Quelltext der Seite Skalarprodukt

[[Datei:Dot-product-1.svg|mini|Das Skalarprodukt zweier Vektoren im euklidischen [[Anschauungsraum]] hängt von der Länge der Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel ab.]]

Das '''Skalarprodukt''' (auch '''inneres Produkt'''<ref>{{Literatur |Autor=[[Richard Courant]] |Titel=Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Band 2 |Auflage=4. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Göttingen / Heidelberg |Datum=1972 |ISBN=3-540-02956-7 |Seiten=6}}</ref> oder '''Punktprodukt'''<ref name=":0">{{Literatur |Autor=Thomas Westermann |Titel=Mathematik für Ingenieure 1 |Auflage=9. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2024 |ISBN=978-3-662-69657-6 |Seiten=48}}</ref>) ist eine [[Verknüpfung (Mathematik)|mathematische Verknüpfung]], die zwei [[Vektor]]en eine Zahl ([[Skalar (Mathematik)|Skalar]]) zuordnet. Es ist Gegenstand der [[Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]] und der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]]. Historisch wurde es zuerst im [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] eingeführt. Geometrisch berechnet man das Skalarprodukt <math>\vec a \cdot \vec b</math> (sprich „a mal b“) zweier Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> nach der Formel
: <math>\vec a \cdot \vec b = |\vec a| |\vec b| \cos\sphericalangle(\vec a, \vec b).</math><ref name="Bronstein2001">{{Literatur |Autor=Bronstein, Semendjajew |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Datum=2001 |Seiten=189}}</ref>
Dabei bezeichnen <math>|\vec a|</math> und <math>|\vec b|</math> jeweils die [[Vektor#Länge/Betrag eines Vektors|Längen]] (Beträge) der Vektoren. Mit <math>\cos \sphericalangle(\vec a, \vec b) = \cos \varphi</math> wird der [[Kosinus]] des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels <math>\varphi</math> (phi) bezeichnet.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren gegebener Länge ist damit null, wenn sie [[Orthogonalität|senkrecht]] zueinander stehen.

In einem zweidimensionalen [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystem]] berechnet sich das Skalarprodukt zweier Vektoren <math>\vec a =(a_1,a_2)</math> und <math>\vec b =(b_1,b_2)</math> als
: <math>\vec a \cdot \vec b = a_1 b_1 + a_2 b_2.</math>
In einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem berechnet sich das Skalarprodukt zweier Vektoren <math>\vec a =(a_1,a_2,a_3)</math> und <math>\vec b =(b_1,b_2,b_3)</math> als
: <math>\vec a \cdot \vec b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.</math><ref>{{Literatur |Autor=Bronstein, Semendjajew |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Datum=2001 |Seiten=191}}</ref>
In der linearen Algebra wird dieses Konzept auf beliebig viele Dimensionen verallgemeinert mittels
: <math>\vec a \cdot \vec b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots +a_n b_n.</math>
Noch allgemeiner versteht man in der linearen Algebra unter einem Skalarprodukt eine Funktion, die zwei Elementen eines reellen oder komplexen [[Vektorraum]]s einen Skalar zuordnet, genauer eine ([[Definitheit|positiv definite]]) [[hermitesche Sesquilinearform]] bzw. spezieller bei reellen Vektorräumen eine (positiv definite) [[symmetrische Bilinearform]]. Im Allgemeinen ist in einem Vektorraum von vornherein kein Skalarprodukt festgelegt. Ein Raum zusammen mit einem Skalarprodukt wird als ''Innenproduktraum'' oder ''[[Prähilbertraum]]'' bezeichnet. Diese Vektorräume verallgemeinern den euklidischen Raum und ermöglichen damit die Anwendung geometrischer Methoden auf abstrakte Strukturen.

== Im euklidischen Raum ==
=== Geometrische Definition und Notation ===
Vektoren im dreidimensionalen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] oder in der zweidimensionalen euklidischen Ebene kann man als Pfeile darstellen. Dabei stellen Pfeile, die [[Parallelität (Geometrie)|parallel]], gleich lang und gleich orientiert sind, denselben Vektor dar. Das Skalarprodukt <math>\vec a \cdot \vec b</math> zweier Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> ist ein Skalar, das heißt eine [[reelle Zahl]]. Geometrisch bzw. koordinatenfrei lässt es sich wie folgt definieren:

Bezeichnen <math>a = |\vec a|</math> und <math>b = |\vec b|</math> die Längen der Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> und bezeichnet <math>\varphi = \sphericalangle(\vec a, \vec b)</math> den von <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> eingeschlossenen Winkel, so ist
: <math>\vec a \cdot \vec b := |\vec a| |\vec b| \cos \sphericalangle (\vec a, \vec b) = a b \cos \varphi.</math>

Hierbei muss <math>\vec a, \vec b \neq \vec 0</math> vorausgesetzt werden, da ansonsten <math>\varphi = \sphericalangle(\vec a, \vec b)</math> nicht erklärt ist. Ist <math>\vec a = \vec 0</math> oder <math>\vec b = \vec 0</math>, so ist <math>\vec a \cdot \vec b :=0 </math>.<ref name=":1">{{Literatur |Autor=Merziger, Wirth |Titel=Repetitorium höhere Mathematik |Datum=2010 |Seiten=127}}</ref>

Andere übliche Notationen sind <math>\vec a \circ \vec b,\ \vec a \bullet \vec b, \langle \vec a, \vec b \rangle</math> und <math>(\vec a, \vec b)</math>.<ref name=":0" /> Wie bei der normalen Multiplikation wird (wenn klar ist, was gemeint ist) das Multiplikationszeichen manchmal weggelassen: <math>\vec a \cdot \vec b = \vec a\,\vec b</math>. Statt <math>\vec a \cdot \vec a</math> schreibt man auch kurz <math>\vec a^2</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Tilo Arens, Rolf Busam, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel, Klaus Lichtenegger |Titel=Grundwissen Mathematikstudium |Auflage=2. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2021 |ISBN=978-3-662-63312-0 |Seiten=233 |Abruf=}}</ref>

==== Beispiele ====
In allen vier Beispielen gilt <math>| \vec a | = 5</math> und <math>| \vec b | = 3</math>. Die Skalarprodukte ergeben sich mithilfe der speziellen Kosinuswerte <math>\cos 0^\circ = 1</math>, <math>\cos 60^\circ = 0{,}5</math>, <math>\cos 90^\circ = 0</math> und <math>\cos 120^\circ=-0{,}5</math>:
<gallery widths="195" heights="175">
 Dot-product-3.1.svg|alternativtext=<nowiki>a              →                                            {\displaystyle {\vec {a}}}   und                                                         b              →                                            {\displaystyle {\vec {b}}}   gleichgerichtet                                                        a              →                                      ⋅                                            b              →                                      =        5        ⋅        3        ⋅        cos        ⁡                  0                      ∘                          =        15              {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=5\cdot 3\cdot \cos 0^{\circ }=15}</nowiki>|<math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> gleichgerichtet<br /><math>\vec a \cdot \vec b = 5 \cdot 3 \cdot \cos 0^\circ = 15 </math>
 Dot-product-3.3.svg|<math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> im 60°-Winkel<br /><math>\vec a \cdot \vec b = 5 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 7{,}5</math>
 Dot-product-3.2.svg|<math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> orthogonal<br /><math>\vec a \cdot \vec b = 5 \cdot 3 \cdot \cos 90^\circ = 0</math>
 Skalarprodukt-Animation-04c.svg|<math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> im 120°-Winkel <br /><math>\vec a \cdot \vec b = 5 \cdot 3 \cdot \cos 120^\circ = -7{,}5</math>|alternativtext=a <nowiki> </nowiki>             → <nowiki> </nowiki>            <nowiki> </nowiki>          <nowiki> </nowiki>        <nowiki> </nowiki>      <nowiki> </nowiki>    <nowiki> </nowiki><nowiki>   {\displaystyle {\vec {a}}} </nowiki><nowiki> </nowiki>  <nowiki> </nowiki>und  <nowiki> </nowiki>  <nowiki> </nowiki>    <nowiki> </nowiki>      <nowiki> </nowiki>        <nowiki> </nowiki>          <nowiki> </nowiki>            <nowiki> </nowiki>             b <nowiki> </nowiki>             → <nowiki> </nowiki>            <nowiki> </nowiki>          <nowiki> </nowiki>        <nowiki> </nowiki>      <nowiki> </nowiki>    <nowiki> </nowiki><nowiki>   {\displaystyle {\vec {b}}} </nowiki><nowiki> </nowiki>  <nowiki> </nowiki>orthogonal <nowiki> </nowiki>  <nowiki> </nowiki>    <nowiki> </nowiki>      <nowiki> </nowiki>        <nowiki> </nowiki>          <nowiki> </nowiki>            <nowiki> </nowiki>             a <nowiki> </nowiki>             → <nowiki> </nowiki>            <nowiki> </nowiki>          <nowiki> </nowiki>        <nowiki> </nowiki>       ⋅ <nowiki> </nowiki>        <nowiki> </nowiki>          <nowiki> </nowiki>            <nowiki> </nowiki>             b <nowiki> </nowiki>             → <nowiki> </nowiki>            <nowiki> </nowiki>          <nowiki> </nowiki>        <nowiki> </nowiki>       = <nowiki> </nowiki>       5 <nowiki> </nowiki>       ⋅ <nowiki> </nowiki>       3 <nowiki> </nowiki>       ⋅ <nowiki> </nowiki>       cos <nowiki> </nowiki>       ⁡ <nowiki> </nowiki>        <nowiki> </nowiki>         120 <nowiki> </nowiki>          <nowiki> </nowiki>           ∘ <nowiki> </nowiki>          <nowiki> </nowiki>        <nowiki> </nowiki>       = <nowiki> </nowiki>       − <nowiki> </nowiki>       7 <nowiki> </nowiki>        <nowiki> </nowiki>         , <nowiki> </nowiki>        <nowiki> </nowiki>       5 <nowiki> </nowiki>      <nowiki> </nowiki>    <nowiki> </nowiki><nowiki>   {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=5\cdot 3\cdot \cos 120^{\circ }=-7{,}5}</nowiki>
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==== Geometrische Deutung ====
[[Datei:Skalarprodukt-geometrische-Deutung.svg|mini|Geometrische Deutung des Skalarprodukts <math>\vec a \cdot \vec b</math> als Länge der orthogonalen Projektion <math>\vec b_{\vec a}</math> mal der Länge von <math>\vec a</math>]]
Die Zahl <math>\vec a \cdot \vec b</math> ergibt sich geometrisch folgendermaßen: Projiziert man den Vektor <math>\vec b</math> auf die durch <math>\vec a</math> bestimmte Gerade, so erhält man einen Vektor <math>\vec b_{\vec a}</math>. Schließen <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> einen Winkel <math>0 \leq \varphi \leq 90^\circ</math>ein, so ist <math>|\vec b | \cos \varphi</math> nach der Definition des Kosinus die Länge von <math>\vec b_{\vec a}</math>. Multipliziert man diese Länge mit dem Betrag von <math>\vec a</math>, so erhält man die Zahl <math>\vec a \cdot \vec b</math>. Schließen <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> hingegen einen Winkel <math>90^\circ <\varphi \leq 180^\circ</math> ein, so entspricht <math>|\vec b | \cos \varphi</math> der Länge von <math>\vec b_{\vec a}</math>, jedoch mit einem negativen Vorzeichen versehen.<ref name=":1" />

Insgesamt gilt also: Das Skalarprodukt <math>\vec a \cdot \vec b</math> ist gleich dem Produkt der Länge von <math>\vec a</math> und der Länge der Projektion <math>\vec b_{\vec a}</math> von <math>\vec b</math> auf die Richtung von <math>\vec a</math>. Es hat dabei positives oder negatives Vorzeichen, je nachdem <math>\vec a</math> und <math>\vec b_{\vec a}</math> die gleiche oder entgegengesetzte Richtung haben.<ref>{{Literatur |Autor=[[Karl Strubecker]] |Titel=Einführung in die Höhere Mathematik. Band I: Grundlagen |Auflage=2. |Verlag=Oldenbourg Verlag |Ort=München / Wien |Datum=1966 |Seiten=206}}</ref><ref>{{Literatur |Titel=dtv-Atlas Schulmathematik |Auflage=2. |Verlag=Deutscher Taschenbuch Verlag |Ort=München |Datum=2003 |ISBN=3-423-03099-2 |Seiten=211}}</ref> Aus Symmetriegründen entspricht <math>\vec a \cdot \vec b</math> zugleich dem vorzeichenbehafteten Produkt der Länge von <math>\vec b</math> und der Länge der Projektion <math>\vec a_{\vec b}</math> von <math>\vec a</math> auf die Richtung von <math>\vec b</math>.<ref name=":1" />

=== Darstellung in kartesischen Koordinaten ===
Führt man in der euklidischen Ebene bzw. im euklidischen Raum kartesische Koordinaten ein, so besitzt jeder Vektor eine Koordinatendarstellung als 2- bzw. 3-Tupel, das meist als Spalte geschrieben wird.

In der euklidischen Ebene erhält man dann für das Skalarprodukt der Vektoren
: <math>\vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}</math>&nbsp;&nbsp;und&nbsp;&nbsp;<math>\vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}</math>
die Darstellung
: <math>\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2.</math>

[[Datei:Unit vectors qtl2.svg|mini|Kanonische Einheitsvektoren in der euklidischen Ebene]]

Für die [[Standardbasis|kanonischen Einheitsvektoren]] <math>\vec e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> gilt nämlich
: <math>\vec e_1 \cdot \vec e_1 = 1,\ \vec e_1 \cdot \vec e_2 = \vec e_2 \cdot \vec e_1 = 0</math> und <math>\vec e_2 \cdot \vec e_2 = 1</math>.
Daraus folgt (unter Vorwegnahme der weiter unten erläuterten Eigenschaften des Skalarproduktes)
:<math>
\begin{align}
\vec a \cdot \vec b &= (a_1 \vec e_1 + a_2 \vec e_2) \cdot (b_1 \vec e_1 + b_2 \vec e_2) \\
&= a_1 b_1 \vec e_1 \cdot \vec e_1 + a_1b_2 \vec e_1 \cdot \vec e_2 + a_2 b_1 \vec e_2 \cdot \vec e_1 + a_2 b_2 \vec e_2 \cdot \vec e_2 \\
&= a_1 b_1 + a_2 b_2.
\end{align}</math>
Im dreidimensionalen euklidischen Raum erhält man entsprechend für die Vektoren
:<math>\vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\a_3 \end{pmatrix}</math>&nbsp;&nbsp;und&nbsp;&nbsp;<math>\vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\b_3 \end{pmatrix}</math>
die Darstellung
:<math>\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\b_3 \end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.</math>
==== Beispielrechnung ====
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren
:<math>\vec a = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}</math>&nbsp;&nbsp;und&nbsp;&nbsp;<math>\vec b = \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}</math>
berechnet sich als
:<math>\vec a \cdot \vec b = 1 \cdot (-7) + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 9 = 36</math>.

=== Eigenschaften ===
Aus der geometrischen Definition ergibt sich direkt:
* Sind <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> parallel und gleichorientiert (<math>\varphi = 0^\circ</math>), so gilt
*:<math>\vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|.</math>
* Insbesondere ergibt das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst das Quadrat seiner Länge:
*:<math>\vec a \cdot \vec a = \vert \vec a \vert^2 .</math>
* Hieraus folgt
*:<math>\vec a \cdot \vec a \geq 0 \quad </math> und <math>\quad \vec a \cdot \vec a = 0 \Longleftrightarrow \vec a = \vec 0 </math>.
* Sind <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> parallel und entgegengesetzt orientiert (<math>\varphi = 180^\circ</math>), so gilt
*:<math>\vec a \cdot \vec b = -|\vec a| |\vec b|.</math>
* <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> sind genau dann [[Orthogonalität|orthogonal]], wenn <math>\vec a \cdot \vec b = 0.</math>
* Ist <math>\sphericalangle(\vec a, \vec b)</math> ein spitzer Winkel, so gilt <math>\vec a \cdot \vec b > 0.</math>
* Ist <math>\sphericalangle(\vec a, \vec b)</math> ein [[stumpfer Winkel]], so gilt <math>\vec a \cdot \vec b < 0.</math>
* Für [[Einheitsvektor|Einheitsvektoren]] <math>\hat a, \hat b </math> gilt <math>\hat a \cdot \hat b = \cos \sphericalangle (\hat a, \hat b ) </math>.
* Für Vektoren <math>\vec e_i, \vec e_j</math> einer [[Orthonormalbasis]] gilt <math>\vec e_i \cdot \vec e_j = 1</math>, falls <math>i=j</math> und <math>\vec e_i \cdot \vec e_j = 0 </math>, falls <math>i \neq j</math>.
* <math>|\vec a \cdot \vec b|\leq |\vec a||\vec b|</math> ([[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]]) und <math>|\vec a \cdot \vec b| = |\vec a||\vec b| \iff \vec a , \vec b</math> sind linear abhängig.<ref>{{Literatur |Autor=Merziger, Wirth |Titel=Repetitorium höhere Mathematik |Datum=2010 |Seiten=128}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Arens et al. |Titel=Grundwissen Mathematikstudium |Datum=2021 |Seiten=237}}</ref>
Als Funktion, die jedem geordneten Paar <math>(\vec a, \vec b)</math> von Vektoren die reelle Zahl <math>\vec a \cdot \vec b</math> zuordnet, hat das Skalarprodukt folgende Eigenschaften, die man von einer Multiplikation erwartet:
# Es ist [[Symmetrische Funktion|symmetrisch]] (''Kommutativgesetz''):
#:<math>\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a</math> für alle Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math>.
# Es ist [[Homogene Funktion|homogen]] in jedem Argument (''gemischtes Assoziativgesetz''):
#:<math>(r \vec a) \cdot \vec b = r\, (\vec a \cdot \vec b) = \vec a \cdot (r \vec b)</math> für alle Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> und alle Skalare <math>r \in \R</math>.
# Es ist [[Additivität|additiv]] in jedem Argument (''gemischte Distributivgesetze''):
#:<math>\vec a \cdot (\vec b + \vec c) = \vec a \cdot \vec b + \vec a \cdot \vec c</math> und
#:<math>(\vec a + \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot \vec c + \vec b \cdot \vec c</math> für alle Vektoren <math>\vec a,</math> <math>\vec b</math> und <math>\vec c.</math>
Die Eigenschaften 2 und 3 bedeuten, dass das Skalarprodukt [[Lineare Abbildung|linear]] in beiden Argumenten ist, also [[bilinear]].

Die Bezeichnung ''gemischtes Assoziativgesetz'' für die 2. Eigenschaft verdeutlicht, dass dabei ein Skalar und zwei Vektoren so verknüpft werden, dass die Klammern wie beim Assoziativgesetz verschoben werden können.
Da das Skalarprodukt keine ''innere'' Verknüpfung ist, ist ein Skalarprodukt von drei Vektoren nicht definiert, daher stellt sich die Frage nach einer echten Assoziativität nicht. Im Ausdruck <math>(\vec a \cdot \vec b) \, \vec c</math> ist nur die erste Multiplikation ein Skalarprodukt von zwei Vektoren, die zweite ist das Produkt eines Skalars mit einem Vektor ([[Skalarmultiplikation|S-Multiplikation]]). Der Ausdruck stellt einen Vektor dar, ein Vielfaches des Vektors <math>\vec c.</math> Hingegen stellt der Ausdruck <math>\vec a \, (\vec b \cdot \vec c)</math> ein Vielfaches von <math>\vec a</math> dar. Im Allgemeinen gilt also
:<math>(\vec a \cdot \vec b) \, \vec c \ne \vec a \, (\vec b \cdot \vec c).</math>

=== Beziehung zum Kreuzprodukt ===
Für die Verbindung vom Skalarprodukt mit dem [[Kreuzprodukt]] gelten die folgenden Rechenregeln:<ref>{{Literatur |Autor=Liesen, Mehrmann |Titel=Lineare Algebra |Datum= |Seiten=168}}</ref>
* <math>( \vec a \times \vec b ) \cdot \vec c =  \vec a \cdot ( \vec b \times \vec c )</math>
* <math>( \vec a \times \vec b ) \cdot \vec c = -( \vec b \times \vec a ) \cdot \vec c</math>
* <math>( \vec a \times \vec b ) \cdot \vec a =  ( \vec a \times \vec b ) \cdot \vec b = 0</math>
* <math>( \vec a \times \vec b ) \cdot ( \vec a \times \vec b ) = ( \vec a \cdot \vec a ) ( \vec b \cdot \vec b ) - ( \vec a \cdot \vec b )^2</math>
Die Kombination aus Kreuzprodukt und Skalarprodukt der ersten beiden Regeln nennt man auch [[Spatprodukt]]; es ergibt das [[Orientierung (Mathematik)|orientierte]] [[Volumen]] des durch die drei [[Vektor]]en <math>\vec a, \vec b, \vec c</math> aufgespannten [[Parallelepiped]]s.

=== Anwendungen ===

==== Betrag von Vektoren und eingeschlossener Winkel ====
Indem man die geometrische Definition mit der Koordinatendarstellung kombiniert, kann man die Länge (den Betrag) eines Vektors und den von zwei Vektoren eingeschlossenen Winkel aus den Koordinaten der Vektoren berechnen:

Für einen Vektor <math>\vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}</math> des zweidimensionalen Raumes gilt
:<math>| \vec a | = \sqrt{\vec a \cdot \vec a} =\sqrt{\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}}= \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2}.</math>
Man erkennt hier den [[Satz des Pythagoras]] wieder.
Im dreidimensionalen Raum gilt für <math>\vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\a_3 \end{pmatrix}</math> entsprechend
:<math>| \vec a | = \sqrt{\vec a \cdot \vec a} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}.</math>
Zur Berechnung des eingeschlossenen Winkels zwischen zwei Vektoren <math>\vec a, \vec b \neq 0</math> stellt man die Definitionsgleichung nach <math>\cos \sphericalangle (\vec a, \vec b)</math> um:
:<math>\cos \sphericalangle(\vec a, \vec b) = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| |\vec b|}.</math>
Die einzelnen Bestandteile <math>\vec a \cdot \vec b, |\vec a|</math> und <math>|\vec b|</math> kann man mit den entsprechenden Formeln für die kartesischen Koordinaten berechnen. Um den Winkel <math>\varphi =\sphericalangle(\vec a, \vec b)</math> zu erhalten, muss man noch den [[Arkussinus und Arkuskosinus|Arkuskosinus]] auf das Ergebnis der Rechnung anwenden:
:<math> \varphi = \arccos \left(\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|}\right) </math> .

===== Beispielrechnung =====
Die Vektoren
:<math>\vec a = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}</math>&nbsp;&nbsp;und&nbsp;&nbsp;<math>\vec b = \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}</math>
haben die Länge
:<math>|\vec a| = \sqrt{1^2+2^2+3^2} = \sqrt{14} \approx 3{,}74</math> und <math>|\vec b| = \sqrt{(-7)^2+8^2+9^2} = \sqrt{194} \approx 13{,}93.</math>

Der Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels berechnet sich mit <math>\vec a \cdot \vec b = 1 \cdot (-7)+2\cdot 8 + 3 \cdot 9 = 36 </math> zu
:<math>\cos \sphericalangle(\vec a, \vec b) = \frac{36}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{194}} \approx 0{,}691.</math>
Somit ist <math>\sphericalangle(\vec a, \vec b) = \arccos \left(\frac{36}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{194}}\right)\approx 46{,}3^\circ.</math>

==== Orthogonalität und orthogonale Projektion ====
[[Datei:Projektion mittels Skalarprodukt.svg|mini|Der Vektor <math>\vec b_{\vec a}</math> ist die orthogonale Projektion von <math>\vec b</math> auf die Richtung von <math>\vec a</math>.]]
{{Hauptartikel|Orthogonalprojektion|}}
Mithilfe des Skalarprodukts lässt sich die orthogonale Projektion von <math>\vec b</math> auf die durch den Vektor <math>\vec a \neq \vec 0</math> gegebene Richtung ausdrücken:
:<math>\vec b_\vec a = b_a \frac{\vec a}{|\vec a|}=\frac{\vec b \cdot \vec a}{|\vec a|^2} \, \vec a.</math>
Die Projektion <math>\vec b_{\vec a}</math> ist der Vektor, dessen Endpunkt der Lotfußpunkt vom Endpunkt von <math>\vec b</math> auf die durch <math>\vec a</math> bestimmte [[Ursprungsgerade]] ist. Der Vektor <math>\vec b - \vec b_{\vec a}</math> steht senkrecht auf <math>\vec a.</math><ref>{{Literatur |Autor=Merziger, Wirth |Titel=Repetitorium höhere Mathematik |Datum=2010 |Seiten=131}}</ref> Bei der Projektion von <math>\vec b</math> auf einen [[Einheitsvektor]] <math>\vec e</math> (d.&nbsp;h. <math>|\vec e| = 1</math>) vereinfacht sich die Formel zu
:<math>\vec b_{\vec e} = b_a \vec e = (\vec b \cdot \vec e) \, \vec e.</math>
Folglich gibt <math>\vec b \cdot \vec e</math> die vorzeichenbehaftete Länge des orthogonal auf <math>\vec e</math> projizierten Vektors <math>\vec b</math> an.<ref>{{Literatur |Autor=Arens et al. |Titel=Grundwissen Mathematikstudium |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum=2021 |ISBN= |Seiten=235 |Abruf=}}</ref>[[Datei:Dot-product-5.svg|mini|Kosinussatz mit Vektoren]]

==== Hilfsmittel für elementargeometrische Beweise ====
Mithilfe des Skalarprodukts lassen sich elementargeometrische Sätze, in denen von Winkeln die Rede ist, auf elegante Art beweisen. Dazu müssen zunächst die Voraussetzungen und die Behauptung des Satzes in die Vektorsprache übersetzt werden.<ref>{{Literatur |Titel=Analytische Geometrie: Lehrbuch für die Sekundarstufe II; Gymnasium. Leistungskurs |Auflage=1. |Verlag=Volk und Wissen |Ort=Berlin |Datum=2000 |ISBN=3-06-001173-7 |Seiten=173}}</ref>

''Behauptung: ([[Kosinussatz]])''
:<math>c^2=a^2+b^2-2 a b\cos\gamma.</math>
''Beweis:'' Mit Hilfe der eingezeichneten Vektoren folgt <math>\vec c = -\vec b + \vec a.</math> (Die Richtung von <math>\vec c</math> ist unerheblich.) Quadrieren des Betrags ergibt
:<math>|\vec c|^2 = \vec c \cdot \vec c = (\vec a-\vec b)\cdot(\vec a - \vec b) = \vec a \cdot \vec a - 2\, \vec a\cdot \vec b + \vec b\cdot \vec b = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2\,\vec a \cdot \vec b</math>
und damit
:<math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos \gamma.</math>

==== Beschreibung von Geraden und (Hyper-)Ebenen ====
Mit Hilfe des Skalarprodukts, eines Stützvektors <math>\vec p</math> und eines [[Normalenvektor|Normalenvektors]] <math>\vec n</math> lassen sich Geraden in der Ebene, Ebenen im dreidimensionalen Raum oder allgemein [[Hyperebene|Hyperebenen]] darstellen, und zwar in der sogenannten [[Normalenform]]:
:<math>( \vec x - \vec p ) \cdot \vec n = 0</math>
Eine Gerade, Ebene bzw. Hyperebene besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren <math>\vec x</math> die Gleichung erfüllen.
Im Gegensatz zur [[Parameterform|Punktrichtungsform]] handelt es sich hierbei um eine Gleichung ohne Parameter.

==== In der Physik ====
[[Datei:Dot-product-4.svg|mini|hochkant=1.75|Beispiel schiefe Ebene]]

In der [[Physik]] sind viele [[Physikalische Größe|Größen]] durch das Skalarprodukt definiert, wie zum Beispiel die [[Arbeit (Physik)|Arbeit]] <math>W</math>:
:<math>W=\vec F \cdot \vec s = |\vec F| |\vec s| \cos \varphi = F_s \cdot s = F \cdot h</math>
mit den vektoriellen Größen [[Kraft]] <math>\vec F</math> und [[Weg (Physik)|Weg]] <math>\vec s</math>. Dabei bezeichnet <math>\varphi</math> den Winkel zwischen der Richtung der Kraft und der Richtung des Weges. Mit <math>F_s</math> wird die Komponente der Kraft in Richtung des Weges bezeichnet, mit <math>h</math> die Komponente des Weges in Richtung der Kraft.

''Beispiel:'' Ein Wagen des Gewichts <math>F</math> wird über eine schiefe Ebene von <math>A</math> nach <math>B</math> transportiert. Die Hubarbeit <math>W</math> berechnet sich zu
:<math>
\begin{align}
 W &= \vec F \cdot \vec s = F \cdot h = F \cdot s \cdot \cos \varphi \\
   &= 5\,\mathrm N \cdot 3\,\mathrm m \cdot \cos 63^\circ = 6{,}81 \,\mathrm J.
\end{align}
</math>

== In allgemeinen reellen und komplexen Vektorräumen ==
Man nimmt die obigen Eigenschaften zum Anlass, den Begriff des Skalarprodukts auf beliebige reelle und [[Komplexe Zahl|komplexe]] [[Vektorraum|Vektorräume]] zu verallgemeinern. Ein Skalarprodukt ist dann eine Funktion, die zwei Vektoren ein Körperelement (Skalar) zuordnet und die genannten Eigenschaften erfüllt. Im komplexen Fall modifiziert man dabei die Bedingung der Symmetrie und der Bilinearität, um die Positivdefinitheit zu retten (die für komplexe symmetrische Bilinearformen nie erfüllt ist).

In der allgemeinen Theorie werden die Variablen für Vektoren, also Elemente eines beliebigen Vektorraums, im Allgemeinen nicht durch Pfeile gekennzeichnet. Das Skalarprodukt wird meist nicht durch einen Malpunkt, sondern durch ein Paar von spitzen Klammern bezeichnet. Für das Skalarprodukt der Vektoren <math>x</math> und <math>y</math> schreibt man also <math>\langle x, y \rangle</math>. Andere gebräuchliche Notationen sind <math>\langle x | y \rangle</math> (vor allem in der [[Quantenmechanik]] in Form der [[Bra-Ket]]-Notation), <math>(x,y)</math> und <math>(x|y)</math>.

=== Definition (Axiomatik) ===
Ein ''Skalarprodukt'' oder ''inneres Produkt'' auf einem reellen Vektorraum <math>V</math> ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform <math>\langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon V\times V\to\R,</math> das heißt, für <math>x,y,z\in V</math> und <math>\lambda\in\R</math> gelten die folgenden Bedingungen:
# linear in jedem der beiden Argumente:
#*<math>\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle</math>
#*<math>\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle</math>
#*<math>\langle \lambda x, y\rangle= \lambda\langle x,y\rangle</math>
#*<math>\langle x, \lambda y\rangle= \lambda\langle x,y\rangle</math>
# symmetrisch: <math>\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle</math>
# positiv definit:
#*<math>\langle x,x\rangle\geq0</math>
#*<math>\langle x,x\rangle=0</math> genau dann, wenn <math>x=0</math>

Ein ''Skalarprodukt'' oder ''inneres Produkt'' auf einem komplexen Vektorraum <math>V</math> ist eine [[positiv definit]]e [[hermitesche Sesquilinearform]] <math>\langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon V\times V\to\mathbb C,</math> das heißt für <math>x,y,z\in V</math> und <math>\lambda\in\mathbb C</math> gelten die folgenden Bedingungen:
# sesquilinear:
#*<math>\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle</math>
#*<math>\langle \lambda x, y\rangle= \bar\lambda\langle x,y\rangle</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(semilinear im ersten Argument)
#*<math>\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle</math>
#*<math>\langle x, \lambda y\rangle= \lambda\langle x,y\rangle</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(linear im zweiten Argument)
 <!-- Bitte so lassen, siehe Artikel Sesquilinearform -->
# hermitesch: <math>\langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}</math>
# positiv definit:
#*<math>\langle x,x\rangle\geq0</math> (Dass <math>\langle x,x\rangle</math> reell ist, folgt aus Bedingung 2.)
#*<math>\langle x,x\rangle=0</math> genau dann, wenn <math>x=0</math>

Ein reeller oder komplexer Vektorraum, in dem ein Skalarprodukt definiert ist, heißt ''Skalarproduktraum'' oder ''[[Prähilbertraum]].'' Ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit Skalarprodukt wird auch ''euklidischer Vektorraum'' genannt, im komplexen Fall spricht man von einem ''unitären Vektorraum.'' Entsprechend wird das Skalarprodukt in einem euklidischen Vektorraum gelegentlich als ''euklidisches Skalarprodukt,'' das in einem unitären Vektorraum als ''unitäres Skalarprodukt'' bezeichnet. Die Bezeichnung „euklidisches Skalarprodukt“ wird aber auch speziell für das oben beschriebene geometrische Skalarprodukt oder das weiter unten beschriebene [[Standardskalarprodukt]] im <math>\R^n</math> benutzt.

; Anmerkungen
* Oft wird ''jede'' symmetrische Bilinearform bzw. jede hermitesche Sesquilinearform als Skalarprodukt bezeichnet; mit diesem Sprachgebrauch beschreiben die obigen Definitionen ''positiv definite Skalarprodukte.''
* Die beiden angegebenen Axiomensysteme sind nicht minimal. Im reellen Fall folgt aufgrund der Symmetrie die Linearität im ersten Argument aus der Linearität im zweiten Argument (und umgekehrt). Analog dazu folgt im komplexen Fall aufgrund der Hermitezität die Semilinearität im ersten Argument aus der Linearität im zweiten Argument (und umgekehrt).
* Im komplexen Fall wird das Skalarprodukt manchmal alternativ, nämlich als linear im ersten und semilinear im zweiten Argument definiert. Diese Version tritt bevorzugt in der Mathematik und insbesondere in der [[Analysis]] auf, während in der Physik überwiegend die obige Version benutzt wird (siehe [[Bra-Ket|Bra- und Ket-Vektoren]]). Der Unterschied beider Versionen liegt in den Auswirkungen der [[Skalarmultiplikation]] hinsichtlich der [[Lineare Abbildung#Definition|Homogenität]]. Nach der Alternativversion gilt für <math>x,y\in V</math> und <math>\lambda\in\mathbb C</math> &nbsp; <math>\langle \lambda x, y\rangle= \lambda \langle x,y \rangle</math> und <math>\langle x, \lambda y \rangle= \bar\lambda\langle x, y\rangle</math>. Die [[Lineare Abbildung#Definition|Additivität]] wird in beiden Versionen gleich verstanden. Ebenso sind die nach beiden Versionen aus dem Skalarprodukt gewonnenen [[Norm (Mathematik)|Normen]] identisch.<ref name="Rudin">{{Literatur |Autor=[[Walter Rudin]] |Titel=Reelle und komplexe Analysis |Auflage=2. verbesserte |Verlag=Oldenbourg Wissenschaftsverlag |Ort=München |Datum=2009 |ISBN=978-3-486-59186-6 |Seiten=91}}</ref>
* Ein Prähilbertraum, der [[Vollständiger Raum|vollständig]] bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten [[Norm (Mathematik)|Norm]] ist, wird als [[Hilbertraum]] bezeichnet.
* Die Unterscheidung zwischen reellem und komplexem Vektorraum bei der Definition des Skalarprodukts ist nicht zwingend notwendig, da eine hermitesche Sesquilinearform im Reellen einer symmetrischen Bilinearform entspricht.

=== Beispiele ===
==== Standardskalarprodukt im R<sup>''n''</sup> und im C<sup>''n''</sup> ====
{{Hauptartikel|Standardskalarprodukt}}

Ausgehend von der Darstellung des euklidischen Skalarprodukts in kartesischen Koordinaten definiert man in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] das Standardskalarprodukt im <math>n</math>-dimensionalen [[Koordinatenraum]] <math>\R^n</math> für <math>x, y\in \R^n</math> durch
:<math>\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i = x_1{y_1} + x_2{y_2} + \dotsb + x_n{y_n}.</math>
Das oben behandelte „geometrische“ Skalarprodukt im euklidischen Raum entspricht so dem Spezialfall <math>n=3.</math> Im Fall des <math>n</math>-dimensionalen komplexen Vektorraums <math>\Complex^n</math> definiert man das Standardskalarprodukt für <math>x, y\in \mathbb C^n</math> durch
:<math>\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n \overline{x_i} y_i = \overline{x_1} y_1 + \overline{x_2} y_2 + \dotsb + \overline{x_n} y_n,</math>
wobei der Überstrich die [[komplexe Konjugation]] bedeutet. In der Mathematik ist häufig auch die alternative Version gebräuchlich, bei der das zweite Argument statt des ersten konjugiert wird.

Das Standardskalarprodukt im <math>\R^n</math> bzw. <math>\Complex^n</math> lässt sich auch als [[Matrixprodukt|Matrizenprodukt]] schreiben, indem man den Vektor als <math>n \times 1</math>-Matrix ([[Spaltenvektor]]) interpretiert: Im reellen Fall gilt
:<math>\langle x, y\rangle = x^\mathsf{T}y = y^\mathsf{T}x,</math>
wobei <math>{x}^\mathsf{T}</math> der [[Zeilenvektor]] ist, der aus dem Spaltenvektor <math>x</math> durch [[Transponierte Matrix|Transponieren]] hervorgeht. Im komplexen Fall gilt (für den links semilinearen, rechts linearen Fall)
:<math>\langle x, y\rangle = x^\mathsf{H}y,</math>
wobei <math>x^\mathsf{H}</math> der zu <math>x</math> [[Adjungierte Matrix|hermitesch adjungierte]] Zeilenvektor ist.

==== Allgemeine Skalarprodukte im R<sup>''n''</sup> und im C<sup>''n''</sup> ====
Allgemeiner definiert im reellen Fall jede [[Symmetrische Matrix|symmetrische]] und [[Definitheit|positiv definite]] [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A</math> über
:<math>\langle x, y\rangle_A = x^\mathsf{T} A y = \langle x, Ay \rangle</math>
ein Skalarprodukt; ebenso wird im komplexen Fall für jede positiv definite [[hermitesche Matrix]] <math>A</math> über
:<math>\langle x, y\rangle_A = x^\mathsf{H} A y = \langle x, Ay \rangle</math>
ein Skalarprodukt definiert. Hier bezeichnen die spitzen Klammern auf der rechten Seite das Standardskalarprodukt, die spitzen Klammern mit dem Index <math>A</math> auf der linken Seite das durch die Matrix <math>A</math> definierte Skalarprodukt.

Jedes Skalarprodukt auf <math>\R^n</math> bzw. <math>\Complex^n</math> lässt sich auf diese Art durch eine positiv definite symmetrische Matrix (bzw. positiv definite hermitesche Matrix) darstellen.

==== ''L''<sup>2</sup>-Skalarprodukt für Funktionen ====
{{Hauptartikel|L²-Skalarprodukt}}

Auf dem unendlichdimensionalen Vektorraum <math>C^0([a,b],\R)</math> der [[Stetige Funktion|stetigen]] reellwertigen [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] auf dem Intervall <math>[a,b]</math> ist das <math>L^2</math>-Skalarprodukt durch
:<math>\langle f, g \rangle_{L^2} = \int_a^b f(x) g(x) \, \mathrm dx , </math>
für alle <math>f, g \in C^0([a,b],\R)</math>, definiert. Die Voraussetzung der Stetigkeit kann dabei abgeschwächt werden (siehe [[Lp-Raum]]), denn bspw. ist das ''L''<sup>2</sup>-Skalarprodukt auch für Treppenfunktionen wohldefiniert.

Des Weiteren lässt sich auch ein Skalarprodukt (<math>H^1</math>-Skalarprodukt) definieren bei dem zusätzlich Ableitungsterme hinzukommen:
:<math>\langle f, g \rangle_{H^1} = \langle f, g \rangle_{L^2} + \langle f', g' \rangle_{L^2} </math>
für alle <math>f, g \in C^1([a,b],\R)</math>. Auch hier kann die Voraussetzung der Differenzierbarkeit abgeschwächt werden (siehe [[Sobolev-Raum]]).

==== Frobenius-Skalarprodukt für Matrizen ====
{{Hauptartikel|Frobenius-Skalarprodukt}}

Auf dem [[Matrizenraum]] <math>\R^{m \times n}</math> der reellen <math>(m\times n)</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] wird für <math>A,B \in \R^{m \times n}</math> durch

:<math>\langle A, B \rangle = \operatorname{spur}\left(A^\mathsf{T} B\right) = \sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n a_{ij} b_{ij}</math>

ein Skalarprodukt definiert. Entsprechend wird auf dem Raum <math>\Complex^{m \times n}</math> der komplexen <math>(m\times n)</math>-Matrizen für <math>A,B \in \Complex^{m \times n}</math> durch

:<math>\langle A, B \rangle = \operatorname{spur}\left(A^\mathsf{H} B\right) = \sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n \bar a_{ij} b_{ij}</math>

ein Skalarprodukt definiert. Dieses Skalarprodukt wird Frobenius-Skalarprodukt genannt und die dazugehörige Norm heißt [[Frobeniusnorm]].

=== Norm, Winkel und Orthogonalität ===
Der Länge eines Vektors im euklidischen Raum entspricht in allgemeinen [[Skalarproduktraum|Skalarprodukträumen]] die vom Skalarprodukt [[Skalarproduktnorm|induzierte Norm]]. Man definiert diese [[Norm (Mathematik)|Norm]], indem man die Formel für die Länge aus dem euklidischen Raum überträgt, als die Wurzel des Skalarprodukts des Vektors mit sich selbst:
:<math>\| x \| = \sqrt{\langle x, x\rangle}</math>
Dies ist möglich, da <math>\langle x, x\rangle</math> aufgrund der positiven Definitheit nicht negativ ist. Die als [[Norm (Mathematik)#Definition|Normaxiom]] geforderte [[Dreiecksungleichung#Für Vektoren|Dreiecksungleichung]] folgt dabei aus der [[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzschen Ungleichung]]
:<math>\left|\langle x, y \rangle\right|^2 \leq \langle x, x\rangle \cdot \langle y, y\rangle.</math>
Sind <math>x,y\neq 0,</math> so kann diese Ungleichung zu
:<math>\left|\frac{\langle x, y \rangle}{\sqrt{\langle x, x\rangle} \cdot \sqrt{\langle y, y\rangle}}\right|\leq 1</math>
umgeformt werden. Daher lässt sich auch in allgemeinen reellen Vektorräumen mittels
:<math>\varphi =\arccos\frac{\langle x, y \rangle}{\sqrt{\langle x, x\rangle} \cdot \sqrt{\langle y, y\rangle}}</math>
der Winkel <math>\varphi</math> zweier Vektoren definieren. Der so definierte Winkel liegt zwischen 0° und 180°, also zwischen 0 und <math>\pi.</math> Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur |Autor=Klaus Scharnhorst |Titel=Angles in complex vector spaces |Sammelwerk=Acta Applicandae Math. |Band=69 |Datum=2001 |Seiten=95–103}}</ref>

Auch im allgemeinen Fall nennt man Vektoren, deren Skalarprodukt gleich Null ist, orthogonal:
:<math>x \perp y \Longleftrightarrow \langle x, y \rangle = 0</math>

=== Matrixdarstellung ===
Ist <math>V</math> ein <math>n</math>-dimensionaler Vektorraum und <math>B = (b_1, \dotsc, b_n)</math> eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] von <math>V,</math> so kann jedes Skalarprodukt <math>\langle {\cdot}, {\cdot}\rangle</math> auf <math>V</math> durch eine (<math>n \times n</math>)-[[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>G,</math> die ''[[Gramsche Matrix]]'' des Skalarprodukts, beschrieben werden. Ihre Einträge sind die Skalarprodukte der Basisvektoren:
:<math>G = (g_{ij})_{i, j = 1, \dotsc, n}</math> &nbsp; mit &nbsp; <math>g_{ij} = \langle b_i, b_j \rangle</math> &nbsp; für <math>i, j = 1, \dotsc, n</math>
Das Skalarprodukt lässt sich dann mit Hilfe der Basis darstellen:
Haben die Vektoren <math>x, y \in V</math> bezüglich der Basis <math>B</math> die Darstellung
:<math>x = \sum_{i = 1}^n x_i b_i</math> &nbsp; und &nbsp; <math>y = \sum_{j = 1}^n y_j b_j,</math>
so gilt im reellen Fall
:<math>\langle x,y \rangle =
\left\langle \sum\limits_{i = 1}^n x_i b_i, \sum\limits_{j = 1}^n y_j b_j \right\rangle =
\sum\limits_{i = 1}^n \sum\limits_{j = 1}^n x_i y_j \langle b_i, b_j \rangle =
\sum\limits_{i,j = 1}^n x_i y_j g_{ij}.</math>
Bezeichnet man mit <math>x_B, y_B \in \R^n</math> die Koordinatenvektoren
:<math>x_B = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\x_n \end{pmatrix}</math> &nbsp; und &nbsp; <math>y_B = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\y_n \end{pmatrix},</math>
so gilt also
:<math>\langle x,y \rangle = \sum\limits_{i,j = 1}^n x_i g_{ij} y_j =
\begin{pmatrix} x_1 & \dots & x_n \end{pmatrix} \,
\begin{pmatrix} g_{11} & \dots & g_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ g_{n1} & \dots & g_{nn} \end{pmatrix} \,
\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\y_n \end{pmatrix} = x_B{}^\mathsf{T} G y_B,</math>
wobei das [[Matrixprodukt]] eine <math>(1\times 1)</math>-Matrix liefert, also eine reelle Zahl. Mit <math>x_B{}^\mathsf{T}</math> wird der [[Zeilenvektor]] bezeichnet, der durch [[Transponierte Matrix|Transponieren]] aus dem [[Spaltenvektor]] <math>x_B</math> entsteht.

Im komplexen Fall gilt entsprechend
:<math>\langle x, y \rangle = \sum\limits_{i,j = 1}^n \overline x_i g_{ij} y_j =
\begin{pmatrix} \overline x_1 & \dots & \overline x_n \end{pmatrix} \,
\begin{pmatrix} g_{11} & \dots & g_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ g_{n1} & \dots & g_{nn} \end{pmatrix} \,
\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\y_n \end{pmatrix} = x_B{}^\mathsf{H} G y_B,</math>
wobei der Überstrich [[komplexe Konjugation]] bezeichnet und <math>x_B{}^\mathsf{H}</math> der zu <math>x_B</math> [[Adjungierte Matrix|adjungierte]] Zeilenvektor ist.

Ist <math>B</math> eine [[Orthonormalbasis]], das heißt, gilt <math>\langle b_i, b_i \rangle = 1</math> für alle <math>i</math> und <math>\langle b_i, b_j \rangle = 0</math> für alle <math>i \ne j,</math> so ist <math>G</math> die [[Einheitsmatrix]], und es gilt
:<math>\langle x, y \rangle = \sum_{i = 1}^n x_i y_i = x_B{}^\mathsf{T} y_B</math>
im reellen Fall und
:<math>\langle x, y \rangle = \sum_{i = 1}^n \overline x_i y_i = x_B{}^\mathsf{H} y_B</math>
im komplexen Fall.
Bezüglich einer Orthonormalbasis entspricht das Skalarprodukt von <math>x</math> und <math>y \in V</math> also dem [[Standardskalarprodukt]] der Koordinatenvektoren <math>x_B</math> und <math>y_B \in \R^n</math> bzw. <math>\Complex^n.</math>

== {{Anker|Pseudoskalarprodukt}}Verallgemeinerung ==
Als ''Pseudoskalarprodukt'' bezeichnet man eine im Allgemeinen nicht [[positiv definit]]e [[Bilinearform#symmetrisch|symmetrische Bilinearform]].
Ein Beispiel dafür ist der [[Minkowski-Raum|Minkowski-Vektorraum]] der [[Spezielle Relativitätstheorie|Speziellen Relativitätstheorie]], der als [[Tangentialraum]] auch in der [[Gravitationstheorie]] (Allgemeine Relativitätstheorie) auftritt.

== Siehe auch ==
* [[Quaternion#Skalarprodukt|Quaternion]]
* [[Semi-inneres Produkt]]
* [[Duale Paarung]]

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]
   |Titel=Lineare Algebra
   |Auflage=15Verlag= Vieweg Verlag
   |Datum=2003
   |ISBN=3-528-03217-0}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Walter Rudin]]
   |Titel=Reelle und komplexe Analysis
   |Auflage=2. verbesserte
   |Verlag=Oldenbourg Wissenschaftsverlag
   |Ort=München
   |Datum=2009
   |ISBN=978-3-486-59186-6}}
* {{Literatur
   |Autor=I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew
   |Titel=[[Taschenbuch der Mathematik]]
   |Auflage=5.
   |Verlag=Verlag Harri Deutsch
   |Ort=Thun/Frankfurt am Main
   |Datum=2001
   |ISBN=3-8171-2005-2
   |Seiten=189–193}}
* {{Literatur
   |Autor=Gerhard Merziger, Thomas Wirth
   |Titel=Repetitorium höhere Mathematik
   |Auflage=6.
   |Verlag=Binomi-Verlag
   |Ort=Hannover
   |Datum=2010
   |ISBN=978-3-923923-34-2
   |Seiten=127–132}}
* {{Literatur |Autor=Peter Knabner, Wolf Barth |Titel=Lineare Algebra |Verlag=Springer Spektrum |Datum=2012 |ISBN=978-3-662-55599-6}}

* Tilo Arens, Rolf Busam, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel, Klaus Lichtenegger: ''Grundwissen Mathematikstudium''. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2021, ISBN 978-3-662-63312-0, S. 232–238.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Scalar product|Skalarprodukt}}
* [https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/mathematik/unterrichtsmaterialien/sekundarstufe2/linalg/skp Informationen und Materialien zum Skalarprodukt für die gymnasiale Oberstufe] Landesbildungsserver Baden-Württemberg
* {{TIBAV |9742 |Linktext=Skalarprodukt |Herausgeber=Loviscach |Jahr=2010 |DOI=10.5446/9742}}
* {{TIBAV |9929 |Linktext=Skalarprodukt und Vektorprodukt |Herausgeber=Loviscach |Jahr=2011 |DOI=10.5446/9929}}
* {{TIBAV |10212 |Linktext=Skalarprodukt, Teil 1 |Herausgeber=Loviscach |Jahr=2011 |DOI=10.5446/10212}}
* {{TIBAV |10213 |Linktext=Skalarprodukt Teil 2, Orthogonalität |Herausgeber=Loviscach |Jahr=2011 |DOI=10.5446/10213}}
* {{TIBAV |17886 |Linktext=Von Vektoren und ihrem Skalarprodukt – Vektorrechnung Teil 1 |Herausgeber=Lauth |Jahr=2013 |DOI=10.5446/17886}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Analytische Geometrie]]