Quelltext der Seite Stiefel-Whitney-Klassen

In der [[Mathematik]], genauer in der [[Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]] und in der [[Differentialgeometrie]] und [[Differentialtopologie|-topologie]], sind '''Stiefel-Whitney-Klassen''' ein spezieller Typ [[Charakteristische Klasse|charakteristischer Klassen]], die reellen [[Vektorbündel]]n zugeordnet werden. Sie sind nach [[Eduard Stiefel]] und [[Hassler Whitney]] benannt.

== Grundidee und Motivation ==

Stiefel-Whitney-Klassen sind charakteristische Klassen. Sie sind [[topologische Invariante]]n von Vektorbündeln über glatten [[Mannigfaltigkeit]]en. Zwei isomorphe Vektorbündel haben dieselben Stiefel-Whitney-Klassen. Die Stiefel-Whitney-Klassen liefern also eine Möglichkeit zu verifizieren, dass zwei Vektorbündel über einer glatten Mannigfaltigkeiten verschieden sind. Jedoch kann mit ihrer Hilfe nicht entschieden werden, ob zwei Vektorbündel isomorph sind, da nicht-isomorphe Vektorbündel dieselben Stiefel-Whitney-Klassen haben können.

In der Topologie, der Differentialgeometrie und der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] ist es oft wichtig, die maximale Anzahl
[[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängiger]] [[Schnitt (Faserbündel)|Schnitte]] eines Vektorbündels zu bestimmen. Die Stiefel-Whitney-Klassen liefern Hindernisse für die Existenz solcher Schnitte.

Im Falle des Tangentialbündels einer differenzierbaren [[Mannigfaltigkeit]] sind die erste und zweite Stiefel-Whitney-Klasse die (einzigen) Obstruktionen gegen [[Orientierbarkeit#Orientierung einer Mannigfaltigkeit|Orientierbarkeit]] und die Existenz einer [[Spinstruktur]].

== Axiomatischer Zugang ==

Die Stiefel-Whitney-Klassen sind Invarianten von reellen Vektorbündeln über einem topologischen Raum <math>X</math>. Jedem Vektorbündel <math>V</math> über <math>X</math> werden [[Kohomologie#Singuläre Kohomologie|Kohomologieklassen]]
:<math>w_i(V)\in H^i(X,\mathbb Z/2\mathbb Z)</math>
für <math>i=0,1,2,\ldots</math> zugeordnet, <math>w_i(V)</math> heißt die i-te Stiefel-Whitney-Klasse des Vektorbündels <math>V</math>.

Man kann die Stiefel-Whitney-Klassen durch die folgenden Axiome beschreiben, welche sie eindeutig festlegen.

''Axiom 1'': Wenn <math>f:Y\rightarrow X</math> eine stetige Abbildung und <math>V</math> ein Vektorbündel über <math>X</math> ist, dann ist <math>w_i(f^*V)=f^*w_i(V)</math> für <math>i=0,1,2,\ldots</math>. Dabei steht * für den [[Rücktransport]].<ref>Milnor & Stasheff 74; Kapitel 4, Axiom 2</ref>

''Axiom 2'': Wenn <math>V</math> und <math>W</math> Vektorbündel über demselben topologischen Raum <math>X</math> sind, dann ist <math>w_k(V\oplus W)=\sum_{i=0}^k w_i(V)\cup w_{k-i}(W)</math>.<ref>Milnor & Stasheff 74; Kapitel 4, Axiom 3</ref><ref>Lawson & Michelson 90, Gleichung (B.8)</ref> Dabei bedeutet <math>\cup</math> das [[Cup-Produkt]].

''Axiom 3'': Für jedes Vektorbündel <math>V</math> über einem [[wegzusammenhängend]]en Raum <math>X</math> ist <math>w_0(V)</math> der Erzeuger von <math>H^0(X,\mathbb Z/2\mathbb Z)\cong\mathbb Z/2\mathbb Z</math>. Für jedes n-dimensionale Vektorbündel <math>V</math> ist <math>w_i(V)=0</math> für alle <math>i>n</math>.
Für das „[[Möbiusband]]“, d.&nbsp;h. das nichttriviale 1-dimensionale Vektorbündel <math>V</math> über dem Kreis <math>S^1</math> ist <math>w_1(V)</math> der Erzeuger von <math>H^1(S^1,\mathbb Z/2\mathbb Z)\cong \mathbb Z/2\mathbb Z</math>.

== Stiefel-Whitney-Klassen als Charakteristische Klassen ==
{{Siehe auch|Charakteristische Klasse}}
Sei <math> BG </math> die [[Graßmann-Mannigfaltigkeit]] <math> G_n (\mathbb R^\infty) </math> und <math> \gamma^n\rightarrow BG</math> das tautologische Bündel.
Der Kohomologiering der Graßmann-Mannigfaltigkeit mit <math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math>-Koeffizienten lässt sich als Polynomring
: <math>H(BG;\mathbb Z/2\mathbb Z)= \mathbb Z/2\mathbb Z \left[w_1,w_2,w_3,\ldots, w_n\right]</math>
über <math>\mathbb Z / 2 \mathbb Z</math> mit Erzeugern <math>w_i\in H^i(BG;\mathbb Z/2\mathbb Z)</math> darstellen.<ref>Milnor & Stasheff 74, Theorem 7.1</ref>

Zu einem Vektorbündel <math> \pi \colon E \to X </math> mit Faser <math> V \simeq \mathbb R^n </math> lässt sich eine bis auf [[Homotopie]] eindeutige Abbildung <math> f\colon X \to BG </math> definieren, die durch eine Bündelabbildung <math> F\colon E \to \gamma^n</math> in das tautologische Bündel über <math> BG </math> überlagert wird.

Die ''i''-te Stiefel-Whitney-Klasse ergibt sich dann als
:<math>
w_i(E) := f^* (w_i) \in H^* (X;\mathbb Z/2\mathbb Z)\,.
</math>

== Schnitte ==

Wenn ein n-dimensionales Vektorbündel k linear unabhängige [[Vektorbündel#Schnitt|Schnitte]] besitzt, dann ist:<ref>Milnor & Stasheff 74; Kapitel 4, Proposition 4</ref>
: <math>w_{n-k+1}(V)=w_{n-k+2}(V)=\ldots=w_n(V)=0</math>.

Die Umkehrung gilt nicht. Sei zum Beispiel <math>S_g</math> die [[Fläche (Mathematik)#Klassifikation|geschlossene, orientierbare Fläche vom Geschlecht g]] und <math>TS_g</math> ihr Tangentialbündel. Dann verschwinden die Stiefel-Whitney-Klassen <math>w_1(TS_g)=w_2(TS_g)=0</math>, aber nur der Torus ist parallelisierbar, für <math>g\not=1</math> hat jedes [[Vektorfeld]] auf <math>S_g</math> eine [[Nullstelle]]. (Der Fall <math>g=0</math> ist der [[Satz vom Igel]], der allgemeine Fall folgt aus dem [[Satz von Poincaré-Hopf]].)

== w₁ und Orientierbarkeit ==

Sei <math>X</math> ein [[CW-Komplex]]. Man hat einen kanonischen Isomorphismus <math>H^1(X;\mathbb Z/2\mathbb Z)=Hom(\pi_1X,\mathbb Z/2\mathbb Z)</math>. Unter diesem Isomorphismus entspricht die ''1''-te Stiefel-Whitney-Klasse <math>w_1(E)\in H^1(X;\mathbb Z/2\mathbb Z)</math> eines Vektorbündels <math>\pi:E\rightarrow X</math> dem Homomorphismus <math>\pi_1X\rightarrow \mathbb Z/2\mathbb Z</math>, der die Homotopieklasse eines geschlossenen Weges genau dann auf <math>0</math> abbildet, wenn das Vektorbündel entlang dieses geschlossenen Weges orientierbar ist. (Andernfalls wird die Homotopieklasse des geschlossenen Weges auf <math>1</math> abgebildet. Man beachte, dass es über dem Kreis <math>S^1</math> nur zwei nicht-äquivalente <math>n</math>-dimensionale Vektorbündel gibt. Die Homotopieklasse des geschlossenen Weges wird also genau dann auf <math>1</math> abgebildet, wenn das zurückgezogene Vektorbündel über <math>S^1</math> nichttrivial ist.)

Insbesondere ist ein Vektorbündel <math>\pi:E\rightarrow X</math> orientierbar genau dann, wenn <math>w_1(E)=0\in H^1(X;\mathbb Z/2\mathbb Z)</math>.

== Eindimensionale Vektorbündel ==

Sei <math>X</math> ein [[CW-Komplex]]. Die <math>1</math>-dimensionalen Vektorbündel über <math>X</math> bilden eine Gruppe <math>Vect^1(X)</math> mit dem Tensorprodukt als Verknüpfung. Die ''1''-te Stiefel-Whitney-Klasse gibt einen Gruppen-Isomorphismus
: <math>w_1 \colon Vect^1(X)\rightarrow H^1(X;\mathbb Z/2\mathbb Z)</math>.

== Kobordismustheorie ==

Satz ([[Lew Semjonowitsch Pontrjagin|Pontrjagin]]): Wenn eine kompakte differenzierbare n-Mannigfaltigkeit <math>M</math> der [[Mannigfaltigkeit mit Rand|Rand]] einer kompakten differenzierbaren n+1-Mannigfaltigkeit ist, dann ist <math>w_i(TM)=0</math> für alle <math>i\ge 1</math>.

Satz ([[René Thom|Thom]]): Wenn für eine kompakte differenzierbare n-Mannigfaltigkeit <math>M</math> die Stiefel-Whitney-Klassen trivial sind, d.&nbsp;h. <math>w_i(TM)=0</math> für alle <math>i\ge 1</math>, dann ist <math>M</math> der Rand einer kompakten differenzierbaren n+1-Mannigfaltigkeit.

== Siehe auch ==
* [[Obstruktionstheorie]]

== Weblinks ==

* [[Nlab:Stiefel-Whitney+class|Stiefel-Whitney class]] auf [[nLab]] ([[Englische Sprache|englisch]])

== Literatur ==

* John W. Milnor, James D. Stasheff: Characteristic Classes. Princeton University Press u. a., Princeton NJ 1974, ISBN 0-691-08122-0 (Annals of Mathematics Studies 76).
* {{Literatur
   |Autor=[[H. Blaine Lawson]] und Marie-Louise Michelsohn
   |Titel=Spin Geometry
   |Verlag=[[Princeton University Press]]
   |Datum=1990
   |ISBN=0-691-08542-0
   |Sprache=en}}
* [https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf Allen Hatcher: Vector Bundles and K-Theory] (PDF; 1,5&nbsp;MB)
* [https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01199559 Eduard Stiefel: ''Richtungsfelder und Fernparallelismus in n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten'', Comm. Math. Helvetici, Bd. 8, 1935/6]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Differentialtopologie]]
[[Kategorie:Algebraische Topologie]]