Quelltext der Seite Transponierte Matrix

[[Datei:Matrix transpose.gif|miniatur|right|Animation zur Transponierung einer Matrix]]
Die '''transponierte Matrix''', '''gespiegelte Matrix''' oder '''gestürzte Matrix''' ist in der [[Mathematik]] diejenige [[Matrix (Mathematik)|Matrix]], die durch Vertauschen der Rollen von [[Matrix (Mathematik)#Notation|Zeilen und Spalten]] einer gegebenen Matrix entsteht. Die erste Zeile der transponierten Matrix entspricht der ersten Spalte der Ausgangsmatrix, die zweite Zeile der zweiten Spalte und so weiter. Anschaulich entsteht die transponierte Matrix durch [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]] der Ausgangsmatrix an ihrer [[Hauptdiagonale]]. Die Umwandlung einer Matrix in ihre transponierte Matrix wird '''Transponierung''', '''Transposition''' oder '''Stürzen''' der Matrix genannt.

Die Transpositionsabbildung, die einer Matrix ihre Transponierte zuordnet, ist stets [[Bijektive Funktion|bijektiv]], [[Lineare Abbildung|linear]] und [[Involution (Mathematik)|selbstinvers]]. Bezüglich der [[Matrizenaddition]] stellt sie einen [[Isomorphismus]] dar, bezüglich der [[Matrizenmultiplikation]] hingegen einen [[Antiisomorphismus]], das heißt, die Reihenfolge bei der Multiplikation von Matrizen kehrt sich nach Transponierung um. Viele Kenngrößen von Matrizen, wie [[Spur (Mathematik)|Spur]], [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]], [[Determinante]] und [[Eigenwerte]], bleiben unter Transponierung erhalten.

In der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] wird die transponierte Matrix unter anderem zur Charakterisierung spezieller Klassen von Matrizen eingesetzt. Die transponierte Matrix ist auch die [[Abbildungsmatrix]] der [[duale Abbildung|dualen Abbildung]] einer [[lineare Abbildung|linearen Abbildung]] zwischen zwei endlichdimensionalen [[Vektorraum|Vektorräumen]] bezüglich der jeweiligen [[Dualbasis|Dualbasen]]. Weiterhin ist sie auch die Abbildungsmatrix der [[adjungierte Abbildung|adjungierten Abbildung]] zwischen zwei endlichdimensionalen reellen [[Skalarproduktraum|Skalarprodukträumen]] bezüglich der jeweiligen [[Orthonormalbasis|Orthonormalbasen]]. Das Konzept der Transponierung einer Matrix wurde im Jahr 1858 von dem britischen Mathematiker [[Arthur Cayley]] eingeführt.

== Definition ==

Ist <math>K</math> ein [[Körper (Algebra)|Körper]] (in der Praxis meist der Körper der [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]]), dann ist die zu einer gegebenen [[Matrix (Mathematik)|Matrix]]

:<math>A = (a_{ij}) = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \in K^{m \times n}</math>

transponierte Matrix definiert als

:<math>A^\mathsf{T} = (a_{ji}) = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{m1} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \in K^{n \times m}</math>.

Die transponierte Matrix <math>A^\mathsf{T}</math> ergibt sich also dadurch, dass die Rollen von [[Matrix (Mathematik)#Notation|Zeilen und Spalten]] der Ausgangsmatrix <math>A</math> vertauscht werden. Anschaulich entsteht die transponierte Matrix durch [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]] der Ausgangsmatrix an ihrer [[Hauptdiagonale]] <math>a_{11}, a_{22}, \dotsc, a_{kk}</math> mit <math>k=\min\{m,n\}</math>. Gelegentlich wird die transponierte Matrix auch durch <math>A^\mathsf{t}</math> oder <math>A'</math> notiert.

== Beispiele ==

Durch Transponieren einer <math>(1 \times 3)</math>-Matrix (eines [[Zeilenvektor]]s) entsteht eine <math>(3 \times 1)</math>-Matrix (ein [[Spaltenvektor]]) und umgekehrt:

:<math>\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}^\mathsf{T} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} , \quad \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}^\mathsf{T} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}</math>

Eine quadratische Matrix behält durch Transponieren ihren [[Matrix (Mathematik)#Typ|Typ]], jedoch werden alle Einträge an der Hauptdiagonale gespiegelt:

:<math>\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}^\mathsf{T} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} ,\quad \begin{pmatrix} 9 & 8 & 7 \\ 6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}^\mathsf{T} = \begin{pmatrix} 9 & 6 & 3 \\ 8 & 5 & 2 \\ 7 & 4 & 1 \end{pmatrix}</math>

Durch Transponierung einer <math>(3 \times 2)</math>-Matrix entsteht eine <math>(2 \times 3)</math>-Matrix, bei der die erste Zeile der ersten Spalte der Ausgangsmatrix und die zweite Zeile der zweiten Spalte der Ausgangsmatrix entspricht:

:<math>\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 8 & -2 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}^\mathsf{T} = \begin{pmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{pmatrix}</math>

== Eigenschaften ==

=== Summe ===

Für die Transponierte der [[Matrizenaddition|Summe]] zweier Matrizen <math>A = (a_{ij}), \ B = (b_{ij}) \in K^{m \times n}</math> gleichen [[Matrix (Mathematik)#Typ|Typs]] gilt

:<math>(A+B)^\mathsf{T} = ((a_{ij}) + (b_{ij}))^\mathsf{T} = (a_{ij} + b_{ij})^\mathsf{T} = (a_{ji} + b_{ji}) = ((a_{ji}) + (b_{ji})) = A^\mathsf{T} + B^\mathsf{T}</math>.

Allgemein ergibt sich die Summe von <math>n</math> Matrizen <math>A_1, \dotsc, A_n \in K^{m \times n}</math> gleichen Typs zu

:<math>(A_1 + A_2 + \dotsb + A_n)^\mathsf{T} = A^\mathsf{T}_1 + A^\mathsf{T}_2 + \dotsb + A^\mathsf{T}_n</math>.

Die Transponierte einer Summe von Matrizen ist demnach gleich der Summe der Transponierten.

=== Skalarmultiplikation ===

Für die Transponierte des [[Skalarmultiplikation|Produkts]] einer Matrix <math>A = (a_{ij}) \in K^{m \times n}</math> mit einem Skalar <math>c \in K</math> gilt

:<math>(c \cdot A)^\mathsf{T} = (c \cdot a_{ij})^\mathsf{T} = (c \cdot a_{ji}) = c \cdot A^\mathsf{T}</math>.

Die Transponierte des Produkts einer Matrix mit einem Skalar ist also gleich dem Produkt des Skalars mit der transponierten Matrix.

=== Zweifache Transposition ===

Für die Transponierte der Transponierten einer Matrix <math>A = (a_{ij}) \in K^{m \times n}</math> gilt

:<math>\left(A^\mathsf{T}\right)^\mathsf{T} = ((a_{ij})^\mathsf{T})^\mathsf{T} = (a_{ji})^\mathsf{T} = (a_{ij}) = A</math>.

Durch zweifache Transposition ergibt sich demnach stets wieder die Ausgangsmatrix.

=== Produkt ===

Für die Transponierte des [[Matrizenmultiplikation|Produkts]] einer Matrix <math>A = (a_{ij}) \in K^{m \times n}</math> mit einer Matrix <math>B = (b_{ij}) \in K^{n \times l}</math> gilt

:<math>(A \cdot B)^\mathsf{T} = \left( \sum_{k=1}^n a_{ik} \cdot b_{kj} \right)^\mathsf{T} = \left( \sum_{k=1}^n a_{jk} \cdot b_{ki} \right) = \left( \sum_{k=1}^n b_{ki} \cdot a_{jk} \right) = \left( \sum_{k=1}^n \beta_{ik} \cdot \alpha_{kj} \right) = B^\mathsf{T} \cdot A^\mathsf{T}</math>

mit den Transponierten <math>B^\mathsf{T} = (\beta_{ij}) \in K^{l \times n}</math> und <math>A^\mathsf{T} = (\alpha_{ij}) \in K^{n \times m}</math>.

Allgemein ergibt sich für das Produkt von <math>n</math> Matrizen <math>A_1, \dotsc, A_n</math> passenden Typs

:<math>(A_1 \cdot A_2 \dotsm A_n)^\mathsf{T} = A^\mathsf{T}_n \dotsm A^\mathsf{T}_2 \cdot A^\mathsf{T}_1</math>.

Die Transponierte eines Produkts von Matrizen ist demnach gleich dem Produkt der Transponierten, jedoch in umgekehrter Reihenfolge.

=== Inverse ===

Die Transponierte einer [[Reguläre Matrix|regulären Matrix]] <math>A \in K^{n \times n}</math> ist ebenfalls regulär. Für die Transponierte der [[Inverse Matrix|Inversen]] einer regulären Matrix gilt dabei

:<math>\left(A^{-1}\right)^\mathsf{T} = \left(A^\mathsf{T}\right)^{-1}</math>,

denn mit der [[Einheitsmatrix]] <math>I \in K^{n \times n}</math> ergibt sich

:<math>A^\mathsf{T} \cdot \left( A^{-1} \right)^\mathsf{T} = \left( A^{-1} \cdot A \right)^\mathsf{T} = I^\mathsf{T} = I</math>

und daher ist <math>(A^{-1})^\mathsf{T}</math> die inverse Matrix zu <math>A^\mathsf{T}</math>. Die Transponierte der inversen Matrix ist demnach gleich der Inversen der transponierten Matrix. Diese Matrix wird gelegentlich auch mit <math>A^{-T}</math> bezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor=Christian Voigt, Jürgen Adamy |Titel=Formelsammlung der Matrizenrechnung |Verlag=Oldenbourg Verlag |Seiten=9 |Datum=2007}}</ref>

=== Exponential und Logarithmus ===

Für das [[Matrixexponential]] der Transponierten einer reellen oder komplexen quadratischen Matrix <math>A \in \mathbb{K}^{n \times n}</math> gilt

:<math>\exp (A^\mathsf{T}) = (\exp A)^\mathsf{T}</math>.

Entsprechend gilt für den [[Matrixlogarithmus]] der Transponierten einer regulären reellen oder komplexen Matrix

:<math>\ln(A^\mathsf{T}) = (\ln A)^\mathsf{T}</math>.

=== Transpositionsabbildung ===

Die [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]]

:<math>K^{m \times n} \to K^{n \times m}, \quad A \mapsto A^\mathsf{T}</math>,

die einer Matrix ihre Transponierte zuordnet, wird ''Transpositionsabbildung'' genannt. Aufgrund der vorstehenden Gesetzmäßigkeiten besitzt die Transpositionsabbildung die folgenden Eigenschaften:

* Die Transpositionsabbildung ist stets [[Bijektive Funktion|bijektiv]], [[Lineare Abbildung|linear]] und [[Involution (Mathematik)|selbstinvers]].
* Zwischen den [[Matrizenraum|Matrizenräumen]] <math>K^{m \times n}</math> und <math>K^{n \times m}</math> stellt die Transpositionsabbildung einen [[Isomorphismus]] dar.
* In der [[Allgemeine lineare Gruppe|allgemeinen linearen Gruppe]] <math>\operatorname{GL}(n,K)</math> und im [[Matrizenring]] <math>K^{n \times n}</math> stellt die Transpositionsabbildung (für <math>m = n</math>) einen [[Antiautomorphismus]] dar.<ref>{{Literatur |Autor=Eberhard Oeljeklaus, Reinhold Remmert |Titel=Lineare Algebra I |Verlag=Springer |Datum=2013 |Seiten=153}}</ref>
* Falls <math>m=n</math> und <math>K^m</math> ein Raum mit [[Skalarprodukt]] ist, so gilt dass die Transpositionsabbildung [[Positiver Operator|positiv]], aber nicht [[Vollständig positiver Operator|vollständig positiv]] ist.<ref>{{Literatur |Titel=The Mathematical Language of Quantum Theory |Autor=Teiko Heinosaari, Mário Ziman |Datum=2011 |Verlag=Cambridge University Press |Fundstelle=S. 177 |Sprache=en |Online={{Google Buch|BuchID=cZ8vd1nTI0EC|Seite=177}}}}</ref>

=== Blockmatrizen ===

Die Transponierte einer [[Blockmatrix]] mit <math>r</math> Zeilen- und <math>s</math> Spaltenpartitionen ist durch

:<math>
\begin{pmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1s} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{r1} & \cdots & A_{rs} \end{pmatrix}^\mathsf{T} =
\begin{pmatrix} A_{11}^\mathsf{T} & \cdots & A_{r1}^\mathsf{T} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{1s}^\mathsf{T} & \cdots & A_{rs}^\mathsf{T} \end{pmatrix}
</math>

gegeben. Sie entsteht durch Spiegelung aller Blöcke an der Hauptdiagonale und nachfolgende Transposition jedes Blocks.

== Kenngrößen ==

=== Rang ===

Für eine Matrix <math>A \in K^{m \times n}</math> ist der [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] der transponierten Matrix gleich dem der Ausgangsmatrix:

:<math>\operatorname{rang}(A^\mathsf{T}) = \operatorname{rang}(A)</math>

Das [[Bild (Mathematik)|Bild]] der Abbildung <math>x \mapsto A x</math> wird dabei von den Spaltenvektoren von <math>A</math> [[Lineare Hülle|aufgespannt]], während das Bild der Abbildung <math>x \mapsto A^\mathsf{T} x</math> von den Zeilenvektoren von <math>A</math> aufgespannt wird. Die [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] dieser beiden Bilder stimmen dabei stets überein.

=== Spur ===

Für eine quadratische Matrix <math>A \in K^{n \times n}</math> ist die [[Spur (Mathematik)|Spur]] (die Summe der [[Hauptdiagonale]]lemente) der transponierten Matrix gleich der Spur der Ausgangsmatrix:

:<math>\operatorname{spur}(A^\mathsf{T}) = \operatorname{spur}(A)</math>

Denn die Diagonalelemente der transponierten Matrix stimmen mit denen der Ausgangsmatrix überein.

=== Determinante ===

Für eine quadratische Matrix <math>A \in K^{n \times n}</math> ist die [[Determinante]] der transponierten Matrix gleich der Determinante der Ausgangsmatrix:

:<math>\det(A^\mathsf{T}) = \det(A)</math>

Dies folgt aus der [[Determinante#Leibniz-Formel|Leibniz-Formel für Determinanten]] über

:<math>\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \left(\operatorname{sgn}(\sigma) a_{1, \sigma(1)} \cdots a_{n, \sigma(n)} \right) = \sum_{\sigma \in S_n} \left(\operatorname{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1), 1} \cdots a_{\sigma(n), n} \right) = \det(A^\mathsf{T})</math>,

wobei die Summe über alle [[Permutation]]en der [[Symmetrische Gruppe|symmetrischen Gruppe]] <math>S_n</math> läuft und <math>\operatorname{sgn}(\sigma)</math> das [[Vorzeichen (Permutation)|Vorzeichen]] der Permutation <math>\sigma</math> bezeichnet.

=== Spektrum ===

Für eine quadratische Matrix <math>A \in K^{n \times n}</math> ist aufgrund der Invarianz der Determinante unter Transposition auch das [[Charakteristisches Polynom|charakteristische Polynom]] der transponierten Matrix mit dem der Ausgangsmatrix identisch:

:<math>\chi_{A^\mathsf{T}}(\lambda) = \det(\lambda I - A^\mathsf{T}) = \det((\lambda I - A^\mathsf{T})^\mathsf{T}) = \det(\lambda I - A) = \chi_{A}(\lambda)</math>

Daher stimmen auch die [[Eigenwert]]e der transponierten Matrix mit denen der Ausgangsmatrix überein, die beiden [[Spektrum (lineare Algebra)|Spektren]] sind also gleich:

:<math>\sigma(A^\mathsf{T}) = \sigma(A)</math>

Die [[Eigenvektor]]en und [[Eigenraum|Eigenräume]] müssen aber nicht übereinstimmen.

=== Ähnlichkeit ===

Jede quadratische Matrix <math>A \in K^{n \times n}</math> ist [[Ähnlichkeit (Matrix)|ähnlich]] zu ihrer Transponierten, das heißt: Es gibt eine reguläre Matrix <math>S \in K^{n \times n}</math>, sodass

:<math>A^\mathsf{T} = S^{-1} A S</math>

gilt. Die Matrix <math>S</math> kann dabei sogar [[Symmetrische Matrix|symmetrisch]] gewählt werden.<ref>{{Literatur |Autor=O. Taussky, H. Zassenhaus |Titel=On the similarity transformation of matrix and its transpose |Sammelwerk=Pacific J. Math. |Band=9 |Seiten=893–896 |Datum=1959}}</ref> Daraus folgt unter anderem, dass eine quadratische Matrix und ihre Transponierte das gleiche [[Minimalpolynom (Lineare Algebra)|Minimalpolynom]] und, sofern ihr [[charakteristisches Polynom]] vollständig in [[Linearfaktor]]en zerfällt, auch die gleiche [[jordansche Normalform]] haben.

=== Normen ===

Die [[euklidische Norm]] eines reellen Vektors <math>x \in \R^n</math> ist durch

:<math>\| x \|_2 = \sqrt{x^\mathsf{T} x}</math>

gegeben. Für die [[Frobeniusnorm]] und die [[Spektralnorm]] der Transponierten einer reellen oder komplexen Matrix <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> gilt

:<math>\| A^\mathsf{T} \|_F = \| A \|_F</math> &nbsp; und &nbsp; <math>\| A^\mathsf{T} \|_2 = \| A \|_2</math>.

Die [[Zeilensummennorm|Zeilensummen-]] und die [[Spaltensummennorm]] der Transponierten und der Ausgangsmatrix stehen folgendermaßen in Beziehung:

:<math>\| A^\mathsf{T} \|_\infty = \| A \|_1</math> &nbsp; und &nbsp; <math>\| A^\mathsf{T} \|_1 = \| A \|_\infty</math>

=== Skalarprodukte ===

Das [[Standardskalarprodukt]] <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> zweier reeller Vektoren <math>x, y \in \R^n</math> ist durch

:<math>\langle x, y \rangle = x^\mathsf{T} y</math>

gegeben. Bezüglich des Standardskalarprodukts weisen eine reelle Matrix <math>A \in \R^{m \times n}</math> und ihre Transponierte die [[Standardskalarprodukt#Verschiebungseigenschaft|Verschiebungseigenschaft]]

:<math>\langle A x, y \rangle = \langle x, A^\mathsf{T} y \rangle</math>

für alle Vektoren <math>x \in \R^n</math> und <math>y \in \R^m</math> auf. Hierbei steht auf der linken Seite das Standardskalarprodukt im <math>\R^m</math> und auf der rechten Seite das Standardskalarprodukt im <math>\R^n</math>. Für das [[Frobenius-Skalarprodukt]] zweier Matrizen <math>A, B \in \R^{m \times n}</math> gilt

:<math>\langle A, B \rangle_F = \operatorname{spur}(A^\mathsf{T} B) = \operatorname{spur}(B A^\mathsf{T}) = \operatorname{spur}(A B^\mathsf{T}) = \langle A^\mathsf{T}, B^\mathsf{T} \rangle_F</math>,

da Matrizen unter der Spur [[Zyklische Permutation|zyklisch vertauschbar]] sind.

== Verwendung ==

=== Spezielle Matrizen ===

Die transponierte Matrix wird in der linearen Algebra in einer Reihe von Definitionen verwendet:

* Eine [[symmetrische Matrix]] ist eine quadratische Matrix, die gleich ihrer Transponierten ist: <math>A^\mathsf{T} = A</math>
* Eine [[schiefsymmetrische Matrix]] ist eine quadratische Matrix, die gleich dem Negativen ihrer Transponierten ist: <math>A^\mathsf{T} = -A</math>
* Eine [[hermitesche Matrix]] ist eine komplexe quadratische Matrix, deren Transponierte gleich ihrer [[Konjugierte Matrix|Konjugierten]] ist: <math>A^\mathsf{T} = \bar{A}</math>
* Eine [[schiefhermitesche Matrix]] ist eine komplexe quadratische Matrix, deren Transponierte gleich dem Negativen ihrer Konjugierten ist: <math>A^\mathsf{T} = -\bar{A}</math>
* Eine [[orthogonale Matrix]] ist eine quadratische Matrix, deren Transponierte gleich ihrer Inversen ist: <math>A^\mathsf{T} = A^{-1}</math>
* Eine (reelle) [[normale Matrix]] ist eine reelle quadratische Matrix, die mit ihrer Transponierten [[Kommutativgesetz|kommutiert]]: <math>A^\mathsf{T} A = A A^\mathsf{T}</math>
* Für eine beliebige reelle Matrix sind die beiden [[Gram-Matrix|Gram-Matrizen]] <math>A^\mathsf{T} A</math> und <math>A A^\mathsf{T}</math> stets symmetrisch und [[positiv semidefinit]].
* Das [[Dyadisches Produkt|dyadische Produkt]] zweier Vektoren <math>x</math> und <math>y</math> ergibt die Matrix <math>x y^\mathsf{T}</math>.

=== Bilinearformen ===

Sind <math>V</math> und <math>W</math> endlichdimensionale [[Vektorraum|Vektorräume]] über dem Körper <math>K</math>, dann lässt sich jede [[Bilinearform]] <math>b \colon V \times W \to K</math> nach Wahl einer [[Basis (Vektorraum)|Basis]] <math>\{ v_1, \dotsc, v_m \}</math> für <math>V</math> und einer Basis <math>\{ w_1, \dotsc, w_n \}</math> für <math>W</math> durch die [[Darstellungsmatrix]]

:<math>A_b = (b(v_i,w_j))_{ij} \in K^{m \times n}</math>

beschreiben. Mit den [[Koordinatenvektor]]en <math>x = (x_1, \dotsc, x_m)^\mathsf{T}</math> und <math>y = (y_1, \dotsc, y_n)^\mathsf{T}</math> zweier Vektoren <math>v \in V</math> und <math>w \in W</math> gilt für den Wert der Bilinearform:

:<math>b(v,w) = x^\mathsf{T} A_b y</math>

Sind nun <math>\{ v'_1, \dotsc, v'_m \}</math> und <math>\{ w'_1, \dotsc, w'_n \}</math> weitere Basen von <math>V</math> bzw. <math>W</math>, dann gilt für die entsprechende Darstellungsmatrix

:<math>A_{b'} = S^\mathsf{T} A_b T</math>,

wobei <math>S \in K^{m \times m}</math> die [[Basiswechselmatrix]] in <math>V</math> und <math>T \in K^{n \times n}</math> die Basiswechselmatrix in <math>W</math> sind. Zwei quadratische Matrizen <math>A, B \in K^{n \times n}</math> sind daher genau dann zueinander [[Kongruenz (Matrix)|kongruent]], es gilt also

:<math>A = S^\mathsf{T} B S</math>

mit einer regulären Matrix <math>S \in K^{n \times n}</math> genau dann, wenn <math>A</math> und <math>B</math> die gleiche Bilinearform <math>b \colon V \times V \to K</math> bezüglich gegebenenfalls unterschiedlicher Basen darstellen.

=== Duale Abbildungen ===

Sind wieder <math>V</math> und <math>W</math> endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper <math>K</math> mit zugehörigen [[Dualraum|Dualräumen]] <math>V^\ast</math> und <math>W^\ast</math>, dann wird die zu einer gegebenen [[Lineare Abbildung|linearen Abbildung]] <math>f \colon V \to W</math> zugehörige [[duale Abbildung]] <math>f^\ast \colon W^\ast \to V^\ast</math> durch

:<math>f^{\ast}(\varphi) = \varphi \circ f</math>

für alle <math>\varphi \in W^\ast</math> charakterisiert. Ist nun <math>\{ v_1, \dotsc, v_m \}</math> eine Basis für <math>V</math> und <math>\{ w_1, \dotsc, w_n \}</math> eine Basis für <math>W</math> mit zugehörigen [[Duale Basis|dualen Basen]] <math>\{ v^\ast_1, \dotsc, v^\ast_m \}</math> und <math>\{ w^\ast_1, \dotsc, w^\ast_n \}</math>, dann gilt für die [[Abbildungsmatrix|Abbildungsmatrizen]] <math>A_f \in K^{n \times m}</math> von <math>f</math> und <math>A_{f^\ast} \in K^{m \times n}</math> von <math>f^\ast</math> die Beziehung

:<math>A_{f^\ast} = A^\mathsf{T}_f</math>.

Die Abbildungsmatrix der dualen Abbildung bezüglich der dualen Basen ist demnach gerade die Transponierte der Abbildungsmatrix der primalen Abbildung bezüglich der primalen Basen. In der [[Physik]] kommt dieses Konzept bei [[Kovarianz (Physik)|kovarianten und kontravarianten]] vektoriellen Größen zum Einsatz.

=== Adjungierte Abbildungen ===

Sind nun <math>V</math> und <math>W</math> endlichdimensionale reelle [[Skalarproduktraum|Skalarprodukträume]], dann wird die zu einer gegebenen linearen Abbildung <math>f \colon V \to W</math> zugehörige [[adjungierte Abbildung]] <math>f^\ast \colon W \to V</math> durch die Beziehung

:<math>\langle f(v), w \rangle = \langle v, f^\ast(w) \rangle</math>

für alle <math>v \in V</math> und <math>w \in W</math> charakterisiert. Ist weiter <math>\{ v_1, \dotsc, v_m \}</math> eine [[Orthonormalbasis]] von <math>V</math>, <math>\{ w_1, \dotsc, w_n \}</math> eine Orthonormalbasis von <math>W</math> und <math>A_f \in \R^{n \times m}</math> die Abbildungsmatrix von <math>f</math> bezüglich dieser Basen, dann ist die Abbildungsmatrix <math>A_{f^\ast} \in \R^{m \times n}</math> von <math>f^\ast</math> bezüglich dieser Basen gerade

:<math>A_{f^\ast} = A_f^\mathsf{T}</math>.

Bei reellen Matrizen ist demnach die zu einer gegebenen Matrix [[adjungierte Matrix]] gerade die transponierte Matrix, also <math>A^\ast = A^\mathsf{T}</math>. In der [[Funktionalanalysis]] wird dieses Konzept auf [[Adjungierter Operator|adjungierte Operatoren]] zwischen unendlichdimensionalen [[Hilbertraum|Hilberträumen]] verallgemeinert.

=== Permutationen ===

Durch die transponierte Matrix werden auch spezielle [[Permutation]]en definiert. Werden in eine <math>(m \times n)</math>-Matrix zeilenweise der Reihe nach die Zahlen von <math>1</math> bis <math>m \cdot n</math> geschrieben und dann spaltenweise wieder abgelesen (was genau dem Transponieren der Matrix entspricht), ergibt sich eine Permutation <math>\pi</math> dieser Zahlen, die durch

:<math>\pi(n (i-1) + j) = i + m (j-1)</math>

für <math>i=1, \dotsc, m</math> und <math>j=1, \dotsc, n</math> angegeben werden kann. Die Anzahl der [[Fehlstand|Fehlstände]] und damit auch das [[Vorzeichen (Permutation)|Vorzeichen]] von <math>\pi</math> lassen sich explizit durch

:<math>| \operatorname{inv}(\pi) | = \binom{m}{2}\binom{n}{2}</math>
:<math>\operatorname{sgn}(\pi) = (-1)^{\tbinom{m}{2}\tbinom{n}{2}}</math>

bestimmen. In der [[Zahlentheorie]] werden diese Permutationen beispielsweise im [[Lemma von Zolotareff]] zum Beweis des [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz|quadratischen Reziprozitätsgesetzes]] verwendet.<ref>{{Literatur |Autor=Franz Lemmermeyer |Titel=Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein |Verlag=Springer |Datum=2000 |Seiten=32}}</ref>

== Verallgemeinerungen ==

Allgemeiner können auch Matrizen mit Einträgen aus einem [[Ring (Algebra)|Ring]] (gegebenenfalls [[Ring mit Eins|mit Eins]]) betrachtet werden, wobei ein Großteil der Eigenschaften transponierter Matrizen erhalten bleibt. In beliebigen Ringen muss jedoch der Spaltenrang einer Matrix nicht mit ihrem Zeilenrang übereinstimmen. Die Produktformel und die Determinantendarstellung gelten nur in [[Kommutativer Ring|kommutativen Ringen]].

== Siehe auch ==

* [[Transposition (Kryptographie)]], ein Verschlüsselungsverfahren, bei dem Zeichen ihre Plätze vertauschen
* [[Vertauschung]], eine Permutation, bei der zwei Elemente die Plätze tauschen

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Siegfried Bosch]] |Titel=Lineare Algebra |Verlag=Springer |Datum=2006 |ISBN=3-540-29884-3}}
* {{Literatur |Autor=[[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]] |Titel=Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger |Verlag=Springer |Datum=2008 |ISBN=3-834-89574-1}}
* {{Literatur |Autor=Roger Horn, Charles R. Johnson |Titel=Matrix Analysis |Verlag=Cambridge University Press |Datum=1990 |ISBN=978-0-521-38632-6}}
* {{Literatur |Autor=Eberhard Oeljeklaus, Reinhold Remmert |Titel=Lineare Algebra I |Verlag=Springer |Datum=2013 |ISBN=978-3-642-65851-8}}

'''Originalarbeit'''

* {{Literatur |Autor=[[Arthur Cayley]] |Titel=A memoir on the theory of matrices |Sammelwerk=Philosophical Transactions of the Royal Society of London |Band=148 |Seiten=17–37 |Datum=1858 |Online=[https://books.google.de/books?id=flFFAAAAcAAJ&pg=PA31&hl=de#v=onepage&q&f=false Online]}}

== Einzelnachweise ==

<references />

== Weblinks ==

* {{EoM|Autor=O. A. Ivanova|Titel=Transposed matrix|Url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Transposed_matrix}}
* {{MathWorld|title=Transpose|id=Transpose}}
* {{PlanetMath|title=Transpose|id=transpose|author=mathcam}}

[[Kategorie:Matrix]]