Quelltext der Seite Theorem von Belevitch

Das '''Theorem von Belevitch''' ({{EnS|''Belevitch's theorem''}}) ist ein nach [[Vitold Belevitch]] benannter und in der elektrischen [[Schaltungstheorie]] verwendeter Lehrsatz, um festzustellen, ob eine gegebene [[Streuparameter|S-Matrix]] eines [[Zweitor]]s grundsätzlich verlustfrei und rational realisierbar ist.

Verlustfrei bedeutet in diesem Zusammenhang, dass sich das Zweitor im Inneren nur durch ideale [[Kondensator (Elektrotechnik)|Kondensatoren]] und [[Spule (Elektrotechnik)|Spulen]] ohne verlustbehaftete [[Ohmscher_Widerstand#Ohmscher_Widerstand|ohmsche Widerstände]] realisieren lässt. Rational bedeutet, dass zur Beschreibung der  S-Matrix nur [[Rationale Funktion|rationale Funktionen]] zum Einsatz kommen. Implizit ist damit festgelegt, dass im Zweitor nur konzentrierte Bauelemente (diskrete Bauelemente) in Form von Kondensatoren und Spulen vorkommen.

== Allgemeines ==
Die gegebene S-Matrix eines Zweitors <math>\mathbf S(s)</math> vom [[Grad (Polynom)|Grad]] <math>d</math> ist in der Form:

:<math>\mathbf S(s) = \begin{bmatrix} s_{11} & s_{12} \\ s_{21} & s_{22} \end{bmatrix} </math>

mit <math>s</math> der [[Komplexe Frequenz|komplexen Frequenz]], im eingeschwungenen Zustand reduziert sich <math>s</math> auf <math>\mathrm{j} \omega</math>, mit der [[Kreisfrequenz]] <math>\omega</math>. Der Grad <math>d</math> gibt, bei Existenz, die Anzahl der im Zweitor enthaltenen konzentrierten Kondensatoren und Spulen an.

Das Theorem von Belevitch sagt nun aus, dass ein solcher, verlustfreier und rationaler Zweitor <math>\mathbf S(s)</math> dann und nur dann existiert, wenn die S-Matrix sich in folgender Form darstellen lässt:

:<math> \mathbf  S(s) = \frac {1}{g(s)} \begin{bmatrix} h(s) & f(s) \\ \pm f(-s) & \mp h(-s) \end{bmatrix} </math>

mit folgenden Bedingungen:

#<math>f(s)</math>, <math>g(s)</math> und <math>h(s)</math> sind [[Polynom#Nullstellen|reellen Polynome]]
#<math>g(s)</math> ist ein [[Hurwitzpolynom]] vom Grad kleiner oder gleich <math>d</math>.
#<math>g(s)g(-s) = f(s)f(-s) + h(s)h(-s)</math>

für alle <math>s \in \mathbb{C}</math>.

== Literatur ==
*{{Literatur
|Autor = Vitold Belevitch
|Titel = Classical Network Theory
|Ort = San Francisco | Verlag = Holden-Day | Jahr = 1968 | OCLC = 413916 }}
*{{Literatur
|Autor = Daniel Nahum Rockmore and Dennis M. Healy
|Titel = Modern Signal Processing
|Verlag = Cambridge University Press | Jahr = 2004 | ISBN = 0-52182706-X }}

[[Kategorie:Theoretische Elektrotechnik]]