math>.

Schließlich kommt man zu einer schwächeren Trennungseigenschaft, wenn man in obiger Version auf die Abgeschlossenheit und Kompaktheit verzichtet:
: Sei <math>X</math> ein normierter Vektorraum (oder lokalkonvexer Raum) über <math> \R </math> oder <math> \mathbb{C} </math>. Seien weiter <math>M_1, M_2 \subset X</math> nicht-leere, disjunkte, konvexe Mengen, <math>M_2</math> sei [[Offene Menge|offen]]. Dann existiert ein lineares stetiges Funktional <math> \varphi \in X' </math> mit :::<math>\forall y\in M_2:\sup\{{\rm Re} (\varphi(x))\ |\ x\in M_1\} < {\rm Re} (\varphi(y))</math>.

== Hyperebenen ==
[[Datei:TrennungssatzVeranschaulichungImR3.PNG|mini|Im Anschauungsraum <math>{\mathbb R}^3</math> werden disjunkte konvexe Mengen durch Ebenen getrennt.]]
Mengen der Form <math>\{x\in X; {\rm Re}(\varphi(x)) = r\}</math>, wobei <math>\varphi\in X'</math> und <math>r\in{\mathbb R}</math>, sind [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] [[Hyperebene]]n. 
Sie zerlegen den Raum <math>X</math> in einen oberen Halbraum <math>\{x\in X; {\rm Re}(\varphi(x)) \ge r\}</math> und einen unteren Halbraum <math>\{x\in X; {\rm Re}(\varphi(x)) \le r\}</math>.
Zu einer kompakten konvexen Menge und einer dazu disjunkten abgeschlossenen konvexen Menge kann man nach obigem Trennungssatz eine Hyperebene finden, so dass die beiden Mengen in unterschiedlichen Halbräumen liegen, und zwar jeweils im [[Innerer Punkt|Inneren]] dieser Halbräume.
Man sagt, die Hyperebene trenne die beiden konvexen Mengen.
Das ist im 2-dimensionalen und 3-dimensionalen Fall besonders anschaulich, da die Hyperebenen in diesen Fällen [[Gerade]]n bzw. [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]] sind.

[[Datei:TrennungssatzVeranschaulichungImR2.PNG|mini|links|Die disjunkten, konvexen Mengen <math>M_1</math> und <math>M_2</math> lassen sich nicht durch offene Halbräume trennen.]]
Hat man zwei disjunkte konvexe Mengen in <math>X</math>, von denen eine offen ist, so gibt es zu diesen nach der zuletzt genannten Version des Trennungssatzes ebenfalls eine Hyperebene, so dass die beiden Mengen in unterschiedlichen Halbräumen liegen. 
Im Allgemeinen kann man aber nicht mehr erreichen, dass beide im Inneren der Halbräume liegen.
Dazu betrachte man in <math>X={\mathbb R}^2</math> die untere Halbebene <math>M_1:=\{(x,y)\ |\ y\le 0\}</math> und die offene Menge oberhalb des [[Funktionsgraph|Graphen]] der [[Exponentialfunktion]] <math>M_2:=\{(x,y)\ |\ y>e^x\}</math>.
Wie durch nebenstehende Zeichnung verdeutlicht, ist <math>\{(x,y)\ |\ \varphi(x,y) = 0\}</math> mit <math>\varphi(x,y):=y</math> die einzige trennende Hyperebene, und <math>M_1</math> liegt nicht im Inneren des zugehörigen Halbraums.

== Anwendungen ==
Dieser Satz hat auch außerhalb der [[Funktionalanalysis]] viele wichtige Anwendungen und stellt für viele Beweise ein nicht-[[Konstruktive Mathematik|konstruktives]] Existenzargument dar, unter anderem:
* Existenz von [[Subdifferential]]en für geeignet formulierte verallgemeinerte [[Richtungsableitung]]en.
* Beweis von [[Lemma von Farkas|Farkas’ Lemma]], das heißt Anwendung in der [[konvexe Optimierung|konvexen Optimierung]].
* Beweis des [[Fundamentalsatz der Arbitragepreistheorie|Fundamentalsatzes der Arbitragepreistheorie]] für faire Preise von [[Derivat (Wirtschaft)|Derivaten]] im Mehr-Perioden-Modell.

== Literatur ==
* [[Richard Kadison]], [[John Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras'' (Graduate studies in mathematics; 15/16). American Mathematical Society, Providence, RI 1997 (EA 1983)
# 1997, ISBN 0-8218-0819-2.
# 1997, ISBN 0-8218-0820-6.
* [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis''. 7. Auflage. Springer, Berlin 2011, ISBN 978-3-642-21016-7 (EA Berlin 1995)

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]