Quelltext der Seite Simpson-Paradoxon

[[Datei:Simpsons-vector.svg|mini|Grafische Darstellung des Simpson-Paradoxons: von den mit 1 beschrifteten Vektoren hat der rote die größere Steigung, genau wie bei den mit 2 beschrifteten. Trotzdem hat die [[Vektorsumme]] der roten Vektoren eine kleinere Steigung als die der blauen.]]
[[Datei:Simpson's paradox continuous.svg|mini|Das Simpson-Paradoxon: Ein jeweils positiver Trend für <math>y(x)</math> liegt vor, falls man die beiden unterschiedlich colorierten Gruppen einzeln betrachtet. Werden die beiden Gruppen zusammen betrachtet, so liegt ein negativer Trend vor.]]

Das '''Simpson-Paradoxon''' (auch '''simpsonsches Paradoxon''' oder '''Simpson’sches Paradoxon''', benannt nach [[Edward Hugh Simpson]]) ist ein [[Paradoxon]] aus der [[Statistik]]. Dabei scheint es, dass die Bewertung verschiedener Gruppen unterschiedlich ausfällt, je nachdem ob man die Ergebnisse der Gruppen kombiniert oder nicht. Dieses Phänomen tritt auf, wenn [[Störvariable]]n in der statistischen Analyse nicht betrachtet werden. Durch die Nichtbeachtung der Gruppen kommt es zu einer [[Scheinkorrelation]].

Das Simpson-Paradoxon ist möglich, wenn mehrere [[Vierfeldertafel]]n mit einem [[Chancenverhältnis]] kleiner (größer) als 1 zu einer Gesamttafel zusammengefasst werden, die einen Chancenquotienten größer (kleiner) als 1 aufweist.

Ein Weg mit dem Simpson-Paradoxon umzugehen ist es, [[One-Hot-Kodierung|One-Hot kodierte]] Variablen zur Beschreibung der Cluster in die [[Datenmatrix]] einzufügen oder ein [[Fixed-Effect Modell]] zu fitten<ref>https://bookdown.org/anshul302/HE902-MGHIHP-Spring2020/Simpson.html</ref>.

== Geschichte ==
[[Edward Hugh Simpson]] beschrieb das Phänomen 1951.<ref>{{Literatur |Titel=The Interpretation of Interaction in Contingency Tables |Autor=Edward Hugh Simpson |Datum=1951 |Sammelwerk=Journal of the Royal Statistical Society, Ser. B |Band=13 |Seiten=238–241|DOI=10.1111/j.2517-6161.1951.tb00088.x|JSTOR=2984065}}</ref> Er war aber nicht der Erste, der sich damit beschäftigte. So beschrieben bereits 1899 [[Karl Pearson]] et al.<ref>{{Literatur |Autor=Karl Pearson; Alice Lee; Leslie Bramley-Moore |Titel=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution – VI. Genetic (Reproductive) Selection:  Inheritance of Fertility in Man, and of Fecundity in Thoroughbred Race-Horses |Sammelwerk=Philosophical Transactions of the Royal Society, Series A |Band=Bd. 192 |Seiten=257–330 |Datum=1899 |DOI=10.1098/rsta.1899.0006}}</ref> und 1903 [[George Udny Yule]]<ref>{{Literatur |Titel=Notes on the Theory of Association of Attributes in Statistics |Autor=George Udny Yule |Datum=1903 |Sammelwerk=Biometrika |Band=2 |Seiten=121–134 |DOI=10.1093/biomet/2.2.121 |JSTOR=2331677}}</ref> einen ähnlichen Sachverhalt. Die Bezeichnung Simpson-Paradoxon ({{enS|Simpson’s Paradox}}) wurde vermutlich 1972 von Colin R. Blyth eingeführt.<ref>{{Literatur |Titel=On Simpson’s Paradox and the Sure-Thing Principle |Autor=Colin R. Blyth |Datum=1972 |Sammelwerk=Journal of the American Statistical Association |Band=67 |Nummer=338 |Seiten=364–366 |DOI=10.1080/01621459.1972.10482387 |JSTOR=2284382}}</ref>

== Ursache: Unentdeckte Einflussfaktoren ==
Liegen je nach Unterteilung der Daten deutlich unterschiedliche Ergebnisse vor, kann dies auf [[Störvariable|nicht erfasste Einflussfaktoren]] (Störvariablen) zurückgeführt werden. Wollen Auswertende mögliche [[Fehlschluss|Fehlschlüsse]] vermeiden, müssen sie diese Einflussfaktoren finden, soweit sie vorhanden sind. Das Vorliegen eines Simpson-Paradoxons kann hier als Indikator dienen.

Eine Methode für die Suche nach weiteren Einflussfaktoren ist die getrennte Auswertung von Teilgruppen, bei denen
* man spezifisches Verhalten erwartet (zum Beispiel das Krankheitsstadium der Patienten)
* [[Cluster (Datenanalyse)]] gefunden wurde<ref>https://www.frontiersin.org/articles/10.3389/fpsyg.2013.00513/full</ref>.

== Beispiele ==
=== Eine Prüfung ===
Eine Fahrschule hat zwei Prüfungstage mit folgenden Ergebnissen:

{| class="wikitable" border="1"
 |-class="hintergrundfarbe8"
 ! &nbsp;
 ! colspan="3" | männlich
 ! colspan="3" | weiblich
 |-class="hintergrundfarbe5"
 ! &nbsp;
 ! bestanden
 ! gesamt
 ! Durchfallquote
 ! bestanden
 ! gesamt
 ! Durchfallquote
 |-
 | class="hintergrundfarbe5"| 1. Tag
 | style="text-align:center" | 1
 | style="text-align:center" | 1
 | style="text-align:center" | 0 %
 | style="text-align:center" | 7
 | style="text-align:center" | 8
 | style="text-align:center" | 12,5 %
 |-
 | class="hintergrundfarbe5"| 2. Tag
 | style="text-align:center" | 2
 | style="text-align:center" | 3
 | style="text-align:center" | 33,3 %
 | style="text-align:center" | 1
 | style="text-align:center" | 2
 | style="text-align:center" | 50 %
 |-
 | class="hintergrundfarbe5"| Summe
 | style="text-align:center" | 3
 | style="text-align:center" | 4
 | style="text-align:center" | 25 %
 | style="text-align:center" | 8
 | style="text-align:center" | 10
 | style="text-align:center" | 20 %
 |}

Obwohl die Männer jeden Tag einzeln betrachtet jeweils eine geringere Durchfallquote als die Frauen haben, haben sie im Gesamtergebnis über beide Tage eine höhere.

Ursache ist der Umstand, dass die Einzelergebnisse mit unterschiedlichem Gewicht in das Gesamtergebnis eingehen. Das erkennt man leicht in der zahlenmäßig zugespitzten Variante der obigen Tabelle, die nachfolgend wiedergegeben wird:

{| class="wikitable" border="1"
 |-class="hintergrundfarbe8"
 ! &nbsp;
 ! colspan="3" | männlich
 ! colspan="3" | weiblich
 |-class="hintergrundfarbe5"
 ! &nbsp;
 ! bestanden
 ! gesamt
 ! Durchfallquote
 ! bestanden
 ! gesamt
 ! Durchfallquote
 |-
 | class="hintergrundfarbe5"| 1. Tag
 | style="text-align:center" | 1
 | style="text-align:center" | 1
 | style="text-align:center" | 0 %
 | style="text-align:center" | 999
 | style="text-align:center" | 1000
 | style="text-align:center" | 0,1 %
 |-
 | class="hintergrundfarbe5"| 2. Tag
 | style="text-align:center" | 2
 | style="text-align:center" | 3
 | style="text-align:center" | 33,3 %
 | style="text-align:center" | 1
 | style="text-align:center" | 2
 | style="text-align:center" | 50 %
 |-
 | class="hintergrundfarbe5"| Summe
 | style="text-align:center" | 3
 | style="text-align:center" | 4
 | style="text-align:center" | 25 %
 | style="text-align:center" | 1000
 | style="text-align:center" | 1002
 | style="text-align:center" | 0,2 %
 |}

=== Todesurteile für Mörder in Florida ===
Laut der folgenden Tabelle ist bei den schwarzen Angeklagten die [[Todesstrafe|Todesurteilquote]] niedriger als bei den weißen Angeklagten. Demnach lässt sich hier nicht auf eine Rassendiskriminierung schließen.

{| class="wikitable" border="1"
 |-class="hintergrundfarbe8"
! Hautfarbe des Angeklagten
! Todesurteil Ja / Nein
! Quote
|-
| class="hintergrundfarbe5"|schwarz
| 59 / 2448
| 2,4 %
|-
| class="hintergrundfarbe5"|weiß
| 72 / 2158
| 3,2 %
|}

Erweitert man jedoch diese Tabelle um die Anzahl der Opfer, aufgeschlüsselt nach Hautfarbe, so ergibt sich ein anderes Bild.

{| class="wikitable" border="1"
 |-class="hintergrundfarbe8"
! Hautfarbe des Angeklagten / des Opfers
! Todesurteil Ja / Nein
! Quote
|-
| class="hintergrundfarbe5"|schwarz / schwarz
| 11 / 2209
| 0,5 %
|-
| class="hintergrundfarbe5"|weiß / schwarz
| 0 / 111
| 0,0 %
|-
| class="hintergrundfarbe5"|schwarz / weiß
| 48 / 239
| 20,1 %
|-
| class="hintergrundfarbe5"|weiß / weiß
| 72 / 2047
| 3,4 %
|}

Gemäß der erweiterten Tabelle ist bei den schwarzen Angeklagten, wenn man deren weiße Opfer betrachtet, die Todesurteilquote deutlich höher als bei den weißen Angeklagten. Demnach lässt sich hier auf eine Rassendiskriminierung schließen.<ref>[[ Wolfgang König (Mathematiker)|Wolfgang König]]: ''Paradoxa in der Wahrscheinlichkeitsrechnung'', [[Universität Leipzig]], Vorlesungspräsentation vom 22. Oktober 2008, Seite 17, unter Bezugnahme auf das [[New York (Zeitschrift)|New York Magazine]] vom 11. März 1979: ''Todesurteile für Mörder in Florida''</ref>

=== Zulassungszahlen an der Universität Berkeley ===
Einer der bekanntesten Fälle des Simpson-Paradoxons zeigte sich in einer Studie zu Zulassungen zu Graduate Schools der [[University of California, Berkeley]]. Die Zahlen für Herbst 1973 zeigten, dass mehr Männer als Frauen zugelassen wurden&nbsp;–&nbsp;die Differenz war so groß, dass sie nicht mehr durch Zufall zu erklären war ([[Signifikanztest]]):

{| class="wikitable" border="1"
 |-class="hintergrundfarbe8"
!
! Bewerber
! davon zugelassen
|-
| class="hintergrundfarbe5"|Männer
| 8442
| '''44 %'''
|-
| class="hintergrundfarbe5"|Frauen
| 4321
| 35 %
|}

Ein Mann hat also eine 44-prozentige Chance, zum Studium zugelassen zu werden, eine Frau aber nur eine 35-prozentige.

Die Aufschlüsselung nach Fakultäten zeigte allerdings, dass Frauen nicht diskriminiert wurden. Im Gegenteil wurde eine schwache, aber [[Statistische Signifikanz|statistisch signifikante]], Bevorzugung der Frauen festgestellt<ref name="Bickel" />. Von 101 Departements der Universität hatten 16 nur erfolgreiche Bewerber oder nur Bewerber des einen Geschlechts. Bei den übrigen 85 Departements ergab sich dieses Bild:

* Bei vier Departements gab es bei Männern Erfolgsquoten, die in signifikanter Weise besser waren als jene der Frauen.
* Bei sechs Departements genossen Frauen eine signifikant bessere Erfolgsquote.

Ein [[Chi-Quadrat-Test]] zeigt eindrücklich, dass sich die Bewerbungen von Frauen und Männern von vorneherein nicht zufällig auf die 101 Departements verteilten (χ = 3091; p < 0,0001).

Dies führte zur Erklärung, dass keine Diskriminierung stattfand, sondern dass Frauen sich tendenziell dort bewarben, wo es für beide Geschlechter niedrigere Zulassungsraten gab, während Männer ihre Bewerbungen tendenziell dorthin sandten, wo es generell höhere Zulassungsraten gab. Die ursprüngliche Interpretation der Gesamterfolgsquote von 44 gegenüber 35 Prozent lässt dies außer Acht.<ref name="Bickel">P.&nbsp;J. Bickel; E.&nbsp;A. Hammel; J.&nbsp;W. O’Connell: ''[http://brenocon.com/science_1975_sex_bias_graduate_admissions_data_berkeley.pdf Sex Bias in Graduate Admissions: Data from Berkeley]''. In: ''[[Science]]'' 187 (1975), Nr.&nbsp;4175, S.&nbsp;398–404 {{DOI|10.1126/science.187.4175.398}}</ref>

== Siehe auch ==
* [[Verzerrung durch ausgelassene Variablen]]
* [[Partieller Korrelationskoeffizient]]
* [[Gemischtes Modell]]

== Literatur ==
* Hans-Peter Beck-Bornholdt: ''Mit an Wahrscheinlichkeit grenzender Sicherheit. Logisches Denken und Zufall.'' Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 2005, ISBN 3-499-61902-4.
* Thomas R. Knapp: ''Instances of Simpson’s paradox.'' In: ''College Mathematics Journal.'' Band 16 (1985), S. 209–211, {{DOI|10.1080/07468342.1985.11972882}}, {{JSTOR|2686573}}.
* Walter Krämer: ''Denkste! Trugschlüsse aus der Welt der Zahlen und des Zufalls.'' Piper Verlag, München 2011, ISBN 978-3-492-26460-0. Kapitel 7, S. 161–186 (Die Basis-Falle und andere Trugschlüsse aus bedingten Wahrscheinlichkeiten).
* Edward H. Simpson: ''The Interpretation of Interaction in Contingency Tables.'' In: ''Journal of the Royal Statistical Society. Series B.'' Vol. 13, No. 2, 1951, S. 238–241, {{DOI|10.1111/j.2517-6161.1951.tb00088.x}}, {{JSTOR|2984065}}.
* Clifford H. Wagner: ''Simpson’s Paradox in Real Life.'' In: ''[[The American Statistician]].'' Vol. 36, No. 1, 1982, S. 46–48, {{DOI|10.1080/00031305.1982.10482778}}, {{JSTOR|2684093}}.
* Howard Wainer: ''Minority contributions to the SAT score turnaround: an example of Simpson’s paradox.'' In: ''Journal of Educational Statistics.'' Band 11 (1986), S.&nbsp;239–244, {{DOI|10.3102/10769986011004239}}, {{JSTOR|1164696}}.

== Weblinks ==
* {{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/paradox-simpson/}}
* {{Literatur |Autor=[[Judea Pearl]] |Titel=Simpsons′s Paradox: An Anatomy |Verlag=University of California |Seiten=1–11 |Datum=1999 |Online=http://bayes.cs.ucla.edu/R264.pdf |Abruf=2007-10-16}}
* {{Literatur |Autor=Ulrich Kühne |Titel=Von Zahlen geblendet – Simpson-Paradox: Scheinbar klare Verhältnisse werden in ihr Gegenteil verkehrt. Eine Warnung vor dem naiven Vertrauen in Statistiken |Verlag=Der Freitag Nr. 42 |Seiten=18 |Datum=2009 |Online=http://www.freitag.de/wissen/0942-wissen-simpson-paradox-philosophie-mathematik |Abruf=2010-04-17}}
* {{Internetquelle |autor=Björn Christensen & Sören Christensen |url=http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/simpsons-paradoxon-diese-statistik-kann-nicht-stimmen-oder-doch-a-1068204.html |titel=Simpsons Paradoxon: Diese Statistik kann nicht stimmen. Oder doch? |werk=[[Spiegel Online]] |datum=2015-12-18 |zugriff=2019-05-20}}
* [[Manon Bischoff]]: ''Gegen jede Intuition.'' In: [[Spektrum der Wissenschaft]] vom 4. März 2022 [https://www.spektrum.de/kolumne/simpson-paradox-statistik-kann-in-die-irre-fuehren/1991776#Echobox=1646396596]

* [https://www.arte.tv/de/videos/107398-002-A/mathewelten/ Das Simpson-Paradoxon | Mathewelten | ARTE]

== Fußnoten und Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Paradoxon]]
[[Kategorie:Deskriptive Statistik]]
[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]