Quelltext der Seite Sl(2,C)

{{SEITENTITEL:sl(2,C)}}
{{Dieser Artikel|behandelt die Lie-Algebra <math>\mathfrak{sl}(2,C)</math>, zur Gruppe <math>SL(2,C)</math> siehe [[Spezielle lineare Gruppe]].}}
In der [[Mathematik]] ist die '''Lie-Algebra''' <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> der Prototyp einer komplexen [[Einfache Lie-Algebra|einfachen Lie-Algebra]]. Die <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> ist eine dreidimensionale, komplexe, einfache Lie-Algebra. Durch diese Eigenschaften ist sie als Lie-Algebra bereits eindeutig identifiziert.

Die <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> ist die dreidimensionale [[Lie-Algebra]] der [[Spezielle lineare Gruppe|speziellen linearen Gruppe]] <math>SL(2,\Complex)</math>. Sie ist über dem komplexen Zahlenkörper <math>\Complex</math> definiert und hat zwei [[reelle Form]]en, die Lie-Algebra <math>\mathfrak{su}(2)</math> und die Lie-Algebra <math>\mathfrak{sl}(2,\R)</math>.

Die Gruppe <math>SL(2,\Complex)</math> spielt insbesondere in der [[Spezielle Relativitätstheorie|Speziellen Relativitätstheorie]] eine Rolle, da sie die [[einfach zusammenhängend]]e [[Überlagerung (Topologie)|Überlagerung]] der [[Lorentz-Transformation|eigentlichen orthochronen Lorentztransformationen]] <math>SO_{0}(3,1)</math> ist.

== Kommutator-Relationen ==

Wir betrachten den durch die Basis x, y, h aufgespannten Vektorraum <math>g=\langle \{x,y,h\} \rangle_{\Complex}</math>. Die <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> ist dann festgelegt durch folgende Kommutator-Relationen:

:<math>
[x,y]=h, \quad
[h,x]=2x, \quad
[h,y]=-2y
</math>

Eine häufig verwendete Realisierung erfolgt durch folgende spurlose 2×2-Matrizen:

:<math>
x= \begin{pmatrix}0&1\\ 0 & 0\end{pmatrix},
\quad
y=\begin{pmatrix}0&0\\ 1 & 0\end{pmatrix},
\quad
h=\begin{pmatrix}1&0\\ 0 & -1\end{pmatrix}
</math>

== Alternative Realisierung durch das Kreuzprodukt ==

Durch die Definition des [[Kreuzprodukt]]es in <math>\Complex^3</math> und der folgenden Vektoren

:<math>
x=(1,\mathrm i,0), \quad
y=(-1,\mathrm i,0), \quad
h=(0,0,2\mathrm i)
</math>

ergibt sich die gleiche Algebra:

:<math>
x\times y = h, \quad
h \times x = 2x, \quad
h \times y = -2y
</math>

== Eigenschaften ==

<math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> ist eine [[einfache Lie-Algebra|einfache]] (insbesondere [[halbeinfache Lie-Algebra|halbeinfache]]) Lie-Algebra.

Beweis: Sei <math>\mathfrak{a}</math> ein nichttriviales [[Ideal_(Ringtheorie)|Ideal]] in <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> und sei <math>ax + bh + cy\in\mathfrak{a}\setminus 0</math> mit <math>a,b,c\in \Complex</math>. Wenn <math>a = c = 0</math>, dann <math>h\in \mathfrak{a}</math>, damit <math>2x = \left[h,x\right]\in\mathfrak{a}</math> und <math> 2y = \left[h,y\right]\in\mathfrak{a}</math>, also <math>\mathfrak{a}=\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math>. Also können wir <math>a\not=0</math> oder <math>c\not=0</math> annehmen, o.&nbsp;B.&nbsp;d.&nbsp;A <math>a\not=0</math>. Aus <math>\left[y, \left[y, ax + bh + cy \right]\right] = \left[y, -ah + 2by \right] = -2ay </math> folgt dann <math>y \in\mathfrak{a}</math> und damit auch <math>h=\left[x,y\right]\in\mathfrak{a}</math>, also wieder <math>\mathfrak{a}=\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math>.

== Struktur der Lie-Algebra sl(2,C) ==
=== Killing-Form ===
Die [[Killing-Form]] von <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> lässt sich explizit durch die Formel
:<math>B(v,w)=4\,\operatorname{Spur}(vw)</math>
berechnen, es ist also
:<math>B(x,x)=B(y,y)=0,\ B(h,h)=8</math>
:<math>B(x,y)=4,\ B(x,h)=B(y,h)=0.</math>

=== Cartan-Involution ===
Eine [[maximal kompakte Untergruppe]] der [[Lie-Gruppe]] <math>SL(2,\Complex)</math> ist <math>K=SU(2)</math>, ihre Lie-Algebra <math>\mathfrak{k}=\mathfrak{su}(2)</math> wird von <math>i(x+y),\ x-y</math> und <math>ih</math> aufgespannt.

Eine [[Cartan-Involution]] von <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> ist gegeben durch
:<math>\theta(A)=-\overline{A}^T</math>.
<math>\mathfrak{k}=\mathfrak{su}(2)</math> ist ihr [[Eigenraum]] zum [[Eigenwert]] <math>1</math>. Man erhält die [[Cartan-Zerlegung]]
:<math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)=\mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}</math>,
wobei <math>\mathfrak{p}=\left\{A\in\mathfrak{sl}(2,\Complex):A=\overline{A}^T\right\}</math> der Eigenraum zum Eigenwert <math>-1</math> ist.

===Iwasawa-Zerlegung===
Eine [[Iwasawa-Zerlegung]] von <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> ist
:<math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)=\mathfrak{k}\oplus\mathfrak{a}\oplus\mathfrak{n}</math>
mit <math>\mathfrak{k}=\mathfrak{su}(2),\ \mathfrak{a}=\left\{\begin{pmatrix}\lambda&0\\
0&-\lambda\end{pmatrix}:\lambda\in\R\right\},\ \mathfrak{n}=\left\{\begin{pmatrix}0&n\\
0&0\end{pmatrix}:n\in\Complex\right\}</math>.

===Reelle Formen===
Die <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> hat zwei [[Reelle Form|reelle Formen]]: ihre kompakte reelle Form ist <math>\mathfrak{su}(2)</math>, ihre spaltbare reelle Form ist <math>\mathfrak{sl}(2,\R)</math>.

=== Cartan-Unteralgebren ===
Eine maximale abelsche Unteralgebra ist
:<math>\mathfrak{h}_0=\left\{\begin{pmatrix}\lambda&0\\
0&-\lambda\end{pmatrix}:\lambda\in\Complex\right\}</math>.
<math>\mathfrak{h}_0</math> ist eine [[Cartan-Unteralgebra]].

Jede Cartan-Unteralgebra <math>\mathfrak{h}\subset\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> ist zu <math>\mathfrak{h}_0</math> konjugiert, d.&nbsp;h., sie ist von der Form
:<math>\mathfrak{h}=g\mathfrak{h}_0g^{-1}:=\left\{ghg^{-1}:h\in\mathfrak{h}_0\right\}</math>
für ein <math>g\in SL(2,\Complex)</math>.

=== Wurzelsystem ===
Das [[Wurzelsystem#Lie-Algebren|Wurzelsystem]] zu <math>\mathfrak{h}_0</math> ist
:<math>R=\left\{\alpha_{12}=\begin{pmatrix}1&0\\
0&-1\end{pmatrix},\ \alpha_{21}=\begin{pmatrix}-1&0\\
0&1\end{pmatrix}\right\}</math>.
Die dualen Wurzeln sind
:<math>\alpha_{12}^*\begin{pmatrix}\lambda&0\\
0&-\lambda\end{pmatrix}=2\lambda,\ \alpha_{12}^*\begin{pmatrix}\lambda&0\\
0&-\lambda\end{pmatrix}=-2\lambda</math>.
Die zugehörigen [[Wurzelraum|Wurzelräume]] sind
:<math>\mathfrak{g}_{\alpha_{12}}=\Complex\begin{pmatrix}0&1\\
0&0\end{pmatrix},\ \mathfrak{g}_{\alpha_{21}}=\Complex\begin{pmatrix}0&0\\
1&0\end{pmatrix}</math>.

Die [[Weyl-Gruppe]] ist die [[symmetrische Gruppe]] <math>S_2</math>.

== Siehe auch ==
* [[Darstellungstheorie der sl(2,C)]]

== Weblinks ==
* Nicolas Perrin: ''The Lie Algebra <math>\mathfrak{sl}_2</math>'' [http://relaunch.hcm.uni-bonn.de/fileadmin/perrin/chap10.pdf PDF]
* Abhinav Shrestha: ''Representations of semisimple Lie algebras'' [http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2011/REUPapers/Shrestha.pdf PDF]

[[Kategorie:Lie-Algebra]]