Quelltext der Seite Stieltjes-Konstanten

__NOTOC__
Die '''Stieltjes-Konstanten''' <math>\gamma_n</math> sind eine Folge reeller Zahlen, die durch den [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] 
: <math>
\gamma_n := \lim_{N\to \infty} \left(\sum_{k=1}^N\frac{(\log k)^n}{k} - \frac{(\log N)^{n+1}}{n+1}\right), \quad n = 0, 1, 2, \dotsc
</math>
definiert sind, wobei <math>\gamma_0</math> die [[Eulersche Konstante]] <math>\gamma</math> ist. Es wird vermutet, dass die <math>\gamma_n</math> irrational sind. Ein Beweis dafür konnte bislang nicht erbracht werden.
Aufgrund ihrer Definition werden sie gelegentlich auch als '''verallgemeinerte Eulersche Konstanten''' bezeichnet.
Sie treten in der [[Laurent-Entwicklung]] der [[Riemannsche Zetafunktion|Riemannschen Zetafunktion]]
: <math>
\zeta(s) = \frac1{s-1}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\gamma_n}{n!}(s-1)^n
</math>
und bei der Auswertung gewisser bestimmter Integrale auf:
: <math>
\int\limits_0^{\infty}\frac{(\log x)^2}{e^x+1}\,\mathrm{d}x = (\log2) \, \left(\frac{1}{3} (\log 2)^2 + \zeta(2) - \gamma^2 - 2\gamma_1\right) = 1{,}121192486\dots</math>

Sie hängen eng mit den Zahlen
: <math>\tau_n := \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{(\log k)^n}{k}, \quad n = 0, 1, 2, \dotsc</math>
zusammen. Diese lassen sich numerisch gut über eine [[Konvergenzbeschleunigung]] (fortgesetzte Mittelung) berechnen. Es gilt die [[Rekursion]]
: <math>
\tau_0=\log2
</math>
: <math>\tau_n = \frac{(\log 2)^{n+1}}{n+1} - \sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k} (\log 2)^{n-k} \cdot\gamma_k,\qquad n = 1, 2, \dotsc
</math>
und die explizite Darstellung mit Hilfe der [[Bernoullische Zahlen|Bernoullischen Zahlen]]:
: <math>
\gamma_n = -\frac1{n+1}\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}B_{n+1-k} (\log 2)^{n-k} \cdot \tau_k, \quad n = 0, 1, 2, \dotsc
</math>
Aus der Rekursion ergibt sich für <math>n=1</math> die Identität <math>\tau_1 = \tfrac12 (\log 2)^2 - \gamma\log2</math>, d.&nbsp;h. für die eulersche Konstante die alternierende Reihe
: <math>
\gamma = \frac{1}{2}\log 2 + \frac1{\log2}\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\log k}{k}
= \frac{1}{2}\log 2 + \sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\log_2 k}{k},
</math>
die der Reihe von [[Giovanni Enrico Eugenio Vacca|Vacca]] sehr ähnlich ist.

Die Folge <math>\gamma_n</math> zeigt ein oszillierendes Verhalten mit asymptotisch langsam gegen 0 sinkender „Frequenz“. Bekannt ist, dass gilt:

: <math>\limsup_{n \to \infty} \frac{\ln |\gamma_n| }{n} = \ln \ln n</math>

== Numerische Werte ==
{| class="wikitable"
! ''n'' || Dezimalentwicklung von &gamma;<sub>''n''</sub>|| [[OEIS]]
|-
| {{0}}0 || {{0|−}}0,577215664901532860606512090082 …    || [[OEIS:A001620|A001620]]
|-
| {{0}}1 ||       −0,0728158454836767248605863758749 …   || [[OEIS:A082633|A082633]]
|-
| {{0}}2 ||       −0,00969036319287231848453038603521 …  || [[OEIS:A086279|A086279]]
|-
| {{0}}3 || {{0|−}}0,00205383442030334586616004654275 …  || [[OEIS:A086280|A086280]]
|-
| {{0}}4 || {{0|−}}0,00232537006546730005746817017752 …  || [[OEIS:A086281|A086281]]
|-
| {{0}}5 || {{0|−}}0,000793323817301062701753334877444 … || [[OEIS:A086282|A086282]]
|-
| {{0}}6 ||       −0,000238769345430199609872421841908 … || [[OEIS:A183141|A183141]]
|-
| {{0}}7 ||       −0,000527289567057751046074097505478 … || [[OEIS:A183167|A183167]]
|-
| {{0}}8 ||       −0,000352123353803039509602052165001 … || [[OEIS:A183206|A183206]]
|-
| {{0}}9 ||       −0,000034394774418088048177914623798 … || [[OEIS:A184853|A184853]]
|-
| 10     || {{0|−}}0,000205332814909064794683722289237 … || [[OEIS:A184854|A184854]]
|}

== Verallgemeinerung ==
Für die [[Hurwitzsche Zetafunktion]] ist von Bedeutung:
: <math>
\gamma_n(a) := \lim_{N\to \infty} \left(\sum_{k=1}^N\frac{\log(k+a)^n}{k+a} - \frac{\log(N+a)^{n+1}}{n+1}\right), \quad n = 0, 1, 2, \dotsc
</math>

== Literatur ==
* Rick Kreminski: ''[[Newton-Cotes]] integration for approximating Stieltjes (generalized Euler) constants.'' In: ''Mathematics of Computation.'' V.&nbsp;72, No.&nbsp;243, 2003, S.&nbsp;1379–1397.
* Charles Knessl, Mark W, Coffey: ''An effective asymptotic formula for the Stieltjes Constants.'' In: ''Mathematics of Computation.'' V.&nbsp;80, No.&nbsp;273, 2010, S.&nbsp;379–386.

== Weblinks ==
* {{MathWorld|StieltjesConstants|Stieltjes Constants}}
* [http://www.plouffe.fr/simon/constants/stieltjesgamma.txt Werte der Stieltjes-Konstanten von 0 bis 78, je 256 Dezimalstellen]

[[Kategorie:Folgen und Reihen]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]