Quelltext der Seite Transzendente Zahl

In der [[Mathematik]] heißt eine [[reelle Zahl|reelle]] oder [[komplexe Zahl]] '''transzendent''', wenn sie ''nicht'' [[Nullstelle]] eines (vom Nullpolynom verschiedenen) [[Polynom]]s mit [[Ganze Zahl|ganzzahligen]] Koeffizienten ist. Andernfalls handelt es sich um eine [[algebraische Zahl]]. Jede reelle transzendente Zahl ist überdies [[Irrationale Zahl|irrational]].

Die wohl bekanntesten transzendenten Zahlen sind die [[Kreiszahl|Kreiszahl <math>\pi</math>]] und die [[Eulersche Zahl|Eulersche Zahl <math>e</math>]].

== Einordnung ohne mathematisches Vorwissen ==
In der [[Zahlentheorie]] (der Wissenschaft, die sich mit den [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] und deren Eigenschaften beschäftigt) ist die Frage von Wichtigkeit, wie ''natürlich'' eine Zahl charakterisiert werden kann. Da die ganzen Zahlen <math>\dotsc, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dotsc</math> auf besonders natürliche Weise in Erscheinung treten, weil sie unmittelbar mit dem Prozess des [[Zählen]]s verbunden sind, ist es naheliegend zu fragen, inwiefern eine beliebige Zahl <math> x</math> mit diesen in Zusammenhang steht. Gilt zum Beispiel <math>x = -\tfrac{4}{5}</math>, so ist <math>x</math> einfach ein [[Quotient]] zweier ganzer Zahlen (eine „Bruchzahl“)&nbsp;– rein [[algebra]]isch kann <math>x</math> also als Lösung der ganzzahligen Gleichung
:<math>5x + 4 = 0</math>
charakterisiert werden. Da in einer solchen Gleichung nur ein simples <math>x</math> auftritt, spricht man bei den [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] auch von „Zahlen von Grad 1“. Legt man die Natürlichkeit des [[Addition|Addierens]] und [[Multiplikation|Multiplizierens]] zugrunde, ist es konsequent, die Potenzen <math>x^2, x^3, \dotsc</math> als natürliche (algebraische) Verwandte der ursprünglichen Zahl <math>x</math> zu sehen, ebenso Summen und Differenzen sowie Produkte aus diesen Zahlen. Gelingt es uns nun, aus endlich vielen solcher Zahlen die Zahl Null zu kombinieren, ist eine enge Verwandtschaft zu den ganzen Zahlen hergestellt. Beispielsweise gelangen wir mit der [[Quadratwurzel]] aus 3, nämlich <math>x = \sqrt{3}</math>, nach endlich vielen elementar algebraischen Schritten zur Null: Wir multiplizieren sie mit sich selbst, erhalten damit <math>x^2 = 3</math>, und ziehen vom Ergebnis 3 ab, also <math>x^2 - 3 = 0</math>. Da die Zahl <math>x</math> dabei zweimal multipliziert wurde, hat sie höchstens den „Grad 2“ (im Falle von <math>x = \sqrt{3}</math> ist der Grad in der Tat gleich 2, da dies [[Irrationale Zahl|keine rationale Zahl]] ist).

Bei transzendenten Zahlen handelt es sich um Zahlen, die nach endlich vielen elementaren algebraischen Manipulationen niemals zur Zahl Null gemacht werden können. Daher sind sie aus Sicht der Algebra in gewisser Hinsicht „unsichtbar“. Ein wichtiges Beispiel einer transzendenten Zahl ist die [[Kreiszahl]] <math>\pi = 3{,}1415926\dots</math>. Sie spielt geometrisch eine elementare Rolle, da sie das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser angibt, ist jedoch aus algebraischer Sicht äußerst mysteriös. Eine Anschauung dafür liefert die Idee, dass ein Kreis „unendlich viele Ecken“ hat und sich beim Grenzübergang vom sehr feinen <math>n</math>-Eck (alle mit algebraisch „sichtbarem“ Umfang) zum Kreis der Umfang immer weiter im Grad erhöht, um letztendlich „völlig aus der Algebra zu verschwinden“.

Obwohl transzendente Zahlen so ungreifbar sind, sind sie deutlich zahlreicher anzutreffen als algebraische Zahlen. Dies liegt daran, dass die Eigenschaft, algebraisch zu sein, eine sehr erlesene ist und mit weitreichenden Konsequenzen und strukturellen Eigenschaften einhergeht. Der Gedanke, dass andersherum algebraische Zahlen „besonders selten“ sind, liegt daher mehr auf der Hand. Ein subjektiv beobachtetes besonders häufiges Auftreten algebraischer Zahlen lässt sich damit erklären, dass viele Phänomene in Alltag und Wissenschaft auf sehr elementaren und natürlichen Prozessen beruhen. Darüber hinaus werden reelle Zahlen im alltäglichen Gebrauch durch zum Beispiel [[Runden]] stark vereinfacht, wobei algebraische Fragen wenn überhaupt nur annähernd beantwortet werden müssen. Da selbst in der [[Algebraische Zahlentheorie|algebraischen Zahlentheorie]] stets auf Grundlage starker Strukturen gearbeitet wird, spielen transzendente Zahlen trotz ihrer „natürlichen Häufigkeit“ in dieser Disziplin nur eine begrenzte Rolle. Fragen rund um transzendente Zahlen, zum Beispiel, ob eine bestimmte Zahl transzendent ist, und Methoden, dies zu ermitteln, sind äußerst schwierig und Gegenstand intensiver mathematischer Forschung.

== Definition ==
Eine komplexe Zahl <math>b</math> heißt ''transzendent,'' wenn sie keine algebraische Zahl ist, wenn also ''kein'' Polynom

:<math>p(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \dotsb + a_{1}x + a_{0} \qquad (n \ge 1, \, a_0, \dotsc, a_n \in \Z, a_n \ne 0)</math>

existiert mit <math>p(b) = 0</math>.

== Geschichtliche Entwicklung des Transzendenzbegriffs ==
=== Entdeckung des Konzeptes ===
Die Vorstellung der mathematischen ''Transzendenz'' kam im Laufe des 18.&nbsp;Jahrhunderts ganz allmählich in den Überlegungen großer Mathematiker wie [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] ''(omnem rationem transcendunt, lat.: Sie sind jenseits aller Vernunft)'' und [[Leonhard Euler]] auf, die zwar keine strenge Definition dieses Begriffs besaßen, sich aber trotzdem sicher waren, dass es solche mathematisch „schwer fassbaren“ Zahlen geben müsse, von denen Euler schrieb, sie „überschreiten […] die Wirksamkeit algebraischer Methoden“.
1748 behauptete Euler in seinem Lehrbuch ''Introductio in Analysin Infinitorum'' sogar, dass bei positivem rationalem <math>a \neq 1</math> und natürlichem <math>b</math>, das keine [[Quadratzahl]] ist, die Zahl <math>a^{\sqrt{b}}</math> nicht [[Rationale Zahlen|rational]] ist, aber auch „nicht mehr irrational“ sei (wobei er unter „irrationale Zahlen“ den heute ''[[algebraische Zahl]]en'' genannten Zahlenbereich verstand).
Tatsächlich wurde diese ''Transzendenzvermutung'' 1934 als Spezialfall eines Resultats des russischen Mathematikers [[Alexander Ossipowitsch Gelfond]] sowie des deutschen Mathematikers [[Theodor Schneider (Mathematiker)|Theodor Schneider]] in ihrer Richtigkeit bestätigt.
Ihre Beweise unterscheiden sich in wesentlichen Punkten.

=== Erste Konstruktionen transzendenter Zahlen ===
[[Joseph Liouville]] konnte 1844 als Erster die Existenz transzendenter Zahlen beweisen und mittels seiner konstruktiven Beweismethode explizite Beispiele liefern.
In seiner Arbeit konnte er zeigen, dass es für jede algebraische Zahl <math>x</math> vom Grad <math>n\ge 2</math> eine Konstante <math>c>0</math> gibt, sodass für jede rationale [[Approximation]] <math>p/q</math>:

:<math>\left|x-\frac{p}{q}\right|>\frac{c}{q^n}</math>

gilt ([[Diophantische Approximation|Satz von Liouville]]). Das lässt sich so interpretieren, dass irrationale algebraische Zahlen nicht sehr gut durch rationale Zahlen approximiert werden können. Falls reelle Zahlen besser als nach diesem Satz durch rationale Zahlen approximierbar sind ([[Liouvillesche Zahl]]en), müssen sie transzendent sein. Daraus folgt zum Beispiel, dass die ''[[Liouville-Zahl|Liouville-Konstante]]''

:<math>L = \sum_{k=1}^{\infty} 10^{-k!} = 0{,}110001000000000000000001000\dots</math>

transzendent ist.

''Siehe'' [[b:Beweisarchiv: Algebra: Körper: Approximationssatz von Liouville|Beweis des Approximationssatz von Liouville im ''Beweisarchiv.'']]

=== Beweis der Überabzählbarkeit durch Georg Cantor ===
Im Jahr 1874 konnte [[Georg Cantor]] nicht nur abermals die Existenz von transzendenten Zahlen beweisen, sondern sogar zeigen, dass es „mehr“ transzendente als algebraische Zahlen gibt.
Im Gegensatz zu [[Joseph Liouville|Liouville]] verwendete Cantors Existenzbeweis für transzendente Zahlen keine zahlentheoretischen Eigenschaften der algebraischen Zahlen, sondern ist (aus heutiger Sicht) rein [[Mengenlehre|mengentheoretisch]]er Natur.
Die mathematisch exakte Formulierung des Begriffs ‚[[Mächtigkeit (Mathematik)|mehr]]‘ war aber sicherlich das wichtigste Ergebnis von Cantors Arbeit, weil es das Wissen über das reelle Zahlensystem revolutionär vertiefte.
Allerdings konnten sich seine neuartigen Ideen gegen einflussreiche konservative Kritiker wie [[Leopold Kronecker]] lange Zeit nicht durchsetzen.
Cantor bewies, dass die Menge der algebraischen reellen Zahlen (in moderner Sprechweise) [[Abzählbare Menge|abzählbar]] ist, während die Menge aller reellen Zahlen [[überabzählbar]] (unendlich, aber nicht abzählbar) ist.
Daraus folgt auch leicht, dass die Menge aller transzendenten Zahlen gleichmächtig mit der Menge aller reellen Zahlen (insbesondere: ebenfalls überabzählbar) ist.

== Überabzählbarkeit ==
Die Menge <math>\mathbb{T} \subset \mathbb{C}</math> der transzendenten Zahlen ist überabzählbar. Das bedeutet, dass es nicht möglich ist, durch „Abzählen“ von transzendenten Zahlen, etwa in der Form <math> z_1, z_2, z_3, \dotsc</math> eine vollständige Liste anzufertigen, auch wenn diese unendlich lang ist. Ein Beweis kann indirekt über die Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen (für die also eine solche Liste existiert) und die Überabzählbarkeit der Menge aller komplexen Zahlen gegeben werden.

Für die Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen hilft die Vorstellung, dass sich eine zählbare Auflistung von Listen wieder als eine zählbare Liste herausstellt. Vereinigt man gedanklich also die Listen <math>a_1, a_2, a_3, \dotsc</math> und <math>b_1, b_2, b_3, \dotsc</math> usw. wird die resultierende Liste wieder eine Abzählung sein. Dies erklärt, warum es eine Abzählung aller Polynome mit ganzen Koeffizienten gibt, da diese in der Form
:<math>\bigoplus_{n = 0}^\infty \Z x^n</math>
gegeben sind. Ist die Liste der Polynome jedoch abzählbar, so ist es auch die Liste von deren (stets höchstens endlich vielen) Lösungen.

Dieser Sachverhalt kann mengensprachlich wie folgt formuliert werden:

Wenn <math>\mathbb{T}</math> die Menge der transzendenten Zahlen und <math>\mathbb{R}</math> die Menge der reellen Zahlen bezeichnet, dann gilt:

:<math>\hbox{card} \, \mathbb{T} = \hbox{card} \, \mathbb{R} = 2^{\aleph_0}</math>

Hierbei ist <math>2^{\aleph_0}</math> das [[Mengentheorie|mengentheoretische]] Symbol für die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] von <math>\mathbb{R}</math>; <math>{\aleph_0}</math> (sprich „[[Aleph]] null“) ist das mengentheoretische Symbol für die Mächtigkeit einer [[Abzählbare Menge|abzählbar]] unendlichen Menge, insbesondere der Menge <math>\mathbb{N}</math> der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]].

== Six Exponentials Theorem ==
Das ''Six Exponentials Theorem'' trifft die folgende Aussage: Sind <math>x_1, x_2</math> zwei über <math>\mathbb{Q}</math> [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängige]] komplexe Zahlen, und <math>y_1, y_2, y_3</math> drei über <math>\mathbb{Q}</math> linear unabhängige komplexe Zahlen, so ist ''mindestens eine'' der sechs Zahlen <math> \mathrm{e}^{x_m y_n}</math> mit <math>1 \leq m \leq 2</math> und <math>1 \leq n \leq 3</math> transzendent. Es kann damit zum Beispiel gezeigt werden, dass mindestens eine der Zahlen <math>2^\pi, 3^\pi, 5^\pi</math> transzendent ist.

Der Satz stammt von [[Serge Lang]]<ref>Serge Lang: ''Introduction to transcental numbers.'' Addison-Wesley, 1966, Kapitel 2.</ref> und [[Kanakanahalli Ramachandra]]<ref>Ramachandra: ''Contributions to the theory of transcendental numbers.'' Teil 1, 2, Acta Arithmetica, Band 14, 1967/68, S. 14: 65–72, 73–88.</ref>, wobei Carl Ludwig Siegel und Theodor Schneider Vorarbeiten geleistet hatten.<ref>Mathworld: ''[https://mathworld.wolfram.com/SixExponentialsTheorem.html Six exponentials theorem.]''</ref>

== Vermutung von Schanuel ==
{{Hauptartikel|Vermutung von Schanuel}}
Eine der weitestreichenden Vermutungen in der Theorie transzendenter Zahlen ist die sog. [[Vermutung von Schanuel]]. Diese besagt: Sind <math>\alpha_1, \alpha_2, \dotsc, \alpha_n</math> komplexe Zahlen, die linear unabhängig über <math>\mathbb{Q}</math> sind, so ist der Transzendenzgrad des Körpers
:<math>K = \mathbb{Q}(\alpha_1, \alpha_2, \dotsc, \alpha_n, \mathrm{e}^{\alpha_1}, \dotsc, \mathrm{e}^{\alpha_n})</math>
mindestens <math>n</math>. Dies bedeutet, dass es mindestens <math>n</math> Zahlen <math>a_1, \dotsc, a_n</math> in <math>K</math> geben müsste, sodass für ein Polynom <math>f</math> mit <math>n</math> Variablen und rationalen Koeffizienten gilt: Aus <math>f(a_1, \dotsc, a_n) = 0</math> folgt bereits, dass <math>f</math> die konstante [[Nullfunktion]] sein muss.

== Elliptische Funktionen und Modulformen ==
=== Die Weierstraßsche ℘-Funktion ===
Die [[Weierstraßsche ℘-Funktion|<math>\wp</math>-Funktion von Weierstraß]] über einem [[Gitter (Mathematik)|Gitter]] <math>L</math> ist eine [[Elliptische Funktion|elliptische]] (d.&nbsp;h. doppelt[[Periodische Funktion|periodische]] [[Meromorphe Funktion|meromorphe]]) Funktion, also <math>\wp(z + \lambda) = \wp(z)</math> für jedes <math> \lambda \in L</math>, die der Differentialgleichung
:<math>(\wp')^2 = 4\wp^3 - g_2(L)\wp - g_3(L)</math>
genügt. Sind nun die zu dem Gitter zugehörigen ''Eisensteinreihen'' <math>g_2(L), g_3(L)</math> (zwei komplexe Zahlen) ''beide'' algebraisch, so ist für jede algebraische Zahl <math> \alpha \notin L</math> der Wert <math> \wp(\alpha)</math> transzendent. Dies hat wichtige Konsequenzen für die nicht-trivialen Perioden zu elliptischen Kurven: Nichtverschwindende Perioden jeder [[Elliptische Kurve|elliptischen Kurve]] <math>y^2 = 4x^3 - g_2 x - g_3</math> mit algebraischen <math>g_2</math> und <math>g_3</math> sind notwendigerweise transzendent.

Weiter kann gezeigt werden, dass, falls <math>g_2(L)</math> und <math>g_3(L)</math> algebraisch sind und <math>z_0</math> ''irgendeine'' komplexe Zahl ist, die kein [[Polstelle|Pol]] von <math>\wp</math> ist, mindestens eine der beiden Zahlen <math>\mathrm{e}^{z_0}</math> und <math>\wp(z_0)</math> transzendent ist.

=== Die ''j''-Invariante ===
Im Falle der [[j-Funktion|<math>j</math>-Invarianten]] ist durch einen Satz von Schneider bekannt, dass für algebraische Zahlen <math>z</math> der Funktionswert <math> j(z)</math> ''genau dann'' algebraisch ist, wenn <math>z</math> ein sogenannter CM-Punkt ist (dabei steht CM für ''complex multiplication''). Dies bedeutet erst einmal nur, dass <math>z</math> eine [[quadratische Gleichung]] <math>Aw^2 + Bw + C = 0</math> löst. Beispielsweise ist
:<math>j\left( \frac{1 + \mathrm{i}\sqrt{67}}{2}\right) = -147 \ 197 \ 952 \ 000</math>
sogar eine [[ganze Zahl]].

== Transzendenzbeweise von ''e'' und π ==
Die ursprünglichen Beweise der Transzendenz von <math>e</math> und <math>\pi</math> stammen von [[Charles Hermite]] bzw. von [[Ferdinand von Lindemann]]. Die Beweise sind allerdings nur sehr schwer nachzuvollziehen. Im Laufe der Zeit gab es aber immer wieder Vereinfachungen dieser Beweise. Einen sehr „eleganten“ Beweis veröffentlichte der berühmte Mathematiker [[David Hilbert]] (1862–1943) im Jahre 1893 in seinem Aufsatz „Über die Transcendenz der Zahlen <math>e</math> und <math>\pi</math>“.

''Siehe'' [[b:Beweisarchiv: Algebra: Körper: Transzendenz von e und π|Beweis der Transzendenz von <math>e</math> und <math>\pi</math> im ''Beweisarchiv.'']]

== Beispiele für transzendente Zahlen ==
* <math>\pi = 3{,}1415926535897932384626433832795\ldots</math>
:Aus der Transzendenz von <math>\pi</math>, die von [[Ferdinand von Lindemann|Carl Louis Ferdinand von Lindemann]] 1882 bewiesen wurde, folgt die Unlösbarkeit der [[Quadratur des Kreises]] mittels Zirkel und Lineal.
* <math>e = 2{,}7182818284590452353602874713526\ldots</math>,
:die [[Eulersche Zahl]], deren Transzendenz 1873 von [[Charles Hermite]] bewiesen werden konnte.
* <math>e^a</math> für algebraisches <math>a \ne 0</math>. Siehe auch [[Satz von Lindemann-Weierstraß]].
* <math>2^{\sqrt{2}}</math>. Allgemeiner konnten [[Alexander Ossipowitsch Gelfond|Alexander Gelfond]] und [[Theodor Schneider (Mathematiker)|Theodor Schneider]] 1934 unabhängig voneinander mit verschiedenen Methoden zeigen: Ist <math>0 \ne a \ne 1</math>, <math>a</math> algebraisch, <math>b</math> algebraisch und irrational, dann ist <math>a^b</math> eine transzendente Zahl. Dies ist eine Teillösung von [[Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen#Hilberts siebtes Problem|Hilberts siebtem Problem]]. Für transzendente <math>b</math> gilt dieser Satz offensichtlich nicht, da z.&nbsp;B. <math>3^{\log_32} = 2</math> ist (siehe auch [[Satz von Gelfond-Schneider]]).
* [[Liouvillesche Zahl]]en, insbesondere die oben bereits erwähnte Liouvillesche Konstante:
: <math>L = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{10^{k!}} = \frac{1}{10^1} + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^6} + \frac{1}{10^{24}} + \dotsb = 0{,}11000\text{ }10000\text{ }00000\text{ }00000\text{ }00010\text{ }\ldots \text{ }</math> ({{OEIS|A012245}}) 
:Liouvillsche Zahlen ergeben sich durch die Konstruktionen mit besseren rationalen Approximationen an irreale Zahlen als durch den [[Diophantische Approximation|Satz von Liouville]] gegeben. Ebenso ergeben sich Beispiele aus der Verschärfung des Satzes von Liouville im [[Satz von Thue-Siegel-Roth]].
* Der Sinus <math>\sin(a)</math> einer algebraischen Zahl <math>a \ne 0</math> (siehe wieder [[Satz von Lindemann-Weierstraß]]).
* Der [[Logarithmus]] <math>\ln(a)</math> einer rationalen positiven Zahl <math>a\ne 1</math>.
* <math>\Gamma(\tfrac13)</math> und <math>\Gamma(\tfrac14)</math> (siehe [[Gammafunktion]])
* <math>\textstyle \sum_{k=0}^{\infty}10^{-\lfloor\beta^{k}\rfloor}</math>, <math>\beta > 1</math>. Die Klammer <math>\lfloor \cdot \rfloor</math> ist hierbei die [[Gaußklammer]].
* Die [[Champernowne-Zahl]] <math>\tau=0{,}1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 \dots </math>, gebildet durch Aneinanderfügen der natürlichen Zahlen im Dezimalsystem, und ähnlich gebildete Zahlen in Stellenwertsystemen auf anderer Basis als 10 ([[Kurt Mahler]] 1946).

== Verallgemeinerung ==
Im Kontext allgemeiner [[Körpererweiterung]]en <math>L/K</math> betrachtet man ebenfalls Elemente in <math>L</math>, die algebraisch oder transzendent über <math>K</math> sind. Siehe dazu [[Algebraisches Element]].

== Siehe auch ==
* [[Liste besonderer Zahlen]]

== Literatur ==
* [[Alan Baker (Mathematiker)|Alan Baker]]: ''Transcendental number theory.'' Reprinted edition. Cambridge University Press, London u.&nbsp;a. 1990, ISBN 0-521-39791-X (ein anspruchsvolles Standardwerk, das tiefgreifende Theoreme entwickelt, aber profundes Vorwissen voraussetzt).
* Peter Bundschuh: ''Einführung in die Zahlentheorie.'' 4., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1998, ISBN 3-540-64630-2 (bietet einen einführenden Überblick zum Thema „transzendente Zahlen“ an).
* [[Naum Iljitsch Feldman]], [[Juri Walentinowitsch Nesterenko]]: ''Number Theory IV: Transcendental numbers.'' Encyclopaedia of Mathematical Sciences 44, Springer, 1997, ISBN 978-3540614678.
* [[David Hilbert]]: ''Ueber die Transcendenz der Zahlen <math>e</math> und <math>\pi</math>.'' In: ''[[Mathematische Annalen]].'' Bd. 43, Nr. 2/3, 1893, S. 216–219, {{doi|10.1007/BF01443645}}.
* Arthur Jones, Sidney A. Morris, Kenneth R. Pearson: ''Abstract Algebra and Famous Impossibilities.'' Corrected 2nd printing. Springer, New York u.&nbsp;a. 1994, ISBN 0-387-97661-2 (enthält eine ausführliche Schritt-für-Schritt-Erläuterung des Lindemannschen Transzendenzbeweises für <math>\pi)</math>).
* [[Kurt Mahler]]: ''Lectures on transcendental numbers.'' Lecture notes in mathematics 566, Springer, 1976.
* [[M. Ram Murty]], Purusottam Rath: ''Transcendental Numbers.'' Springer, New York 2014, ISBN 978-1-4939-0831-8.
* [[Oskar Perron]]: ''Irrationalzahlen'' (= ''Göschens Lehrbücherei.'' Gruppe 1: ''Reine Mathematik.'' Bd. 1, {{ZDB|503797-9}}). de Gruyter, Berlin u.&nbsp;a. 1921.
* [[Theodor Schneider (Mathematiker)|Theodor Schneider]]: ''Einführung in die transzendenten Zahlen'' (= ''Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen.'' Bd. 81, {{ISSN|0072-7830}}). Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1957.
* [[Carl Ludwig Siegel]]: ''Transcendental numbers.'' Annals of Mathematical Studies, Princeton UP, 1949. Deutsche Übersetzung: ''Transzendente Zahlen.'' BI Hochschultaschenbücher, 1967.
* [[Andrei Borissowitsch Schidlowski]]: ''Transcendental numbers'' (= ''De Gruyter Studies in Mathematics.'' Bd. 12). de Gruyter, Berlin u.&nbsp;a. 1989, ISBN 3-11-011568-9 (besser lesbar als das Buch von Baker, dennoch ähnlich fundiert).
* Fridtjof Toenniessen: ''Das Geheimnis der transzendenten Zahlen.'' Erweiterte 2. Auflage, Springer Verlag Heidelberg, 2019.
* [[Michel Waldschmidt]]: ''Transcendence Methods.'' Queen’s Papers in Pure and Applied Mathematics 52, Queen’s University, Kingston 1979.

== Weblinks ==
{{Wikisource|David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 1|David Hilbert: Gesammelte Abhandlungen, Erster Band, 1. Über die Transzendenz der Zahlen e und π.}}
* [https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/transzendente-zahl/11508 Eintrag '''transzendente Zahl''' im Lexikon der Mathematik (2017)]
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Transcendental_number Eintrag '''Transcendental number ''' in der Encyclopedia of Mathematics (EoM)]
* {{MathWorld|title=Transcendental number|urlname=TranscendentalNumber}}
* {{Webarchiv |url=http://planetmath.org/encyclopedia/EIsTranscendental.html |wayback=20120210221544 |text=''<math>e</math> is transcendental.''}}. Beweis, dass <math>e</math> transzendent ist.
* Olaf Klinke: {{Webarchiv |url=http://math-www.upb.de/user/hilgert/static/Lehrveranstaltungen/Klinke.pdf |wayback=20070929203725 |text=''Der Satz von Hermite-Lindemann.''}}. Der Beweis von Hermite-Lindemann, dass <math>\pi</math> und <math>e</math> transzendent sind (PDF; 170&nbsp;kB).
* Rudolf Fritsch: {{Webarchiv |url=http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/euler.pdf |wayback=20090326233646 |text=''Transzendenz von e im Leistungskurs?''}}. Der Beweis (nach Hilbert), dass <math>e</math> transzendent ist (PDF; 177&nbsp;kB).
* Rudolf Fritsch: {{Webarchiv |url=http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/pi.pdf |wayback=20090326233643 |text=''Hilberts Beweis der Transzendenz der Ludolphschen Zahl <math>\pi</math>.''}}. Der Beweis (nach Hilbert), dass <math>\pi</math> transzendent ist (PDF; 78,3&nbsp;kB).
* {{Literatur |Autor=Lorenz Milla |Titel=Die Transzendenz von π und die Quadratur des Kreises |Datum=2020 |arXiv=2003.14035}}
* Feldman: ''Algebraic and transcental numbers.'' Quantum, 2000 [https://static.nsta.org/pdfs/QuantumV10N6.pdf (PDF; 68,4&nbsp;MB).]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Zahl]]
[[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Körpertheorie]]