Quelltext der Seite Sonnenstand

[[Datei:SonnStand49Nord.svg|mini|hochkant=1.2|Dieses [[Sonnenstandsdiagramm]] gibt<br />– aufgetragen ist die [[Höhenwinkel|Höhe]] über dem [[Azimut]] –<br />den Sonnenstand für Standorte mit einer [[geographische Breite|geographischer Breite]] von 49° Nord an,<br />[[Parameter (Mathematik)|parametrisiert]] mit [[Sonnenzeit|wahrer Ortszeit]] auf [[Stundenwinkel|Stundenlinien]] und Jahresdatum auf [[Deklination (Astronomie)|Deklinationslinien]].]]

Der '''Sonnenstand''' ist die Position der [[Sonne]] am [[Himmelskugel|Himmel]] über einem [[Standort|Beobachtungsort]] auf vorgegebener [[geographische Breite|geographischer Breite]] und wird mit dem [[Höhenwinkel]] und dem [[Azimutalwinkel]] im [[Astronomische Koordinatensysteme#Relative Koordinatensysteme|Astronomischen Horizontsystem]] angegeben. Er verändert sich über den Tag infolge der [[Erdrotation]] und über das Jahr infolge des [[Erdbahn|Erdumlaufs]] um die Sonne.

Im zur Darstellung benutzten [[Sonnenstandsdiagramm]] (i. d. R. ein [[Diagramm#Achsendiagramme|x-y-Achsendiagramm]]) ist die Höhe über dem Azimut aufgetragen. Diagramm-[[Parameter (Mathematik)|Parameter]] sind einige Werte der [[Sonnenzeit|wahren Ortszeit]] auf [[Stundenwinkel|Stundenlinien]] und des Jahresdatums auf [[Deklination (Astronomie)|Deklinationslinien]].

Die tägliche Veränderung des Sonnenstandes (Tageslauf der Sonne) wird durch drei markante Punkte charakterisiert: ''[[Sonnenaufgang]]'' (in Mitteleuropa zwischen Nordost und Südost), mittäglicher ''[[Kulmination (Astronomie)|Höchststand]]'' (im Süden) und ''[[Sonnenuntergang]]'' (zwischen Nordwest und Südwest). Morgens bzw. abends spricht man von ''tief stehender'' Sonne, um die Mittagszeit (insbesondere im Sommerhalbjahr) von ''hohem Sonnenstand''. Der Unterschied zwischen Winter und Sommer prägte die Begriffe ''niedrige'' beziehungsweise ''hohe Sonnenbahn''. Für Orte mit gleicher [[geographische Breite|geographischer Breite]] gilt bei Verwendung der örtlichen [[Sonnenzeit]] (wahre Ortszeit) als Tageszeitparameter das gleiche Sonnenstandsdiagramm.

Bei einer [[Sonnenuhr]] entsteht statt eines Achsendiagramms ein [[optische Abbildung|optisches Bild]] ([[darstellende Geometrie]]: [[gnomonische Projektion]]) des Sonnenstands. Sein Zifferblatt enthält für den Zweck als Zeitmessgerät ebenfalls Kurvenscharen für bestimmte [[äquatoriale Koordinaten]], auch in Form von Tagesstunden bzw. Jahresdaten.

== Beobachtung des Sonnenstandes ==
[[Datei:Zenit Sonne.jpg|mini|hochkant=0.7|Schattenwurf von Geländer und Laterne am 17. September [[Wahrer Mittag|mittags]] (Sonne im [[Zenit (Richtungsangabe)|Zenit]]) in [[Singapur]].]]

Der Verlauf des täglichen Sonnenstands und seiner jahreszeitlichen Veränderung gehört zu den frühesten Himmelsbeobachtungen der Menschheitsgeschichte. Er war Grundlage des astronomischen Weltbildes der Antike und ihrer Richtungs- und Zeitmessungen. Beobachtungsinstrumente waren u.&nbsp;a. Winkelmesser, der [[Gnomon]] (Schattenstab), das [[Astrolabium]] und die [[Armillarsphäre]].

=== Täglicher Sonnenstand (Tagbogen) ===
Der [[Tagbogen]] der Sonne ist der über dem [[Horizont]] verlaufende Teil ihres scheinbaren täglichen Umlaufs am Himmel. Der theoretische Tagbogen beginnt beim astronomischen [[Sichtbarkeit (Astronomie)|Aufgang]] und endet beim astronomischen Untergang. Der tatsächliche Sonnenauf- bzw. Untergang findet wegen der [[Lichtbrechung]] in der [[Erdatmosphäre]] etwa 3–4 Minuten früher beziehungsweise später statt. Die Höhe des [[Landschaftshorizont]]s (Berge, Gebäude) wirkt dem entgegen – um etwa 6–8 Minuten pro Grad.

Der Tagbogen beginnt zwischen den Polarkreisen am östlichen Horizont und endet am westlichen. Der [[Merkspruch]]
: ''Im Osten geht die Sonne auf, im Süden nimmt sie ihren Lauf, im Westen wird sie untergeh’n, im Norden ist sie nie zu seh’n.''
ist allerdings nur eingeschränkt gültig für die mittleren geografische Breiten zwischen [[Wendekreis (Breitenkreis)|Wendekreis]] und [[Polarkreis]] auf der [[Nordhalbkugel]] – für die auf der Südhalbkugel müssten Süden und Norden gegeneinander vertauscht sein. Für niedrigere geografische Breiten zwischen den Wendekreisen hängt es von der Jahreszeit ab, ob die Sonne mittags im Süden oder Norden kulminiert. In Mitteleuropa kann die Richtung der Auf- und Untergänge im Jahreslauf um bis zu 45° von exakt Ost bzw. West abweichen.

Der Moment des [[Meridiandurchgang]]s der Sonne (annähernd ihre [[Kulmination (Astronomie)|Kulmination]]) ist Mittag (genauer: [[Sonnenzeit|''wahrer Mittag'']]).

=== Saisonaler Sonnenstand (Änderung von Höhe und Länge des Tagbogens) ===
Der Tagbogen ist im Sommer höher und länger als im Winter. Seine Mittags-[[Höhenwinkel|Höhe]] bei zum Beispiel ±50° geografischer Breite beträgt zur Sommer[[sonnenwende]] 63,44° und zur Wintersonnenwende 16,56°. Rechnung: Winkel zwischen Pol und Zenit des Standorts (90° minus geogr. Breite) ± Schiefe der Ekliptik; im Beispiel etwa im Jahr 2000:
90° – 50° ± 23,44° gleich 63,44° und 16,56°.

An den [[Wendekreis (Breitenkreis)|Wendekreisen]] steht die Sonne mittags einmal pro Jahr im [[Zenit (Richtungsangabe)|Zenit]] (90° Höhe), zwischen den Wendekreisen und am Äquator hingegen zweimal. Jenseits der Polarkreise tritt mit [[Mitternachtssonne]] und [[Polarnacht]] in alljährlichem Rhythmus der Effekt auf, dass die Sonne ein paar Wochen lang weder auf- noch untergeht. Sonnenstandsdiagramme für solche Orte erstrecken sich über 24 Stunden oder 360° Azimut.

Das Azimut α für den Ort des Sonnenauf- beziehungsweise -untergangs variiert übers Jahr relativ zum Ost- beziehungsweise Westpunkt, zum Beispiel in 50° Breite um ± 38,25° nach Nord beziehungsweise nach Süd. Die [[Stundenwinkel]] für den Moment von Sonnenauf- und -untergang variieren an Orten dieser Breite mit ±31,13° um λ=−90° (Aufgang) beziehungsweise um λ=+90° (Untergang). Entsprechend unterscheiden sich die extremen Tageslängen (16&nbsp;h&nbsp;9&nbsp;min bzw. 7&nbsp;h&nbsp;51&nbsp;min) um 4·31,13°·4&nbsp;min/° = 8&nbsp;h&nbsp;18&nbsp;min.

== Auswirkungen des Sonnenstands ==
=== Natur und Mensch ===
Der Sonnenstand und seine Veränderlichkeit beeinflussen bzw. verursachen unter anderem
* die Intensität der [[Sonnenstrahlung]]
* die [[Klimazone]]n mit ihren Feuchtigkeits- und [[Bewölkung]]sverhältnissen, die wiederum die [[Pflanzen|Vegetation]] mitbestimmen
* die dem [[Zenitstand]] der Sonne folgende Verlagerung der [[Innertropische Konvergenzzone|Innertropischen Konvergenzzone]] und somit der [[Zenitalniederschlag|Zenitalregen]]
* die Entstehung lokaler [[Wind]]e, beispielsweise [[Aufwind]]e und die [[Wolke]]nbildung
* die Verlagerung der Windsysteme der Erde mit entsprechendem Auftreten regionaler Winde (wie dem [[Monsun]]) und jahreszeitlich veränderlichen [[Meeresströmung]]en
* (zusammen mit Geländeneigung und Abschattung durch den Horizont) die Entstehung von [[Siedlung]]sstrukturen, insbesondere im [[Gebirge]]
* den Bedarf an [[Gebäudeheizung|Heizung]] beziehungsweise an Kühlung
* (im Zusammenwirken mit der Atmosphäre – Luft, Aerosol, Niederschlag) Farbe, UV-Intensität, Helligkeit und Beleuchtungswirkung von direktem und indirektem Sonnenlicht (auch die [[Himmelsblau|Himmelsfarben]] – auch bei Sonnenstand unter dem Horizont)
* geometrische Lichteffekte wie Polarisation durch Streuung an Luftmolekülen, [[Regenbogen]], Glitzern von Schnee
* Ausbreitungsbedingungen für Radio-[[Kurzwelle]]n durch Änderungen in der [[Ionosphäre]]
* Energiegewinnung in – eventuell nachgeführter – Photovoltaik und Solarthermie

=== Menschliche Kultur ===
Die Messung des Sonnenstandes durch [[Sonnenuhr]]en ermöglicht den Menschen seit Jahrtausenden die Bestimmung der [[Tageszeit]]. Die Einteilung in Jahreszeiten korrespondiert mit der Tagesbogen-Höhe der Sonne. Die erste Bestimmung des Erddurchmessers durch [[Erdmessung#Griechische Antike und Araber|Eratosthenes]] erfolgte durch gleichzeitige Messung des Sonnenstandes an zwei verschiedenen Punkten auf der Erdoberfläche. Die Messung des Sonnenstandes mit Hilfe einfacher Messgeräte war auch eine frühe Methode der [[Navigation]].

Der tägliche „Weg der Sonne über den Himmel“ spielt bei verschiedenen [[Mythologie]]n eine große Rolle, etwa bei [[Helios]]’ „Sonnenwagen“ der griechischen Antike und in der Deutung von Sonnenauf- und [[Sonnenuntergang|Untergang]]. Bewohner der Nordhemisphäre sind bei Aufenthalten in der [[Südhemisphäre]] oft erstaunt über die „Umkehrung“ der täglichen scheinbaren Sonnenbewegung „nach links“.

Die in den [[gemäßigte Zone|gemäßigten Zonen]] [[Jahreszeit]]en-prägenden Fixpunkte der Sonnenbahn wie die längste Nacht ([[Winteranfang]]) bzw. der längste Tag des Jahres ([[Sommeranfang]]) sowie die [[Tag-und-Nacht-Gleiche]]n zum kalendarischen Beginn des Frühjahrs und Herbsts finden vielfältigen kulturellen und religiösen Niederschlag wie z. B. „[[Johanni]]“, [[Sonnwendfeier]]n, [[Weihnachten]] usw.

== Stundenwinkel und Analemma ==
[[Datei:Analemma pattern in the sky.jpg|mini|[[Analemma]]-Figur: Sonnenstand über ein Jahr jeweils zur gleichen [[Sonnenzeit|Mittleren Ortszeit]]]]

Bis zum Ende des [[Mittelalter]]s diente der Stundenwinkel der Sonne als Maß für die Tageszeit. Er gibt die Stunden vor/nach dem örtlichen Mittag an, weshalb er diesen Namen trägt.

Weil die (scheinbare) Bewegung der Sonne im Lauf der Jahreszeiten bis zu 15 Minuten ungleichmäßig ist, wurde zur Korrektur die sogenannte [[Zeitgleichung]] eingeführt. Sie gibt an, um wie viel die [[wahre Sonnenzeit]] zu korrigieren ist, um zur gleichmäßigen [[Mittlere Sonnenzeit|mittleren Sonnenzeit]]<ref>Dazu betrachtet man eine fiktive, gleichmäßig laufende Sonne, die sogenannte ''mittlere Sonne''. Sie entspricht einer kreisförmigen und nicht geneigten [[Erdbahn]].</ref> zu kommen. So ist z.&nbsp;B. der Moment des [[Meridiandurchgang]]s der Sonne (annähernd ihre [[Kulmination (Astronomie)|Kulmination]]) der ''wahre Mittag'', dem der „künstliche“ ''mittlere Mittag'' gegenübersteht. Von der Zonenzeit (12 Uhr [[Mitteleuropäische Zeit|MEZ]]) weicht der Mittag zusätzlich um einen konstanten Wert ab, der sich aus dem geografischen [[Geografische Länge|Längenunterschied]] zum Zonenmeridian (für MEZ 15° östl. Greenwich) ergibt.

In Sonnenstandsdiagrammen wird die Zeitskala verzerrt, um bei vorgegebener mittlerer Sonnenzeit die Position der wahren Sonne ablesen zu können. Weil die Korrektur zu jeder Jahreszeit anders ist, werden die wahren Stundenlinien nicht nur verschoben, sondern durch die als [[Analemma]] bezeichneten typischen Doppelschlingen ersetzt.

Umgekehrt lässt sich aus dem Stand der Sonne die Tageszeit ablesen. Die Analemmata geben die mittlere Ortszeit oder bei Verschiebung auf den richtigen [[Geografische Länge|Längengrad]] die [[Zonenzeit]] (in Mitteleuropa [[Mitteleuropäische Zeit|MEZ]]) an. Beim auf eine Kugeloberfläche [[:Datei:SonnenstandsdiagrammAufKugel.png|gezeichneten]] Sonnenstandsdiagramm kommen die für den Sonnenstand primären Kugelkoordinaten Stunden und Deklinationswinkel zur Anwendung. Dabei wird die Situation an der Himmelskugel realistisch dargestellt. In der ''[[Skaphe]]'', einer antiken Sonnenuhr, ist eine Hohlkugel die Projektionsfläche.

Mit dem Sonnenstandsdiagramm kann man auch die Besonnung eines Gebäudes oder die nutzbare [[Solarenergie]] eines Ortes berechnen. Während aber die theoretische [[Sonnenschein#Sonnenscheindauer|Sonnenscheindauer]] jedes Monats nur von der [[Geografische Breite|geografischen Breite]] abhängt, unterliegt die tatsächliche Sonnenscheindauer zusätzlich [[Meteorologie|meteorologischen]] Einflüssen (Bewölkung, Dunst) und der Höhe des [[Landschaftshorizont]]s.

== Astronomische Zusammenhänge ==
=== Darstellung in Jahres-Diagrammen ===
[[Sonnenstandsdiagramm#Sonnenstandsdiagramm mit Stundenlinien|Einfache Sonnenstandsdiagramme]] sind mit der ''[[Sonnenzeit|wahren Ortszeit]]'' parametrisiert. Die Korrektur auf ''mittlerer Ortszeit'' wird unterlassen. Der Deklinationswinkel wird für die Dauer des Sonnentages als konstant angenommen. Da sich die Sonnenbahnen von Jahr zu Jahr fast nicht ändern, kann man sie während vieler Jahre benutzen. Für die praktische Anwendung ist die Parametrisierung mit mittlerer Orts- beziehungsweise [[Zonenzeit]] vorteilhaft.

=== Genauere Ermittlung des Sonnenstandes für einen Zeitpunkt ===
Der Einfluss langsamer Veränderungen der scheinbaren Sonnenbahn auf den Sonnenstand in einem Zeitpunkt wird wie folgt berücksichtigt. Dabei wird grundsätzlich gleich vorgegangen, wie bei der genaueren Ermittlung der [[Zeitgleichung]]. Eine Näherung an die Periodizität mit dem Jahr entfällt. Man ermittelt jeweils den Sonnenstand für einen Punkt auf einer beliebig langen Achse der gleichmäßig vergehenden Zeit.

Von den langfristigen Einflüssen wird im Unterschied zu üblichen astronomischen Betrachtungen (z.&nbsp;B. nach der Planetentheorie [[VSOP87]]) nur die Änderung des Sonnenlaufs in Form der Verschiebung des Frühlingspunktes gegen das [[Perigäum]] der [[Erdbahn]]-Ellipse berücksichtigt.

==== Ekliptikalkoordinate der Sonne ====
Als Zeitvariable <math>n</math> wird die Anzahl der Tage seit dem [[Standardäquinoktium]] [[J2000.0]] (1. Januar 2000, 12 Uhr [[Terrestrische Zeit|TT]] ≈ 12 Uhr UT) inklusive Tagesbruchteil in [[Universal Time|UT]] verwendet.

Ist <math>JD</math> die [[Julianisches Datum|Julianische Tageszahl]] des gewünschten Zeitpunkts, so gilt
: <math>n  =  JD  -  2451545{,}0</math>.

Die Position der Sonne auf der [[Ekliptik]] wird vorerst ohne Berücksichtigung der durch die Erdbahnelliptizität verursachten [[Bahngeschwindigkeit (Astronomie)|Geschwindigkeitsschwankungen]] ermittelt. Man setzt eine mittlere Geschwindigkeit der Sonne an (360° in ca. 365,2422 Tagen entsprechend einem [[tropisches Jahr|tropischen Jahr]]) und erhält die ''mittlere [[ekliptikale Länge]] <math>L</math> der Sonne'':
: <math>L  =  280{,}460^\circ + 0{,}9856474^\circ \cdot n</math>.

Um den Einfluss der Bahnelliptizität nachträglich zu berücksichtigen und die ''wahre ekliptikale Länge'' <math>\Lambda</math> zu erhalten, ist hierzu als Korrektur die so genannte ''[[Mittelpunktsgleichung]]'' zu addieren. Diese Korrektur hängt vom Winkel zwischen Sonne und [[Apsis (Astronomie)|Perihel]] ab, der so genannten ''[[Anomalie (Astronomie)|Anomalie]]''. Die Mittelpunktsgleichung erwartet als Eingabewert die (fiktive) zeitlich gleichförmig anwachsende ''[[mittlere Anomalie]]'' <math>g</math>. Diese wächst um 360° in einem [[Anomalistisches Jahr|anomalistischen Jahr]] zu etwa 365,2596 Tagen:

:<math>g  =  357{,}528^\circ + 0{,}9856003^\circ \cdot n</math>.

Die Mittelpunktsgleichung ist eine [[periodische Funktion]] der mittleren Anomalie und kann daher in eine [[Fourierreihe]] zerlegt werden. Bei kleinen [[Exzentrizität (Mathematik)|Bahnexzentrizitäten]] kann die Reihe nach wenigen Termen abgebrochen werden. Berücksichtigt man in der ([[Erdbahn|numerischen]]) [[Exzentrizität (Mathematik)|Exzentrizität]] <math>e</math> nur lineare, quadratische und kubische Terme,<ref name="Mittelpunktsgleichung">[[b:Astronomische Berechnungen für Amateure/ Himmelsmechanik/ Sonne|zur Reihenentwicklung der Mittelpunktsgleichung]]</ref> so lautet die Mittelpunktsgleichung:

: <math>\Lambda - L  =  \left( 2 e \sin(g) + \frac{5}{4} e^2 \sin(2g) + \frac{13}{12} e^3 \sin(3g) \right)  \cdot  \frac{180^\circ}{\pi}</math>.

Mit <math>e \approx 0{,}0167</math> (genauer Wert am 12. Juli 2020; Bahnstörungen [[Erdbahn]]) und Umstellung ergibt sich daraus für die ekliptikale Länge <math>\Lambda</math> der Sonne:
: <math>\Lambda  =  L + 1{,}91368^\circ \cdot \sin(g) + 0{,}01997^\circ \cdot \sin(2g) + 0{,}00029^\circ \cdot \sin(3g)</math>.

Hinweise:

* Um die Rechenzeit zu reduzieren, kann der kubische Term auch entfallen. Die dadurch verursachte Abweichung beträgt lediglich ≈ 0,0003°.
* Die Rechnung wird übersichtlicher, wenn man <math>L</math> und <math>g</math> durch Addition oder Subtraktion geeigneter Vielfacher von 360° in den Bereich zwischen 0° und 360° gebracht hat.

Alternativ zur Benutzung der Mittelpunktsgleichung kann die ekliptikale Länge auch mit Hilfe der [[Keplergleichung]] aus der mittleren Länge ermittelt werden, was jedoch ein [[Iteration|iteratives Lösungsverfahren]] erfordert.

==== Äquatorialkoordinaten der Sonne ====
Für die so ermittelte, entlang der [[Ekliptik]] gezählte, ekliptikale Länge <math>\Lambda</math> muss nun die zugehörige entlang des [[Äquator|Himmelsäquators]] gezählte [[Rektaszension]] <math>\alpha</math> bestimmt werden. Mit der Schiefe der Ekliptik <math>\varepsilon</math>

: <math>\varepsilon  =  23{,}439^\circ - 0{,}000000356^\circ \cdot n </math>

ergibt sich die Rektaszension <math>\alpha</math> als.
: <math>
\alpha  =\begin{cases}
  \arctan \left(\cos(\varepsilon) \tan(\Lambda)\right),  & \text{wenn } \cos(\Lambda) > 0,\\
  \arctan \left(\cos(\varepsilon) \tan(\Lambda)\right) + 180^\circ, & \text{wenn } \cos(\Lambda) < 0.
\end{cases}
</math>

Durch die Fallunterscheidung ist sichergestellt, dass <math>\alpha</math> im gleichen Quadranten liegt wie <math>\Lambda</math> (s. [[Positionswinkel]]). Für die Programmierung von Computern enthalten manche Programmiersprachen oder -umgebungen zu diesem Zweck eine Funktion, wie z.&nbsp;B. <math>\arctan2(\cos(\varepsilon)\sin(\Lambda),\cos(\Lambda))</math>.

Alternativ zur hier benutzten exakten Formel kann auch eine Reihenentwicklung zur Ermittlung von <math>\alpha</math> benutzt werden, wie es auch bei der Zeitgleichung möglich ist.

Die senkrecht zum Himmelsäquator gezählte [[Deklination (Astronomie)|Deklination]] <math>\delta</math> ergibt sich als
: <math>\delta  =  \arcsin(\sin(\varepsilon) \sin(\Lambda))</math>.

==== Horizontalkoordinaten der Sonne ====
Ziel der Ermittlung des Sonnenstandes für einen bestimmten Zeitpunkt sind Azimut <math>a</math> (Himmelsrichtung) und Höhe <math>h</math> der Sonne. Zunächst ist aus der Rektaszension der Stundenwinkel der Sonne zu ermitteln.

Dazu bestimme man die [[Julianisches Datum|Julianische Tageszahl]] <math>JD_0</math> für 0<sup>h</sup> [[Universal Time|UT]] des betrachteten Datums (eine auf ,5 endende Zahl) und ermittle
:<math>T_0 \, = \, \frac{JD_0 - 2451545{,}0}{36525} </math>
:in [[Julianisches Jahrhundert|julianischen Jahrhunderten]] (zu je 36525 Tagen) ab J2000.0
und damit die mittlere [[Sternzeit]] <math>\theta^h_G</math> in [[Royal Greenwich Observatory|Greenwich]] für den gesuchten Zeitpunkt <math>T</math> (Weltzeit UT, in Stunden):
:<math>\theta^h_G \, = \, 6{,}697375 + 2400{,}05134 \cdot T_0 + 1{,}002738 \cdot T</math>
:in Stunden und Bruchteilen einer Stunde (sprich 17,75 für 17:45 Uhr).
Der erste [[Term]] ist die Sternzeit von Greenwich zum Zeitpunkt 1.1.2000, 0 UT, der zweite beschreibt das tägliche Vorrücken der Sternzeit gegenüber der mittleren Sonnenzeit um knapp vier Minuten, der dritte addiert den in Sternzeit gemessenen [[Tagesbruchteil]]. Der Faktor 1.002738 entspricht dabei der Zunahme der Sternzeit <math>\theta^h_G</math> innerhalb eines Tages, da <math>T_0</math> konstant bleibt. 

Alternativ kann die Sternzeit direkt mit der eingangs bestimmten Zeitvariablen <math>n</math> berechnet werden. Dazu muss lediglich die Sternzeit in Greenwich am 1.1.2000, 12 UT, d.&nbsp;h. dem Beginn der Epoche J2000.0 entsprechend <math>n = 0</math> bestimmt werden. Damit lautet die Formel zur Berechnung der mittleren Sternzeit <math>\theta^h_G</math> in Greenwich für den Zeitpunkt <math>n</math> (Tage seit Beginn der Epoche J2000.0): 
:<math>\theta^h_G \, = \, 18{,}697375 + 0{,}0657098244 \cdot n + 24 \cdot frac(n)</math>
:in Stunden und Bruchteilen einer Stunde.
Der erste Term entspricht der Sternzeit von Greenwich zu Beginn der Epoche J2000.0, der zweite beschreibt das Vorrücken der Sternzeit seit den <math>n</math> Tagen und der dritte berücksichtigt die Tageszeit, wobei die Funktion <math>frac(n)</math> den Dezimalbruchteil der rationalen Tageszahl <math>n</math> liefert. Da der Tagesbruchteil in den Nachkommastellen von <math>n</math> enthalten und das Vorrücken der Sternzeit innerhalb des Tages somit beim zweiten Term bereits berücksichtigt ist, beträgt der Faktor des dritten Terms exakt 24 [Stunden/Tag].

Die Sternzeit ist der [[Stundenwinkel]] des [[Frühlingspunkt]]es, ausgedrückt im [[Zeitmaß (Winkel)|Zeitmaß]] (<math>1^\mathrm{h} \hat= 15^\circ </math>). Ganzzahlige Vielfache von 24<sup>h</sup> können gegebenenfalls vom Ergebnis abgezogen werden. Multiplikation mit dem Umrechnungsfaktor 15&nbsp;°/h liefert den Greenwich-Stundenwinkel des Frühlingspunkts im Gradmaß:
<!-- :<math>\theta_G = \theta^h_G \cdot 15\; \mathrm{\, {}^\circ / h}</math> -->
:<math>\theta_G = \theta^h_G \cdot 15</math>
Für einen Ort auf der [[Geografische Länge|geografischen Länge]] <math>\lambda</math> (nach [[Osten]] positiv gezählt) ist der Stundenwinkel des Frühlingspunkts
:<math>\theta \, = \, \theta_G + \lambda</math>,
und Subtraktion der [[Rektaszension]] der Sonne <math>\alpha</math> liefert den Stundenwinkel <math>\tau</math> der Sonne für jenen Ort:
:<math>\tau \, = \, \theta - \alpha</math>.

Der Stundenwinkel ist festgelegt mit 0° zum Zeitpunkt des Sonnenhöchststandes (12:00 Uhr mittags wahre Ortszeit), und entsprechend −90° für 6:00 Uhr und +90° für 18:00 Uhr wahre Ortszeit. Nur um 12:00 mittags entspricht der Stundenwinkel dem Azimut, zu allen anderen Zeiten muss der Azimut mittels folgender Formel berechnet werden.

Azimut <math>a</math> und Höhenwinkel <math>h</math> ergeben mit der geografischen Breite <math>\varphi</math> zu

:<math>a  = \arctan\left( \frac{\sin(\tau)}{\cos(\tau) \sin(\varphi) - \tan(\delta) \cos(\varphi)} \right)</math>
beziehungsweise zu
:<math>h  =  \arcsin(\cos(\delta) \cos(\tau) \cos(\varphi) + \sin(\delta) \sin(\varphi))</math>.

Hinweis: Um den Azimutwinkel in den richtigen [[Quadrant (Mathematik)|Quadranten]] zu bringen, sind falls der Nenner im Argument des Arcustangens einen Wert kleiner Null hat und der Zähler sin(τ) ebenfalls kleiner Null ist (also morgens), 180° vom Ergebnis abzuziehen. Gegen Abend, d. h. bei positivem Zähler sind 180° zu addieren. 

Das ermittelte Azimut wird von [[Süden]] aus gegen Westen positiv gezählt. Soll es von Norden aus gezählt werden, sind 180° zum Ergebnis zu addieren.

==== Korrektur der Höhe wegen Refraktion ====
Schließlich ist bei Bedarf noch die [[Astronomische Refraktion|Refraktion]] ([[Lichtbrechung]] in der [[Erdatmosphäre|Atmosphäre]]) zu berücksichtigen, welche die Sonnenscheibe etwas höher erscheinen lässt als sie tatsächlich steht. Die mittlere Refraktion (in Bogenminuten) für ein Objekt, das sich auf der Höhe h (in Grad) befindet, lässt sich näherungsweise berechnen durch

:<math>R  =  \frac{1{,}2}{\tan\left( h + \frac{10{,}3}{h + 5{,}11} \right)}</math>.

Die refraktionsbehaftete Höhe in Grad ist dann

:<math>h_R  =  h + R/60</math>.

Es ist zu beachten, dass die Refraktion vom detaillierten Zustand der Atmosphäre abhängt. Die angegebene Formel nimmt einen [[Luftdruck]] von 1010 mbar und eine [[Temperatur]] von 10&nbsp;°C an. Hiervon abweichende Bedingungen können durch geeignete Korrekturen berücksichtigt werden, aber auch dann beschreibt die Formel nur eine mittlere Refraktion, während die tatsächlichen Werte besonders in unmittelbarer Horizontnähe je nach aktueller Temperaturschichtung unter Umständen merklich von diesem Mittel abweichen können.

==== Beispiel ====
Es ist der Sonnenstand für den 6. August 2006 um 8 Uhr MESZ (<math>T</math> = 6 Uhr UT) in München (<math>\varphi</math> = 48,1° N, <math>\lambda</math> = 11,6° O) zu bestimmen. Es ergeben sich
{| class="wikitable"
|-
|<math>JD \, = 2453953{,}75</math>
|<math>n \, = 2408{,}75 \, \mathrm{d}</math>
|<math>L \, = 2654{,}638^\circ \, \stackrel{\wedge}= \, 134{,}638^\circ</math>
|-
|<math>g \, = 2731{,}593^\circ \, \stackrel{\wedge}= \, 211{,}593^\circ</math>
|<math>\Lambda \, = 133{,}653^\circ</math>
|<math>\varepsilon \, = 23{,}438^\circ</math>
|-
|<math>\alpha \, = -43{,}881^\circ + 180^\circ = 136{,}119^\circ</math>
|<math>\delta \, = 16{,}726^\circ</math>
|<math>JD_0 \, = 2453953{,}5</math>
|-
|<math>T_0 \, = 0{,}06594113621</math>
|<math>\theta^h_G \, = 170{,}9759^\mathrm{h} \, \stackrel{\wedge}= \, 2{,}9759^\mathrm{h}</math>
|<math>\theta \, = 56{,}239^\circ</math>
|-
|<math>a \, = 85{,}938^\circ - 180^\circ =  -94{,}062^\circ</math>
|<math>h \, = 19{,}062^\circ</math>
|<math>h_R \, = 19{,}119^\circ</math>
|} <!--  \, vor = erzwingt einheitliches Rendern der Formeln -->

Ein [[Astronomieprogramm]] (SkyMap 2.2) liefert zum Vergleich <math>\alpha = 136{,}123^\circ</math>, <math>\delta = 16{,}727^\circ</math>, <math>a = -94{,}065^\circ</math> und <math>h_R = 19{,}106^\circ</math>.

Hinweis: Die Rechnungen sind mit einer ausreichenden Stellenzahl zu führen (z.&nbsp;B. [[Doppelte Genauigkeit|doppelter Genauigkeit]], bei achtstelligen Taschenrechnern ist Vorsicht geboten); insbesondere für <math>T_0</math> müssen ausreichend viele Stellen berücksichtigt werden. Es ist zu beachten, dass manche Rechenprogramme und Programmiersprachen Winkelangaben im [[Radiant (Einheit)|Bogenmaß]] und nicht in [[Grad (Winkel)|Grad]] erwarten; die Winkel sind dann entsprechend umzurechnen.

==== Genauigkeitsvergleich ====
[[Datei:LowPrecAstAlmError.png|mini|400px|Die Abweichungen zwischen Ergebnissen aus der Literatur ([https://ssd.jpl.nasa.gov/?horizons JPL-Ephemeride DE405]) und denen einer der hier gezeigten ähnlichen vereinfachten Methode ([[Astronomical Almanac]]) bleiben im Zeitraum von 1950 bis 2050 fast immer unter 0,01°.]]

Wie die nebenstehende Grafik zeigt, erreichen die hier ermittelten Werte für den Sonnenstand im Zeitraum von 1950 bis 2050 eine Genauigkeit von etwa 0,01°. Am auffälligsten ist die Abweichung bei der ekliptikalen Länge mit einer regelmäßigen [[Periode (Physik)|Periode]] von 18,6 Jahren und einer [[Amplitude]] von 0,0047°; es handelt sich um die in der vorliegenden Ermittlung nicht berücksichtigte [[Nutation (Astronomie)|Nutation in Länge]]. Zu den Rändern der Grafik hin wächst die Schwankungsbreite der Restfehler deutlich an. Dies wird durch die nicht berücksichtigte Änderung der Exzentrizität der Erdbahn verursacht, die bei der Ermittlung der [[Koeffizient]]en der Mittelpunktsgleichung als konstant mit dem Wert für das Jahr 2000 angesetzt worden war. Dieser Fehler hat das anomalistische Jahr als Periode; seine Amplitude wächst in 100 Jahren um 0,0048°. Des Weiteren sind jene Bahnstörungen vernachlässigt, die sich unmittelbar auf die ekliptikale Länge auswirken; vor allem die Störungen durch Jupiter ([[Term]]e mit Amplituden 0,0019°, 0,0014° …), Mond (Terme mit Amplituden 0,0017° …), Mars (Terme mit Amplituden 0,0014°, 0,0011° …) und Venus (Terme mit Amplituden 0,0014°, 0,0011° …). Dass die ekliptikale Breite stillschweigend konstant auf Null gesetzt wurde, erzeugt keinen merklichen Fehler. Die ermittelten Koordinaten sowie die Vergleichsdaten gelten für einen [[Geozentrum|geozentrischen]] Beobachter; für einen realen Beobachter auf der [[Erdoberfläche]] kann die beobachtete Sonnenposition um bis zu 0,0024° (die [[Sonnenparallaxe]]) davon abweichen.

Werden genauere Daten benötigt, können diese mit aufwendigeren Verfahren ermittelt oder von einem der zahlreichen Ephemeridenserver im Web bezogen werden (siehe Weblinks).

== Erläuterungen ==
<references />

== Weblinks ==
{{Commonscat|Sun charts|Sonnenstandsdiagramme}}
* [https://www.sunearthtools.com/dp/tools/pos_sun.php?lang=de Berechnung von Sonnenposition und Dämmerung]
* [https://www.datum-und-uhrzeit.de/ Aktuelle Sonnenkoordinaten, Stundenwinkel und Auf-/Untergänge für beliebigen Standort]
* [https://ssd.jpl.nasa.gov/?horizons Ephemeridenserver] der NASA

Bibliotheken:
* [https://pysolar.org/ Pysolar: staring directly at the sun since 2007]
* [https://sourceforge.net/projects/pynovas/ Python & NOVAS Astrometry Software]
* [https://libnova.sourceforge.net/ Libnova]

== Quellen ==
* Berechnung von <math>\alpha</math> und <math>\delta</math>: (Astronomical Almanac 2006), S. C24
* Berechnung von <math>A</math> und <math>h</math>: (Jean Meeus 2000), Kap. 12, 13. Die hier wiedergegebene Sternzeitformel wurde wegen der geringeren Genauigkeitsansprüche gegenüber der originalen Formel vereinfacht. Der Fehler bleibt im Zeitraum von 1950 bis 2050 kleiner als 0,0001°, wächst außerhalb dieser Grenzen wegen Vernachlässigung eines quadratischen Terms aber quadratisch an. Für die vollständige Formel siehe den Artikel [[Sternzeit]].
* Refraktion: (Jean Meeus 2000), Kap. 16
* Fehlerdiskussion der vereinfachten Sonnenstandsberechnung: Nutation (Jean Meeus 2000) Kap. 22; Störungen (T.C. Van Flandern, K.F. Pulkkinen 1979)
* Auf- und Untergang: Definition, 16'+34': (Meeus 2000), Kap. 15
* ''The Astronomical Almanac For The Year 2006'', The Stationery Office, London 2004, ISBN 0-11-887333-4
* [[Jean Meeus]]: ''Astronomical Algorithms''. 2nd ed., 2nd printing. Willmann-Bell, Richmond 2000, ISBN 0-943396-61-1
* T.C. Van Flandern, K.F. Pulkkinen: ''Low-Precision Formulae for Planetary Positions''. In: ''ApJ'', 1979, Supp. 41, S. 391–411, {{bibcode|1979ApJS...41..391V}}

[[Kategorie:Sonne]]
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