Quelltext der Seite Skalenfaktor

{{Dieser Artikel|behandelt einen kosmologischen Parameter; siehe auch [[Skalenfaktor (Audiocodierung)]] in der Audiodatenkompression sowie [[Maßstabsfaktor]] in der Geodäsie und Kartografie.}}
Der '''Skalenfaktor''' <math>a</math> ist ein Parameter in den Gleichungen des [[Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik|Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Modells]], das in der [[Kosmologie]] und [[Astronomie]] eine wichtige Rolle spielt. Er beschreibt die zeitliche Veränderung von Distanzen im Universum und innerhalb dieses Modells damit auch die [[Expansion des Universums]].

== Erklärung ==

Der Skalenfaktor ist eine Funktion der Zeit und stellt zwischen einem Koordinatenmaß <math>D(t)</math> und [[Kosmologisches Entfernungsmaß#Mitbewegte Entfernung|mitbewegten Koordinaten]] <math>D_c</math> einen mathematischen Zusammenhang her:

:<math>a(t) = \frac{D(t)}{D_c}.</math>

Der Skalenfaktor kann in Abhängigkeit der [[Maßeinheit|physikalischen Einheit]] der [[Kosmologisches Entfernungsmaß#Mitbewegte Entfernung|mitbewegten Entfernung]] die Einheit einer [[Länge (Physik)|Länge]] haben oder [[dimensionslos]] sein. In der modernen Kosmologie wird die mitbewegte Entfernung als die heutige physikalische Entfernung gesetzt. Sie hat damit die physikalische Einheit einer Länge. Der Skalenfaktor wird deshalb dimensionslos gewählt. Für den heutigen Zeitpunkt <math>t_0</math> gilt:

:<math>a(t_0) = 1.</math>

Mit Hilfe der [[Friedmann-Gleichungen]] und dem Skalenfaktor können innerhalb dieses Modells die zeitabhängigen Materie-/Energiedichten der verschiedenen Komponenten des Universums berechnet werden. Maßgeblich ist jeweils der sogenannte Verdünnungsexponent ''n''.  Dieser ergibt sich aus dem Parameter ''w'' der [[Zustandsgleichung]] (''equation of state''):
:<math>n = 3(w+1)</math>
:<math>\rho_x(t_2) = \rho_x(t_1)\left(\tfrac{a(t_1)}{a(t_2)}\right)^n</math>
* Die Dichte von nicht relativistischer Materie wie Himmelskörper, Staub oder Gas wird mit der Expansion auf großer Skala in drei Dimensionen verdünnt und hat den Zustandsparameter ''w''=0 also ''n''=3:
:<math>\rho_m(t_2) = \rho_m(t_1)\left(\tfrac{a(t_1)}{a(t_2)}\right)^3</math>
* Die Dichte der Strahlung setzt sich aus Photonendichte (siehe auch [[Hintergrundstrahlung]]) und Neutrinodichte (siehe auch [[Kosmischer Neutrinohintergrund]]) zusammen, insgesamt mit dem vierfachen Faktor (''w''=1/3 und ''n''=4):
:<math>\rho_r(t_2) = \rho_r(t_1)\left(\tfrac{a(t_1)}{a(t_2)}\right)^4</math>
* Die Krümmung des Raumes ergibt sich aus dem Quadrat des Krümmungsradius und verändert sich somit mit dem zweifachen Faktor (''n''=2):
:<math>\rho_k(t_2) = \rho_k(t_1) \left(\tfrac{a(t_1)} {a(t_2)} \right)^2</math>
* Die Dichte der Vakuumenergie ist hingegen konstant und ändert sich nicht mit der Expansion (''w''=-1 und ''n''=0).

In gleicher Weise lassen sich die anteilsmäßigen [[Dichteparameter]] <math>\Omega_x</math> herleiten, wobei alle Teildichten durch die kritische Dichte normiert werden.

Zu beachten ist noch, dass sich die Zusammensetzung der Komponenten im sehr frühen Universum z.&nbsp;B. durch [[Phasenübergang]], [[Thermalisierung]], Reheating, Ausfrieren, [[Radioaktivität|Zerfall]], [[Annihilation]] und [[Paarbildung (Physik)|Paarbildung]] etc. vielfach verändert hat.

== Bedeutung ==

Der Skalenfaktor ergibt unmittelbar die Vergrößerung der Entfernungen zwischen zwei Raumpunkten sowie der Wellenlänge ''λ'' von Strahlung durch die Expansion des Raumes. Im flachen (ungekrümmten) Universum gilt:
:<math>D_A = a \cdot  D_c</math>
::<math>D_c</math> [[Entfernungsmaß#Winkeldurchmesserentfernung|mitbewegte Entfernung]]
::<math>D_A</math> [[Entfernungsmaß#Winkeldurchmesserentfernung|Winkeldurchmesserentfernung]]. 

Im räumlich flachen Universum entspricht die Winkeldurchmesserentfernung der physikalischen Entfernung.

Damit vergrößert sich der Raum mit dem Faktor ''a''³. Die Dichte von Materie verringert sich daher mit dem Faktor 1/''a''³. 

Die Temperatur ''T'' sowie der [[Wellenvektor]] ''k''=1/''λ'' des Lichtes sinken mit 1/''a''. Die [[Energiedichte]] der Strahlung ''h·f''/''V'' sinkt deshalb mit dem Faktor 1/''a''⁴, so dass die Planck-Verteilung der [[Hintergrundstrahlung]] erhalten bleibt, die proportional zu ''T''⁴ ist.  Bei [[Pekuliarbewegung]]en ''u'' sinkt der [[Relativistischer Impuls|relativistische Impuls]] mit 1/a:
:<math>a\gamma u = a'\gamma' u'</math>

== Zusammenhang ==

Die Zeit t wird von der Entstehung des [[Universum]]s an gemessen und <math>t_0</math> stellt das heutige Alter des Universums mit (13,7&nbsp;±&nbsp;0,2) Milliarden Jahren dar.

Die zeitliche Entwicklung des Skalenfaktors wird durch die [[Einsteinsche Feldgleichungen|Formeln]] der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] bestimmt, welche im Falle eines lokal [[isotrop]]en und lokal [[Homogenität (Physik)|homogen]]en Universums durch die [[Friedmann-Gleichungen]] dargestellt sind. Die Ableitung des Skalenfaktors nach der Zeit kann mit dem [[Hubble-Konstante|Expansionsfaktor]] ''E'' berechnet werden:

:<math>\dot a(t) = H(t) a(t) = E(t) H(t_0) a(t)</math>

Der Skalenfaktor und seine [[Zeitableitung|zeitliche Änderung]] definieren den [[Hubble-Parameter]]:

:<math>H(t) = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} .</math>

Auch die weiteren Ableitungen werden benötigt, mit der [[Kosmologische Konstante|Kosmologischen Konstante]] ''Λ'':

:<math>\ddot a(t) = (\dot H(t)+H(t)^2)a(t)</math>
:<math>\dot H(t) = \frac{\ddot a(t)}{a(t)}-H(t)^2 = \frac {c^2\Lambda}{2}-1,5H(t)^2 .</math>

In der Literatur wird gerne der ''Beschleunigungs''-, ''Akzelerations''-, ''Dezelerations''-, ''Brems''- oder auch ''Verzögerungsparameter'' ''q'' verwendet:

:<math>q(t) = \frac{-a(t) \ddot a(t)}{\dot a(t)^2} = -1-\frac{\dot H(t)}{H(t)^2} = \frac{\ddot a(t)}{H(t)^2 a(t)} .</math>

== Literatur ==
* [[Arnold Hanslmeier]]: ''Einführung in Astronomie und Astrophysik'', Spektrum Akademischer Verlag, 2. Auflage 2007, ISBN 978-3-8274-1846-3

[[Kategorie:Kosmologie (Physik)]]