Quelltext der Seite Strahlensatz

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Der '''Strahlensatz''' (man spricht auch vom ''ersten'' und ''zweiten Strahlensatz'') oder '''Vierstreckensatz''' gehört zu den wichtigsten Aussagen der [[Geometrie|Elementargeometrie]]. Er befasst sich mit den Streckenverhältnissen, die entstehen, wenn zwei von einem gemeinsamen Punkt ausgehende Strahlen von einem Parallelenpaar geschnitten werden. Seine Aussagen ermöglichen es bei vielen geometrischen Überlegungen, unbekannte Streckenlängen auszurechnen. Traditionell wird der Strahlensatz dem griechischen Mathematiker [[Thales]] zugeschrieben, weshalb er außerhalb des deutschen Sprachraums oft auch als ''Satz des Thales'' bezeichnet wird.

In der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] können die ersten beiden Strahlensätze mit Einschränkungen sinngemäß auf [[affine Translationsebene]]n verallgemeinert werden und gelten uneingeschränkt für [[Satz von Desargues|desarguesche Ebenen]]. Dagegen gilt die Erweiterung des Strahlensatzes auf drei sich schneidende Geraden, der in der synthetischen Geometrie auch '''Dreistrahlsatz''' genannt wird, im Allgemeinen nur für [[Satz von Pappus|pappussche Ebenen]], siehe dazu [[Affine Translationsebene#Strahlensatz und Streckungen|Affine Translationsebene – Strahlensatz und Streckungen]].

== Formulierung der Strahlensätze ==
[[Datei:Intercept theorem de.svg|mini|hochkant=1.1|Strahlensätze]]
Wenn zwei von einem gemeinsamen Punkt <math>Z</math> ausgehende [[Strahl (Geometrie)|Strahlen]] von zwei [[Parallel (Geometrie)|Parallelen]] geschnitten werden, die nicht durch den Ausgangspunkt <math>Z</math> gehen, dann gelten die folgenden Aussagen:<ref name="Schupp"/><ref name="Duden">''Strahlensätze''. In: ''Schülerduden: Mathematik I''. Dudenverlag, 8. Auflage, Mannheim 2008, S. 431–433</ref>

# Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf dem einen Strahl so zueinander wie die ihnen entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl, also zum Beispiel  <math>\frac{|ZA|}{|AA^\prime|} = \frac{|ZB|}{|BB^\prime|}</math>,  <math>\frac{|ZA|}{|ZA^\prime|} = \frac{|ZB|}{|ZB^\prime|}</math> oder <math>\frac{|AA^\prime|}{|ZA^\prime|} = \frac{|BB^\prime|}{|ZB^\prime|}</math>
# Es verhalten sich die Abschnitte auf den Parallelen wie die ihnen entsprechenden, vom Scheitel aus gemessenen Strecken auf jeweils demselben Strahl:<math>\frac{|AB|}{|A^\prime B^\prime|} = \frac{|ZA|}{|ZA^\prime|}= \frac{|ZB|}{|ZB^\prime|}</math>.

Der erste Strahlensatz bezieht sich also auf die Verhältnisse von Strahlenabschnitten und der zweite auf die Verhältnisse von Strahlen- und Parallelenabschnitten.

'''Bemerkung''' (''Umkehrung des 1. Strahlensatzes''):<ref name="Schupp"/>
:''Ist Eigenschaft 1 erfüllt, so kann man auf parallele Geraden schließen. Ist dagegen Eigenschaft 2 gegeben, so ist ein entsprechender Schluss auf Parallelität nicht möglich.''

== Erweiterungen ==
[[Datei:Strahlensatz.svg|mini|hochkant=1.3|Die beiden Skizzen berücksichtigen, dass der Kreuzungspunkt Z außerhalb oder innerhalb der beiden parallelen Geraden liegen kann. Im ersten Fall spricht man gelegentlich von einer „V-Figur“ (linke Skizze), im zweiten von einer „X-Figur“ (rechte Skizze).]]
Der erste und zweite Strahlensatz gelten auch, wenn man die beiden Strahlen mit gemeinsamen Ausgangspunkt <math>Z</math> durch zwei [[Gerade (Geometrie)|Geraden]], die sich in  <math>Z</math> schneiden, ersetzt. Liegt der Schnittpunkt <math>Z</math> auf derselben Seite der beiden Parallelen („V-Figur“), so liegt die Situation des Strahlensatzes vor. Liegt <math>Z</math> zwischen den beiden Parallelen („X-Figur“), so gelten aber weiterhin die für den Strahlensatz formulierten Streckenverhältnisse, da man diese Konfiguration  („X-Figur“) durch eine [[Kreisspiegelung#Kreisspiegelung eines Punktes|Punktspiegelung]] in <math>Z</math> in eine Strahlensatzkonfiguration („V-Figur“) mit den gleichen Streckenlängen überführen kann.<ref name="Duden"/> Allerdings ist die Umkehrung des ersten Strahlensatzes nicht mehr möglich, wenn man ihn mit Geraden anstatt mit Strahlen formuliert.<ref>[[Ilka Agricola]], Thomas Friedrich: ''Elementargeometrie''. Springer Spektrum, 4-te Auflage 2015, ISBN 978-3-658-06730-4, S. 1–4</ref>

[[Datei:01 Strahlensatz-3.svg|mini|hochkant=1.3|Dritter Strahlensatz: 3 Geraden; deren Kreuzungspunkt Z kann außerhalb oder innerhalb der beiden parallelen Geraden liegen]]
Betrachtet man mehr als zwei Geraden oder Strahlen, die sich in einem Punkt <math>Z</math> schneiden, so erhält man auch Aussagen über die zusätzlichen auf den Parallelen entstandenen Strecken. Es stehen je zwei Abschnitte auf den Parallelen, die einander entsprechen, in gleichem Verhältnis zueinander. Schneidet zum Beispiel eine dritte Gerade die Parallelen in <math>C</math> und <math>C^\prime</math> (siehe Zeichnung) so gilt das folgende Streckenverhältnis:
:<math>\frac{|BC|}{|AC|} = \frac{|B^\prime C^\prime|}{|A^\prime C^\prime|}</math>.
Diese Aussage wird in der Literatur gelegentlich auch als dritter Strahlensatz bezeichnet.<ref>siehe z.&nbsp;B. Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: ''Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie''. Springer 2016, ISBN 9783662530344, S. 195–197 oder Heinz Klemenz, Michael Graf: ''Geometrie 2 - Kommentiere Lösungen''. Orell Füssli Verlag, 2019, ISBN 9783280039366, S. 2</ref>

== Verwandte geometrische Konzepte ==
Der Strahlensatz steht in engem Zusammenhang mit dem Begriff der geometrischen [[Ähnlichkeit (Geometrie)|Ähnlichkeit]]. Die Dreiecke <math>ZAB</math> und <math>ZA^{\prime}B^{\prime}</math> sind in jeder der drei Skizzen sowie <math>ZAC</math> und <math>ZA^{\prime}C^\prime</math> in der Skizze nach Satz 3 (in „Erweiterungen“) zueinander ähnlich. Dies bedeutet insbesondere, dass entsprechende Seitenverhältnisse in diesen Dreiecken übereinstimmen – eine Aussage, aus der sich unmittelbar der Strahlensatz ergibt.
: ''Siehe auch:'' [[Ähnlichkeitssätze]]

Ein weiteres Konzept, das mit dem Strahlensatz zusammenhängt, ist das der [[Zentrische Streckung|zentrischen Streckung]] (einer speziellen geometrischen [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]]). In den angesprochenen drei Skizzen bildet die erste (V-Figur) beispielsweise die zentrische Streckung mit Zentrum <math>Z</math> und Streckungsfaktor (Abbildungsfaktor) <math>1{,}5</math> die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> auf die Punkte <math>A^\prime</math> bzw. <math>B^\prime</math> ab. Entsprechendes gilt für die zweite Skizze (X-Figur); hier ist der Streckungsfaktor gleich <math>-0{,}5.</math>

Eine ähnlich enge Beziehung besteht zur [[Vektorrechnung]]. Die Rechenregel
: <math>\lambda\left(\vec{a}+\vec{b}\right) = \lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}</math>
für zwei Vektoren <math>\vec{a}, \vec{b}</math> und einen [[Reelle Zahl|reellen]] [[Skalar (Mathematik)|Skalar]] <math>\lambda</math> ist nur eine andere Ausdrucksweise für den Strahlensatz, denn es gilt dann:
:<math> 
\frac{ \| \lambda \cdot \vec{a} \| }{ \| \vec{a} \|}
=\frac{\|\lambda\cdot\vec{b}\|}{\|\vec{b}\|}
=\frac{\|\lambda\cdot(\vec{a}+\vec{b}) \|}{\|\vec{a}+\vec{b}\|}
=|\lambda|
</math>.
Hierbei bezeichnet <math>\|\vec{x} \|</math> die Länge ([[euklidische Norm]]) des Vektors <math>\vec{x}</math>

[[Datei:Intercept theorem vectors 2.svg|mini|zentriert|hochkant=3.0|Strahlensatz und Vektoren]]

== Anwendungen ==
=== Vermessung ===
In der Verhältnisgleichung des Strahlensatz bestimmen drei (bekannte) Größen die (möglicherweise unbekannte) vierte Größe. Dies lässt sich in der Vermessung von unzugänglichen, nicht direkt messbaren Strecken verwenden, indem man die nicht direkt messbare Strecke als (unbekannte) vierte Größe in einer Strahlensatzkonfigurationen wählt. Einfache Messgeräte, die auf diesem Prinzip beruhen, sind der [[Jakobsstab]] und das [[Försterdreieck]]. Auch der [[Daumensprung]] zum Schätzen von Entfernungen beruht auf diesem Prinzip.

==== Höhe der Cheops-Pyramide ====

[[Datei:Thales Theorem 6.svg|mini|300px|Skizze 1: Maßstab und Pyramide]]
[[Datei:Thales Theorem 7.svg|mini|200px|Skizze 2: Strahlensatz]]

Ein einfaches Beispiel für die Anwendung des Strahlensatzes soll auf den antiken griechischen [[Philosoph]]en und [[Liste von Mathematikern|Mathematiker]] [[Thales|Thales von Milet]] zurückgehen. Dieser habe mit Hilfe eines Stabes durch Messung der Schattenlänge die Höhe der [[Ägypten|ägyptischen]] [[Cheopspyramide]] ermittelt. In anderen Sprachen wird der Strahlensatz daher oft auch als ''Satz des Thales''<ref>Nicht zu verwechseln mit dem im deutschen Sprachraum als [[Satz des Thales]] bezeichneten Spezialfall des [[Kreiswinkel#Kreiswinkelsatz (Zentriwinkelsatz)|Kreiswinkelsatzes]].</ref> bezeichnet.

Die folgende Beispielrechnung ermittelt die Höhe der Cheopspyramide mit Hilfe des zweiten Strahlensatzes, sie entspricht jedoch vermutlich nicht der exakten Berechnung des Thales selbst<ref>Von Thales selbst sind keine Werke erhalten geblieben. Es gibt jedoch mehrere historische Quellen, die die Berechnung der Pyramidenhöhe durch Thales erwähnen. Alle diese Quellen sind aber mehrere Jahrhunderte nach dem Tode Thales verfasst worden und leicht unterschiedlich in ihrer Beschreibung, so dass sich letztendlich nicht mit Bestimmtheit sagen lässt, inwieweit Thales den Strahlensatz selbst oder einen Spezialfall von ihm als geometrischen Lehrsatz kannte oder ob er lediglich eine physikalische Beobachtung anwandte. So steht bei [[Diogenes Laertius]]: "''Hieronymus sagt, dass es Thales sogar gelang die Höhe der Pyramiden zu bestimmen, indem er den Schatten der Pyramide genau in dem Augenblick vermass, in dem seine eigene Schattenlänge seiner Körpergröße entsprach.''" Eine ähnliche Formulierung findet man bei [[Plinius der Ältere|Plinius]]: "''Thales entdeckte, wie man die Höhe von Pyramiden und anderen Objekten bestimmt, nämlich indem man den Schatten des Objektes genau zu dem Zeitpunkt misst, an dem Höhe und Schatten gleich lang sind.''" Bei [[Plutarch]] jedoch findet sich eine Beschreibung, die eventuell eine Kenntnis des Strahlensatzes vermuten lässt: "''… ohne Schwierigkeiten und Zuhilfenahme eines Instrumentes, stellte er lediglich einen Stock am Ende des Pyramidenschatten auf und erhielt so zwei durch die Sonnenstrahlen erzeugte Dreiecke … dann zeigte er, dass die Höhe des Stocks und die Höhe der Pyramide im selben Verhältnis stehen, wie die Schattenlänge des Stockes und die Schattenlänge der Pyramide''" (Quelle: [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Thales.html Biographie des Thales] im [[MacTutor History of Mathematics archive|MacTutor]]) </ref>:

: Zunächst bestimmt man die Seitenlänge der Pyramide und anschließend die Länge des Schattens ebenjener. Anschließend steckt man einen Stab senkrecht in den Boden und vermisst dessen Höhe und dessen Schattenlänge. Man erhält dann die folgenden Werte:

:* Höhe des Stabes: <math>A = 1{,}63\,\mathrm{m}</math>
:* Schattenlänge des Stabes: <math>B = 2{,}00\,\mathrm{m}</math>
:* Direkt messbare Schattenlänge der Pyramide: <math>65\,\mathrm{m}</math>
:* Seitenlänge der Pyramide: <math>230\,\mathrm{m}</math>
:* Gesamte Schattenlänge der Pyramide: <math>C = 65\,\mathrm{m} + \tfrac{1}{2} \cdot 230\,\mathrm{m}</math>
:* Gesuchte Höhe der Pyramide: <math>D</math>

: Mit Hilfe des Strahlensatzes (Skizze 2) stellt man die folgende Gleichung auf:

:: <math>\frac{D}{A} = \frac{C}{B}</math>

: Die Länge der Seite <math>C</math> des Dreiecks setzt sich dabei aus der halben Seitenlänge und der Länge des Schattens der Pyramide zusammen. Umgestellt nach D erhielt man

:: <math>D = \frac{A \cdot C}{B} = \frac{1{,}63\,\mathrm{m} \cdot \left(65\,\mathrm{m} + \frac{1}{2} \cdot 230\,\mathrm{m}\right)}{2{,}00\,\mathrm{m}}
= \frac{1{,}63\,\mathrm{m} \cdot 180\,\mathrm{m}}{2{,}00\,\mathrm{m}} = 146{,}7\,\mathrm{m}</math>.

==== Flussbreite ====
[[Datei:Flussbreite inkscape.svg|mini|hochkant=1.3|Flussbreite <math>|AB|=\frac{|AE| \cdot |CD|}{|CE|} </math>]]
Auch in der Landvermessung kann der Strahlensatz verwendet werden, um die Länge schwer zugänglicher Strecken wie zum Beispiel die Entfernung gegenüberliegender Ufer von Gewässern zu bestimmen. Die Breite eines Flusses (siehe Grafik rechts) kann man wie folgt bestimmen. Zunächst markiert man die Endpunkte A und B der zu bestimmenden Strecke, dann konstruiert man eine zu AB rechtwinklige AC. Eine solche Konstruktion kann man zum Beispiel mit Hilfe eines Drehkreuzes, [[Winkelspiegel]]s oder [[Doppelpentagonprisma]] durchführen. Auf AC wählt man einen (beliebigen) Punkt E von dem man aus den Punkt B am anderen Ufer anpeilt und die Strecke EB dann über E hinaus in die entgegengesetzte Richtung verlängert. Dann konstruiert man im Punkt C eine zu AC rechtwinklige Strecke, die die Verlängerung von EB im Punkt D schneidet. Da die Strecken AE, CE und CD alle auf derselben Uferseite liegen, lassen sie sich einfach vermessen und der zweite Strahlensatz liefert dann die gesuchte Flussbreite:
:<math>|AB|=\frac{|AE| \cdot |CD|}{|CE|}</math>

=== Teilung einer Strecke ===
[[Datei:Dividing segment.svg|mini|hochkant=1.1|Teilung einer Strecke im Verhältnis 5:3]]
Der erste Strahlensatz ermöglicht, mit einem einfachen Verfahren – ohne Berechnungen oder Messungen – eine Strecke in einem (ganzzahligen) Verhältnis <math> m:n</math> (<math> n,m \in \mathbb{N}</math>) zu teilen.<ref name="Duden"/> Zu einer gegebenen Strecke ''AB'' zeichnet man einen Strahl mit Startpunkt in ''A'' ein. Dann trägt man auf dem Strahl beginnend an ''A'' ''m+n'' gleich lange und aufeinander folgende Strecken ab. Den Endpunkt der ''m+n''-ten Strecke verbindet man mit ''B'' und zeichnet dann die Parallele zu dieser Strecke durch den Endpunkt der ''m''-ten Strecke. Diese Parallele teilt die Strecke ''AB'' im gewünschten Verhältnis <math>m:n</math>.

== Weitere Anwendungen und Verallgemeinerungen ==
* [[Zentrische Streckung]]en und damit das Skalieren von Grafiken.
* In der [[Strahlenoptik]] beschreiben die Strahlensätze die Vergrößerungsverhältnisse bei einer [[Lochkamera]] und – zusammen mit der [[Linsengleichung]] – bei einer fehlerfreien [[Dünne Linse|dünnen Linse]].
* Die Aussagen des ersten und zweiten Strahlensatzes können in der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] auf bestimmte [[Ternärkörper|nichtdesarguesche Ebenen]], die [[Affine Translationsebene|affinen Translationsebenen]], verallgemeinert werden.
* [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal#Dezimalzahl|Konstruktion einer Dezimalzahl]] als praktisches Anwendungsbeispiel des dritten Strahlensatzes in Kombination mit [[Zahlenstrahl]]en
* [[Multiplikation#Multiplikation mit Zirkel und Lineal|Multiplikation mit Zirkel und Lineal]]
* [[Division (Mathematik)#Division mit Zirkel und Lineal|Division mit Zirkel und Lineal]]
* [[Potenz (Mathematik)#Potenzwert mit Zirkel und Lineal|Potenz mit Zirkel und Lineal]]

== Beweis ==
Die in Satz 1 aufgestellten Streckenverhältnisse lassen sich über flächengleiche Dreiecke in der Strahlensatzfigur herleiten. Die Sätze 2 und 3 sowie die Umkehrung von Satz 1 ergeben sich dann durch die Anwendung von Satz 1 bzw. der schon bewiesenen Sätze.

=== Satz 1 ===
[[Datei:Intercept theorem proof 1.svg|mini|hochkant=1.25|Skizze zum Beweis von Satz 1]]
Die Lote von <math>A'</math> bzw. <math>B'</math> auf die Gerade <math>AB</math> haben die gleiche Länge, da <math>AB</math> parallel zu <math>A'B'</math> ist. Diese Lote sind Höhen der Dreiecke <math>ABB'</math> bzw. <math>ABA'</math>, welche die zugehörige Grundseite <math>[AB]</math> gemeinsam haben. Nach dem [[Dreiecksfläche#Flächenformeln|Satz über die Dreiecksfläche]] gilt daher<ref name="Schupp"/>

: <math> |\triangle ABB'|= |\triangle ABA'|</math>.

Hieraus folgt

: <math> |\triangle ABB'| + |\triangle ZBA| = |\triangle ABA'| + |\triangle ZBA| </math>

oder flächenvereint

: <math> |\triangle ZB'A|= |\triangle ZBA'|</math>.

Aus der ersten Zeile folgt:
: <math>\frac{ |\triangle ZBA|}{|\triangle ABB'|}=\frac{|\triangle ZBA|}{|\triangle ABA'|}</math>

und aus der zweiten:

: <math>\frac{| \triangle ZBA|}{|\triangle ZB'A|}=\frac{|\triangle ZBA|}{|\triangle ZBA'|}</math>

Das Anwenden der Standardformel zur Flächenberechnung von Dreiecken (<math>\tfrac{g \cdot h}{2}</math>) liefert dann
: <math>\frac{|ZB| \cdot |AF|}{|BB'| \cdot |AF|}=\frac{|ZA| \cdot |EB|}{|AA'| \cdot |EB|}</math> und <math>\frac{|ZB| \cdot |AF|}{|ZB'| \cdot |AF|}=\frac{|ZA| \cdot |EB|}{|ZA'| \cdot |EB|}</math>

Kürzen liefert die ersten beiden Gleichungen aus Satz 1

: <math>\frac{|ZB|}{|BB'|}= \frac{|ZA|}{|AA'|}</math> und <math>\frac{|ZB|}{|ZB'|}=\frac{|ZA|}{|ZA'|}</math>.

Aus der letzten Gleichung erhält man dann
:<math>1-\frac{|ZB|}{|ZB'|}=1-\frac{|ZA|}{|ZA'|}</math>
Nun bringt man auf beiden Seiten den jeweiligen Ausdruck auf den gleichen Nenner
:<math>\frac{|ZB'|-|ZB|}{|ZB'|}=\frac{|ZA'|-|ZA|}{|ZA'|}</math>
und dies entspricht dann der dritten Gleichung aus Satz 1
:<math>\frac{|BB'|}{|ZB'|}=\frac{|AA'|}{|ZA'|}</math>

=== Satz 1 – Beweis nach Archimedes ===
[[Datei:01 Strahlensatz-1.svg|mini|hochkant=1.25|Skizze zum Beweis von Satz 1 nach Archimedes]]
[[Archimedes]] reichte es, die [[Gleichheit]] zweier [[Seitenverhältnis]]se für einen Fall nachzuweisen. Die anderen Fälle ergeben sich daraus unmittelbar.

Der Beweis wird nicht zitiert, sondern lediglich gemäß der Archimedischen Methodenlehre<ref>Archimedes ''Werke. Übersetzt und mit Anmerkungen versehen von Arthur Czwalina'' Wiss. Buchgesellschaft, Darmstadt 1983, ISBN 3-534-02029-4</ref> ausgeführt. Mit den üblichen Seiten- und Winkelbezeichnungen für die Dreiecke <math>ABZ</math> und <math>A'B'Z</math> (siehe nebenstehende Skizze) wird gezeigt, dass <math>\frac{a}{a^\prime} = \frac{b}{b^\prime}</math> (entspricht <math>\tfrac{\overline{BZ}}{\overline{B'Z}} = \tfrac{\overline{AZ}}{\overline{A'Z}}</math>) gilt.
Die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\alpha</math>' sowie <math>\beta</math> und <math>\beta</math>' sind als [[Winkel#Stufenwinkel oder F-Winkel|Stufenwinkel]] gleich.

'''Vorgehensweise'''

Bezeichne die Höhen, die durch das Lot von <math>Z</math> auf die Geraden gegeben sind, mit <math>h</math> und <math>h'</math> sowie deren Fußpunkte mit <math>H</math> und <math>H'</math>.
Da <math>\alpha</math> gleich <math>\alpha</math>' ist, haben jeweils die „ferne“ Kathete und die Hypotenuse in beiden rechtwinkligen Dreiecken <math>AHZ</math> und <math>A'H'Z</math> dasselbe Verhältnis zueinander. (In „moderner“ Formulierung: <math>\sin(\alpha)</math> gleich Gegenkathete von <math>\alpha</math> zu Hypotenuse).

Demzufolge gilt
:<math>\frac{h}{b} = \frac{h^\prime}{b^\prime}</math> und daher <math>\frac{h}{h^\prime} = \frac{b}{b^\prime}</math>.

Aus <math>\beta</math> gleich <math>\beta</math>' folgen durch entsprechende Betrachtung der Dreiecke <math>HBZ</math> und <math>H'B'Z</math> die Gleichungen
:<math>\frac{h}{a} = \frac{h^\prime}{a^\prime}</math> bzw. <math>\frac{h}{h^\prime} = \frac{a}{a^\prime}</math>.

Und schließlich
:<math>\frac{a}{a^\prime} = \frac{b}{b^\prime}</math>.

Was zu beweisen war.

=== Satz 2 ===
[[Datei:Intercept theorem proof2a.svg|mini|hochkant=1.25|Skizze zum Beweis von Satz 2]]
Der Satz 2 ist die konstruktive Erweiterung von Satz 1.<ref name="Schupp"/>

Konstruiere eine Parallele zu <math>ZB'</math> durch <math>A</math>. Diese Parallele schneidet <math>A'B'</math> in <math>G</math>.

Wegen <math>|AB|=|B'G| </math> gilt aufgrund von Satz 1:
: <math>\frac{|ZA|}{|ZA'|}=\frac{|B'G|}{|A'B'|}</math> worin sich <math>|B'G|</math> durch <math>|AB|</math> ersetzen lässt: <math>\frac{|ZA|}{|ZA'|}=\frac{|AB|}{|A'B'|} </math>

=== Umkehrung von Satz 1 ===
[[Datei:Intercept theorem proof3a.svg|mini|hochkant=1.25|Skizze zur Umkehrung von Satz 1]]

Angenommen <math>AB</math> und <math>A'B'</math> wären nicht parallel. Dann gibt es eine Parallele zu <math>AB</math>, die durch den Punkt <math>B'</math> geht und den Strahl <math>ZA</math> in <math> A'_{0}\neq A' </math> (*) schneidet. Da nach Voraussetzung <math> \tfrac{|ZA'|}{|ZA|}=\tfrac{|ZB'|}{|ZB|}</math> gilt, ergibt sich
: <math>|ZA'|=\frac{|ZB'| \cdot |ZA|}{|ZB|}</math>
Andererseits gilt nach dem ersten Strahlensatz auch
: <math>|ZA'_{0}|=\frac{|ZB'| \cdot |ZA|}{|ZB|}</math>.
Dies bedeutet, dass <math>A'</math> und <math>A'_{0}</math> beide auf dem Strahl <math>ZA</math> liegen und den gleichen Abstand von <math>Z</math> haben. Damit sind die beiden Punkte jedoch identisch, also <math>A'=A'_{0}</math>. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass es sich nach Bedingung (*) um 2 verschiedene Punkte handeln soll. Also führt die Annahme der Nichtparallelität zu einem Widerspruch und kann daher nicht richtig sein; oder anders ausgedrückt: Es muss <math>AB\parallel A'B'</math> gelten.<ref name="Schupp">[[Hans Schupp (Mathematiker)|Hans Schupp]]: ''Elementargeometrie.'' Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, S.&nbsp;124&nbsp;ff. (''Uni-Taschenbücher'' 669 ''Mathematik''). </ref>

=== Mehr als zwei Geraden ===
[[Datei:01 Dritter Strahlensatz-Beweisskizze.svg|mini|hochkant=1.25|Skizze zum Beweis der Aussage über drei Geraden]]
Satz 2 lässt sich zu Aussagen über drei oder mehr Geraden erweitern.

Ziehe eine Gerade durch <math>Z</math> und <math>AB</math>, dabei ergeben sich die Schnittpunkte <math>C</math> auf <math>AB</math> sowie <math>C'</math> auf <math>A'B'</math>. Konstruiere eine Parallele zu <math>ZB'</math> durch <math>C</math>, die <math>A'B'</math> in <math>G'</math> schneidet.

Wegen <math>|AB|=|B'G| </math> und <math>|BC|=|B'G'|</math> gilt aufgrund von Satz 2:
:<math>\frac{|BC|}{|B'C'|}=\frac{|ZC|}{|ZC'|}=\frac{|CA|}{|C'A'|}</math>
Also hat man <math>\tfrac{|BC|}{|B'C'|}=\tfrac{|CA|}{|C'A'|}</math> oder umgestellt auch <math>\tfrac{|BC|}{|CA|}=\tfrac{|B'C'|}{|C'A'|}</math>.

== Literatur ==
* Wendelin Degen, Lothar Profke: ''Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.'' Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Lorenz Halbeisen, [[Norbert Hungerbühler]], Juan Läuchli: ''Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie.'' Springer 2016, ISBN 9783662530344, S.&nbsp;191–208.
* [[Hans Schupp (Mathematiker)|Hans Schupp]]: ''Elementargeometrie.'' Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, S.&nbsp;124&nbsp;ff. (''Uni-Taschenbücher'' 669 ''Mathematik'').
* Siegfried Krauter, Christine Bescherer: ''Erlebnis Elementargeometrie''. Springer Spektrum, 2-te Auflage 2013, ISBN 978-3-8274-3025-0, S. 147–157
* Franz Lemmermeyer: ''Mathematik à la Carte''. Springer Spektrum, 2015, ISBN 978-3-662-45269-1, S. 118–122
* Manfred Leppig (Hrsg.): ''Lernstufen Mathematik.'' 1. Auflage, 4. Druck. Girardet, Essen 1981, ISBN 3-7736-2005-5, S. 157–170.
* Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: ''Elementargeometrie. Eine aufgabenorientierte Einführung.'' Vieweg+Teubner Verlag 2009, ISBN 978-3-8348-0856-1, S.&nbsp;36–41

== Weblinks ==
{{commonscat|intercept theorem}}
* [http://btmdx1.mat.uni-bayreuth.de/smart/sinus/j04/strahlensaetze/strahlensaetze.pdf ''Symmetrie und Ähnlichkeit, Strahlensätze''] – Sinusmaterialien zum Strahlensatz (pdf)
* Alexander Bogomolny: [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ThalesTheorems.shtml ''Thales' Theorems''] und insbesondere [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/GeoGebra/ThalesTheorem.shtml ''Thales' Theorem''] auf cut-the-knot.org
* [https://www.geogebra.org/m/z4sjgwbp Strahlensatz interaktiv]
* [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI2.html Euklid's Elements 6. Buch, L.2 ''engl.'']
== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Satz (Ebene Geometrie)]]
[[Kategorie:Satz (Synthetische Geometrie)]]

[[ca:Teorema de Tales]]
[[he:משפט תאלס]]
[[nl:Stelling van Thales]]