Quelltext der Seite Slater-Determinante

{{QS-Physik|Unerledigt=2015}}
{{Dieser Artikel|befasst sich mit der Konstruktion einer Mehrteilchen-[[Wellenfunktion]]. Für die exponentielle Form von [[Atomorbital]]en siehe [[Slater Type Orbitals]].}}
Die '''Slater-Determinante''' (nach [[John C. Slater]]) ist eine Methode der Quantenmechanik, um [[Antisymmetrische Funktion|antisymmetrische]] Wellenfunktionen, die nach dem Spin-Statistik-Theorem zu [[Fermion]]en (z.&nbsp;B. Elektronen) gehören, darzustellen und zu konstruieren. Dabei wird die Eigenschaft der [[Determinante]] einer [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] genutzt, dass beim Vertauschen von Zeilen oder Spalten ebenfalls das Vorzeichen wechselt. Die entstandene Wellenfunktion wird oft ebenfalls als ''Slater-Determinante'' bezeichnet und dient zum Beispiel als Grundlage für die [[Hartree-Fock-Methode]].<ref name=Szabo>{{Literatur |Autor=Attila Szabo, Neil S. Ostlund |Titel=Modern Quantum Chemistry: Introduction to Advanced Electronic Structure Theory |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Auflage= |Verlag=Courier Corporation |Ort= |Datum=1996-07-02 |ISBN=9780486691862 |Seiten=50}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Peter W. Atkins |Titel=Quanten: Begriffe und Konzepte für Chemiker |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Auflage= |Verlag=VCH |Ort= |Datum= |ISBN=9780486691862 |Seiten=}}</ref>

Die Konstruktion verwendet Einteilchen-Wellenfunktionen (sogenannte [[Atomorbital|Orbitale]]), die jeweils in eine Spalte der zugrunde liegenden Matrix eingetragen werden. Als Argument der Funktionen werden dann die Koordinaten der Fermionen jeweils zeilenweise eingetragen:

<math>\Psi(x_1, \dots, x_N) =
\begin{vmatrix} \phi_1(x_1) & \phi_2(x_1) & \dots  & \phi_N(x_1) \\
                \phi_1(x_2) & \phi_2(x_2) & \dots  & \phi_N(x_2) \\
                \vdots    & \vdots    & \ddots & \vdots    \\
                \phi_1(x_N) & \phi_2(x_N) & \dots  & \phi_N(x_N)
\end{vmatrix}</math> .

Die beim Lösen der Determinante entstehende Mehrteilchen-Wellenfunktion ist dann eine [[Summe]] aus [[Produkt (Mathematik)|Produkten]] von Einteilchen-Wellenfunktionen und hat die für das Pauli-Prinzip nötige Eigenschaft der [[Antisymmetrische Funktion|Antisymmetrie]] gegenüber der Vertauschung zweier [[Ununterscheidbare Teilchen|ununterscheidbarer]] Fermionen.

Nicht wechselwirkende Systeme von Fermionen können exakt durch eine Slater-Determinante beschrieben werden. Für wechselwirkende Systeme existiert in der Regel keine exakte Darstellung durch eine Slater-Determinante, sie können jedoch aufgrund der Vollständigkeit nach Slater-Determinanten entwickelt werden.<ref>{{Literatur |Autor=Albert Messiah |Titel=Quantum Mechanics |Band=Volume II |Verlag=North-Holland Publishing Company |Ort=Amsterdam |Datum=1962}}</ref>

== Motivation - Hartree-Produkt ==
<!--Für ein System aus ''N''&nbsp;unterscheidbar angenommenen [[Elektron]]en ist ein vollständiges [[Orthonormalsystem]] von Zuständen gegeben, ausdrückbar durch die Produktwellenfunktionen aller möglichen [[Permutation]]en der Einteilchenzustände. Aus [[quantenphysik]]alischer Sicht sind die [[Teilchen]] eines Vielteilchensystems gerade [[Ununterscheidbare Teilchen|nicht unterscheidbar]]. Dies führt dazu, dass bestimmte Symmetriebedingungen an die dazugehörige Wellenfunktion zu stellen sind: Im Fall von [[Fermion]]en muss sie [[Antisymmetrische Funktion|antisymmetrisch]] unter beliebiger Vertauschung zweier Teilchen sein. Um dies zu gewährleisten, wird –&nbsp;wie im Folgenden gezeigt&nbsp;– die Slater-Determinante aus Einteilchenzuständen geschrieben.-->
Um die Wellenfunktion zu finden, die ein betrachtetes System beschreibt, ist es nötig dessen [[Schrödingergleichung]] zu lösen. Sind <math>\{\phi_i\} </math> die Lösungen der Schrödingergleichung mit einem einzelnen Elektron, dann kann das ganze System von N Teilchen unter Vernachlässigung der Wechselwirkung mit dem sogenannten „Hartree-Produkt“  <!-- Ich denke ich würde hier dem Hartree-Produkt vielleicht einen eigenen Wiki-Artikel spendieren, und alles genauer mit der Schrödingergleichung herleiten, also warum das eine Lösung der N-Teilchen-Schrödignergleichung ist. Das wäre nämlich auch für andere Artikel wie HF hilfreich, bei dem das Thema denke ich auch im Vorgeplänkel mit vorkommt. -->

<math>\psi^\mathrm {HP} = \prod_{i=1}^N \phi_i(x_i) </math>

beschrieben werden. Obwohl diese Funktion eine mathematische Lösung der Schrödingergleichung ohne Wechselwirkung ist, ist sie nicht physikalisch sinnvoll, da sie die [[Ununterscheidbare Teilchen|Ununterscheidbarkeit]] quantenmechanischer Teilchen missachtet. Dies ist eine Folge der [[Heisenbergsche Unschärferelation|Heisenberg’schen Unschärferelation]], nach der Ort und Impuls quantenmechanischer Teilchen nie zugleich beliebig genau bestimmt werden können, wodurch die [[Trajektorie (Physik)|Trajektorie]] der einzelnen Teilchen nicht mehr verfolgt werden kann - sie sind ununterscheidbar.

Um dieses Problem zu lösen, muss das Hartree-Produkt symmetrisiert oder antisymmetrisiert werden. Da nach dem Spin-Statistik-Theorem Fermionen (Teilchen mit halbzahligem Spin) zu antisymmetrischen Wellenfunktionen gehören, werden die Hartree-Produkte von Fermionen antisymmetrisiert, was später zu den Slater-Determinanten führt.

== Antisymmetrisierung mit dem Antisymmetrisierungsoperator ==
Der [[Antisymmetrisierungsoperator]] <math>A_N </math><!-- Den Artikel gibt es leider nicht auf Deutsch - das ist aber denke ich ein sehr wichtiger Artikel, den man unbedingt übersetzen sollte. -->, welcher aus dem Hartree-Produkt eine antisymmetrische Wellenfunktion macht, ist wie folgt definiert:
<math>A_N = \frac{1}{N!} \sum_{\hat{P} \in S_n} (-1)^\pi \hat{P} </math> .

Dabei ist <math>\hat{P} </math> der „Transpositions-Operator“, der so definiert ist, dass zwei Teilchenkoordinaten der Funktion vertauscht werden, auf die er angewendet wird. 

<math>\hat{P}_{ij} \psi(x_1, \dots, x_i, \dots, x_j, \dots, x_N) = \psi(x_1, \dots, x_j, \dots, x_i, \dots, x_N) </math>

Der Faktor <math>\frac{1}{N!} </math> stellt die Normierung der resultierenden Funktion sicher.

Dass sich die resultierende Wellenfunktion <math>A_N \psi </math> dann als Determinante schreiben lässt, lässt sich durch Vergleich mit der [[Leibniz-Formel|Leibnitz-Formel]] für Determinanten ablesen.

== Beispiel mit zwei Teilchen ==
[[Datei:Slater-Determinant.png|mini|275px|Fiktive Slater-Determinante für zwei Elektronen, die sich auf einer Linie zwischen zwei Atomen bewegen.]]
[[Datei:Hartree-Products vs Slater-Determinants.png|mini|275px|Effekte auf ein Hartree-Produkt und eine Slater-Determinante, wenn zwei Teilchen getauscht werden.]]

Das Hartree-Produkt für zwei Elektronen in zwei Orbitalen lautet

<math>\psi^\mathrm{HP}(x_1, x_2) = \phi_1(x_1) \phi_2(x_2)</math>

und erfüllt nicht die Forderung 

<math>\psi^\mathrm{HP}(x_1, x_2) = - \psi^\mathrm{HP}(x_2, x_1)</math>

nach einer antisymmetrischen Wellenfunktion. 

Die Kombination

<math>\begin{align}
A_N \psi^\mathrm{HP}(x_1, x_2) & = \frac{1}{\sqrt 2 } \{ \phi_1(x_1) \phi_2(x_2) - \phi_1(x_2) \phi_2(x_1) \} \\ 
& = \frac{1}{\sqrt2}\begin{vmatrix} \phi_1(x_1) & \phi_2(x_1) \\ \phi_1(x_2) & \phi_2(x_2) \end{vmatrix} \\
\end{align}</math>

hingegen schon. Tatsächlich wird die Funktion null, wenn die Orts-Spin-Koordinaten der Teilchen gleich sind (<math> x_1 = x_2 </math>), was eine weitere Forderung des Pauli-Prinzips – dass zwei Fermionen nicht von derselben Wellenfunktion beschrieben werden können – erfüllt. Der Vorfaktor <math>\tfrac{1}{\sqrt 2}</math> dient der [[Wellenfunktion#Definition|Normierung]], die aus dem Formalismus der Quantenmechanik für Wellenfunktionen gefordert wird.

Es sei angenommen, zwei Elektronen bewegen sich in nur einer Dimension in einem System aus zwei Atomen und die Orts-Koordinaten <math>r_i</math> bezeichnen die Positionen der Elektronen auf der Geraden, die beide Atome verbindet. Die Orbitale <math>\phi_i</math> seien je eine [[Normalverteilung]] mit einem der Atome im Zentrum. Das Hartree-Produkt der beiden Orbitale hat nur dann einen signifikant von Null verschiedenen Wert, wenn die Elektronen jeweils in der Nähe ihrer Atome sind. Die zugehörige Slater-Determinante hat auch eine [[Amplitude]], wenn die beiden Elektronen vertauscht sind – tatsächlich hat sie dann genau den negativen Wert.

Die Konstruktion als Determinante in dieser Form erzeugt immer eine zulässige Wellenfunktion, auch für mehr als zwei Elektronen. Um den Schreibaufwand zu verringern, werden oft nur die Diagonalelemente der Determinante angegeben, der Normierungsfaktor weggelassen und nur entweder die Orbitale oder – anstatt der Koordinaten – die Indizes der Teilchen angeschrieben<ref name="Szabo" />. Die oben angegebene Slater-Determinante könnte also z.&nbsp;B. unter Verwendung der [[Dirac-Notation]] geschrieben werden als

<math>| \psi \rangle \equiv | \phi_1(1) \phi_2(2) \rangle \equiv | 1 2 \rangle</math>

:

== Ergebnis ==
Die Slater-Determinante kann wie folgt geschrieben werden:

:<math>A_N [\phi_1(x_1) \phi_2(x_2) \dots \phi_N(x_N)] = \frac{1}{\sqrt{N!}}
\begin{vmatrix} \phi_1(x_1) & \phi_2(x_1) & \dots  & \phi_N(x_1) \\
                \phi_1(x_2) & \phi_2(x_2) & \dots  & \phi_N(x_2) \\
                \vdots    & \vdots    & \ddots & \vdots    \\
                \phi_1(x_N) & \phi_2(x_N) & \dots  & \phi_N(x_N)
\end{vmatrix} = \langle x |\phi_1\phi_2\dots\phi_N \rangle</math>
Darin sind nun alle Kombinationen enthalten. Die Normierung der Wellenfunktion wird durch die Fakultät im Nenner gewährleistet. Die Antisymmetrie unter Teilchenvertauschung wird, wie oben schon angesprochen, durch die Realisierung als Determinante automatisch erfüllt.

Für wechselwirkungsfreie Vielteilchensysteme ist dies ein Eigenzustand des Hamilton-Operators. Dies kann für wechselwirkende Systeme nicht mehr angenommen werden.

<!-- == Siehe auch ==
 * [[Slater Type Orbitals]] -->

== Literatur ==
<!--* {{Literatur |Autor=A. Szabo, N. S. Ostlund |Titel=Modern quantum chemistry: Introduction to advanced electronic structure theory |Auflage=1. |Verlag=McGraw-Hill |Ort=New York |Datum=1989 |ISBN=0-07-062739-8}}-->
* {{Literatur |Autor=Attila Szabo, Neil S. Ostlund |Titel=Modern Quantum Chemistry: Introduction to Advanced Electronic Structure Theory |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Auflage= |Verlag=Courier Corporation |Ort= |Datum=1996-07-02 |ISBN=9780486691862 |Seiten=50 ff.}}
* {{Literatur |Autor=H. Friedrich |Titel=Theoretische Atomphysik |Auflage=2. |Verlag=Springer Verlag |Ort=Berlin–Heidelberg |Datum= 1994 |ISBN=978-3540582670}}
* {{Literatur |Autor=T. Fließbach |Titel=Quantenmechanik: Lehrbuch zur Theoretischen Physik III |Auflage=5. |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Heidelberg |Datum=2008 |ISBN=978-3827420206}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Molekülphysik]]
[[Kategorie:Quantenmechanik]]