Quelltext der Seite Teilungsparadoxon

zeBeim '''Teilungsparadoxon''' oder '''Dichotomieparadoxon''' handelt es sich um einen scheinbaren Widerspruch, bei dem gezeigt werden soll, dass Bewegung in Wirklichkeit nicht möglich ist. Es ist eng verwandt mit dem [[Achilles und die Schildkröte|Paradoxon von Achilles und der Schildkröte]] und geht – wie auch Letzteres – zurück auf den [[Philosoph]]en [[Zenon von Elea]] (ca. 490–430 v. Chr.).

== Genaue Formulierung ==
Das Beispiel, mit dem die Existenz von Bewegung widerlegt werden sollte, lautet wie folgt:
Ein Läufer will eine Strecke positiver Länge zurücklegen. Dazu muss er zunächst die Hälfte dieser Strecke zurücklegen. Und um dies zu erreichen, muss er zuerst die Hälfte der Hälfte, also ein Viertel der Gesamtlänge hinter sich bringen. Mit diesem Verfahren zerteilt man die Strecke in unendlich viele Teilstrecken, deren jeweilige Überwindung eine positive, endliche Zeit beansprucht. Infolgedessen muss der Läufer eine unendlich lange Zeit brauchen, um die Gesamtstrecke zurückzulegen.

So lässt sich der Beweis von Aristoteles in ''Physik Buch 6, Kapitel 2 233b21-34'' zu seiner Behauptung "Zenon aber begeht einen Fehlschluß."<ref name=":1">Aristoteles / Physik [http://www.zeno.org/nid/20009149201 Neuntes Capitel], Stelle 239b5, auf auf zeno.org</ref> interpretieren.<ref>{{Internetquelle |autor=Aristoteles |url=http://www.zeno.org/nid/20009148590 |titel=Physik |werk=Zeno.org |hrsg=Henricus - Edition Deutsche Klassik GmbH |sprache=de |abruf=2026-03-01}}</ref>

Leider ist dieses "Jugendwerk" von Zenon verloren, jedoch scheint Aristoteles es gekannt zu haben.<ref>{{Literatur |Autor=Gerhard Köhler |Titel=Zenon von Elea |Auflage=1 |Verlag=Walter de Gruyter GmbH |Ort=Berlin / München / Boston |Datum=2014 |ISBN=978-3-11-036292-3 |Seiten=18 ff.}}</ref>
Die genaue Textstelle von Aristoteles in Kapitel 9 239b9ff lautet in der deutschen Übersetzung durch Weiße: „Vier aber sind Zenons Sätze über Bewegung, die in Schwierigkeiten verwickeln die Lösenden. Der erste der, daß nichts sich bewege, weil zuvor in die Hälfte kommen müßte das sich Bewegende, bevor an das Ende; worüber wir entschieden haben in den vorhergehenden Betrachtungen.“.<ref name=":1" /> Diese Textstelle lässt sich so interpretieren, dass der Läufer den Startpunkt des Laufs gar nicht verlassen kann – was zur behaupteten Unmöglichkeit von Bewegung passt. 

Die einleitende Behauptung von Aristoteles zur angesprochenen Textstelle in 233b21-34 lautet: "Darum ist auch an dem was Zenon sagt, etwas Unwahres: daß es nicht möglich sei, das Unbegrenzte zu durchgehen, oder es zu berühren im Einzelnen in begrenzter Zeit.".<ref>Aristoteles / Physik [http://www.zeno.org/nid/20009149139 Zweites Capitel], auf zeno.org</ref>

== Auflösung des Paradoxons ==
Natürlich ist damit nicht bewiesen, dass keine Bewegung existiert; bei genauerem Nachdenken erweist sich, dass das Paradoxon auf einem Denkfehler beruht: Dadurch, dass Zenon eine endliche Strecke in unendlich viele endliche Strecken aufteilt, zeigt er unabsichtlich selbst, dass umgekehrt eine Summe aus unendlich vielen endlichen Summanden einen endlichen Wert haben kann.
Die quantitative Lösung des Paradoxons liegt in der [[Geometrische Reihe|geometrischen Reihe]], die bereits [[Archimedes]] (287–212 v. Chr.) bekannt war; er zeigte im Rahmen seiner [[Quadratur der Parabel]], dass
:<math>\sum_{k=0}^\infty{\frac{1}{4^k}}=\frac{4}{3}</math>
ist.<br/>
Sei dazu zu Gunsten der Veranschaulichung [[ohne Beschränkung der Allgemeinheit]] eine Strecke von 100 Metern gegeben, und nehmen wir weiter an, dass der Läufer zur Überwindung eines Meters genau eine Sekunde benötigt.
Man rechnet nach, dass der Läufer 100 Sekunden braucht, um 100 Meter zurückzulegen.

Zerlegt man nun die Strecke nach [[Teilungsparadoxon#Genaue Formulierung|obigem]] Verfahren, erhält man Folgendes:

Der Läufer muss
* am Ende 50 m,
* davor 25 m,
* davor 12,5 m,
* davor 6,25 m
* etc.
zurücklegen. Nun betrachtet man die Zeit, die er dafür benötigt. Unter Verwendung des [[Summe#Notation mit dem Summenzeichen|Summenzeichens]] ergibt sich: <math> 50\mathrm{\ s} + 25\mathrm{\ s} + 12{,}5\mathrm{\ s} + 6{,}25\mathrm{\ s} +\dotsb = 50\cdot\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dotsb\right)\mathrm{s} = 50 \cdot \sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^k\mathrm{s} = (50\cdot2)\mathrm{s} = 100\mathrm{\ s}</math>.<ref>Die folgenden Umformungen veranschaulichen rechnerisch, wie die unendliche Summe immer näher an die Zahl <math>2</math> heranrückt:
::<math>1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 2 - \frac{1}{2}</math>
::<math> \frac{3}{2} + \frac{1}{4} = \frac{6}{4} + \frac{1}{4} =\frac{7}{4} = 2 - \frac{1}{4}</math>
::<math> \frac{7}{4} + \frac{1}{8} = \frac{14}{8} + \frac{1}{8} =\frac{15}{8} = 2 - \frac{1}{8}</math> usw.,
allgemeiner:
::<math>\frac{2^{k+1} -1}{2^k}  + \frac{1}{2^{k+1}} = </math><math>\frac{2^{k+2} -2}{2^{k+1}}  + \frac{1}{2^{k+1}} = </math><math>\frac{2^{k+2} -1}{2^{k+1}} = </math> <math>2 - \frac{1}{2^{k+1}}; </math>,
hieraus für die im Text benutzte Schreibweise:
::<math>\sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k = </math> <math>\lim_{k \to \infty} \sum_{k=0}^{n} \left(\frac{1}{2}\right)^k = </math> <math>2 - \lim_{n \to \infty}\frac{1}{2^{n+1}}  =</math> <math>2-0 = </math> <math>2</math>;
hierbei bezeichnet <math>\mathrm{lim}</math> den [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] einer [[Zahlenfolge]]. – Der „Kern“ der Überlegung ist, einzusehen, dass der Bruch <math>\frac{1}{2^{k+1}}</math> für hinreichend hohe <math>k</math> jede (noch so kleine) positive Zahl unterschreitet und also ''im Unendlichen (den Grenzwert) <math>0</math> erreicht''.</ref>


D. h. auch hier legt der Läufer die Strecke von 100 Metern in 100 Sekunden zurück, weshalb sich der Widerspruch nicht ergibt.

== Der dahinterliegende Fehlgedanke ==
Der Grund, weshalb man annahm, es ergebe sich ein Widerspruch, ist der, dass man sich zur Zeit des Entstehens dieses Paradoxons noch nicht mit [[Folge (Mathematik)|unendlichen Folgen]] und insbesondere nicht mit deren [[Grenzwert (Folge)|Konvergenz]] beschäftigt hat. Das Paradoxon beruht auf der Unkenntnis der Tatsache, dass eine unendliche [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] konvergiert, ''wenn'' sie wie die betrachtete ein [[Konvergenzkriterium#Konvergenzkriterien für Reihen|Konvergenzkriterium]] erfüllt. Die Fehlannahme ist in diesem Falle allerdings offensichtlich, denn durch die Unterteilung der '''definitionsgemäß''' endlichen Gesamtstrecke in unendlich viele jeweils endliche Gesamtstrecken hat Zenon eigentlich '''bewiesen''', dass es konvergente unendliche Reihen gibt.

== Literatur ==
* Gerhard Köhler: ''Zenon von Elea''. Walter de Gruyter GmbH, Berlin/München/Boston 2014.

== Weblinks ==
* Christian Hermann Weiße: ''[http://www.zeno.org/nid/20009148590 Aristoteles: Physik]''. Leipzig 1829.
* {{SEP|https://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/#3.1}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Paradoxon]]
[[Kategorie:Vorsokratik]]