Quelltext der Seite Stochastische Geometrie

Die '''Stochastische Geometrie''' beschäftigt sich mit der mathematischen Beschreibung und Analyse von [[Zufall|zufälligen]] geometrischen Strukturen, wie Punkten oder Liniensegmenten oder komplizierteren Mengen im Raum oder der Ebene. Wichtige Grundlagen sind [[Zufällige Menge|zufällige Mengen]], insbesondere [[Stochastische Geometrie#Zufällige abgeschlossene Menge|zufällige abgeschlossene Mengen]], [[Punktprozess|Punktprozesse]] und [[zufälliges Maß|zufällige Maße]].

Eine wichtige Anwendung liegt in der [[Stereologie|stereologischen]] Gewinnung von Aussagen über räumliche Strukturen durch die statistische Analyse von linearen und ebenen Schnitten.

Verschiedene Modelle der [[Statistische Mechanik|statistischen Mechanik]] (insbesondere werden hier [[Gittermodell]]e in zwei Dimensionen betrachtet) wie die [[Perkolationstheorie]] ergeben ebenfalls zufällige geometrische Strukturen, die mathematisch streng mit der Methode der [[Schramm-Löwner-Evolution]] behandelt werden können.

== Punktprozesse ==
{{Hauptartikel|Punktprozess}}

== Zufällige abgeschlossene Menge ==
=== Boolesches Modell ===

[[Datei:A boolean model.png|mini|Beispiel eines booleschen Modelles für einen Poisson-Prozess <math>\varphi=\{\xi_1,\xi_2,\dots\}</math>]] 

''Boolesche Modelle'' sind einfache Beispiele für zufällige geschlossene Mengen. Es handelt sich dabei um ein ''Keim-Korn-Modell''.

Sei <math>\varphi=\{\xi_1,\xi_2,\dots\}</math> ein homogener [[Poisson-Prozess|Poisson-Punktprozess]] auf <math>\mathbb{R}^d</math> mit Intensität <math>\lambda</math>. Sei <math>\Theta_0</math> eine zufällige [[kompakte Menge]]
genannt ''typisches Korn'', die unabhängig von <math>\varphi</math> ist und es gelte für alle kompakten Mengen <math>K</math>
:<math>\mathbb{E}(\nu_d\left(\Theta_0\oplus K\right))<\infty</math>
wobei <math>A\oplus B:=\{x+y:x\in A,\ y\in B\}</math> und <math>\nu_d</math> das <math>d</math>-dimensionale [[Lebesguemaß]] bezeichnet.

Sei <math>\Theta_1,\Theta_2,\dots</math> eine Folge von iid zufälligen kompakten Mengen auf <math>\mathbb{R}^d</math> genannt ''Körner'', welche die gleiche Verteilung wie <math>\Theta_0</math> haben und unabhängig von <math>\Theta_0</math> und <math>\varphi</math> sind. Das ''boolesche Modell'' ist definiert als
:<math>\Theta=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}(\Theta_n+\xi_n)</math>
wobei <math>\{\xi_1,\xi_2,\dots\}</math> ''Keime'' genannt werden.<ref>{{Literatur | Autor=Sung Nok Chiu, Dietrich Stoyan, Wilfrid S. Kendall, Joseph Mecke | Titel=Stochastic Geometry and Its Applications | ISBN=0471950998|Herausgeber = John Wiley & Sons Ltd }}</ref>

=== Keim-Korn-Modell ===

Betrachtet man ein boolesches Modell und ersetzt den Poisson-Punktprozess durch einen allgemeinen Punktprozess, dann spricht man von einem Keim-Korn-Modell. Man betrachtet dabei einen markierten Punktprozess <math>\varphi=\{[\xi_1,\Theta_1],[\xi_2,\Theta_2],\dots\}</math> mit <math>x_i\in\mathbb{R}^d</math> und kompakten Mengen <math>\Theta_i\in\mathbb{R}^d</math>, die [[Terminologie]] ist analog wie im booleschen Modell.

== Literatur ==

* [[Dietrich Stoyan]], Wilfrid S. Kendall, Joseph Mecke: ''Stochastic Geometry and Its Applications.'' 2. Auflage. Wiley, Chichester u. a. 1995, ISBN 0-471-95099-8 (''Wiley series in probability and statistics'').
* [[Ole Barndorff-Nielsen|O. E. Barndorff-Nielsen]], W. S. Kendall und M. N. M. van Lieshout (Hrsg.): ''Stochastic Geometry. Likelihood and Computation.'' Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 1998, ISBN 0-8493-0396-6 (''Monographs on statistics and applied probability'' 80).

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]