Quelltext der Seite Shapiro-Verzögerung

Die '''Shapiro-Verzögerung''', benannt nach [[Irwin I. Shapiro]], beschreibt den Einfluss großer Massen, wie beispielsweise die Masse der [[Sonne]] auf die Ausbreitung von Radar- und damit auch Lichtsignalen.<ref name="Shapiro1964">Irwin I. Shapiro: ''Fourth Test of General Relativity'' in ''Physical Review Letters'' 13 (1964), 789–791 {{DOI|10.1103/PhysRevLett.13.789}}</ref> Es handelt sich im Wesentlichen um eine Laufzeitverzögerung. Diese wurde von Shapiro im Jahr 1964 theoretisch vorhergesagt<ref name="Shapiro1964" /> und erstmals 1968<ref name="Shap1968">Irwin I. Shapiro et al.: ''Fourth Test of General Relativity: Preliminary Results''. In: ''[[Physical Review Letters]]'' 20, 1968, S.&nbsp;1265–1269.</ref> und 1971<ref name="Shap1971">Irwin I. Shapiro et al.: ''Fourth Test of General Relativity: New Radar Result''. In: ''Physical Review Letters'' 26, 1971, S.&nbsp;1132–1135</ref> nachgewiesen. 

Die Shapiro-Verzögerung ist auch vergleichbar mit dem [[Gravitationslinseneffekt]], bei dem Licht durch [[Gravitation]] in seiner Bahn abgelenkt wird. Gemäß [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeiner Relativitätstheorie]] liegt die Ursache der Shapiro-Verzögerung, wie auch des Gravitationslinseneffektes, in der Masse z.&nbsp;B. der Sonne, welche einen entsprechenden Einfluss auf die umgebende Struktur der [[Raumzeit]] ausübt.

== Status durchgeführter Experimente ==

In der Originalarbeit von Shapiro werden Radarsignale betrachtet, welche von der Erde in Richtung [[Venus (Planet)|Venus]] oder [[Merkur (Planet)|Merkur]] geschickt werden. Anhand des Nachweises der Reflexion des Signals an den Planeten kann die Laufzeit des Signals mit erhöhter Präzision gemessen werden. Da ursprünglich der Einfluss des Gravitationsfeldes der Sonne auf die Laufzeit des Radarsignals nachgewiesen werden sollte, wurde das Radarsignal möglichst nahe an der Sonne vorbei gesendet und die Laufzeit gemessen. Der kleine Unterschied im Vergleich zu dem berechneten Wert bei Abwesenheit des Gravitationsfelds der Sonne wird als Shapiro-Verzögerung bezeichnet. Die Messung des Laufzeitunterschiedes der Radarsignale gehört zu den [[Tests der allgemeinen Relativitätstheorie]].

Im ersten durchgeführten Experiment wurde die Zeitverschiebung mit Hilfe von Radarsignalen gemessen, die an der [[Venus (Planet)|Venus]] reflektiert wurden. Bei der ersten Messung befand sich die Venus dabei von der Erde aus gesehen eng neben der Sonne, so dass die Radarwellen sehr nahe den Sonnenrand passieren mussten. Die [[Messunsicherheit]] belief sich dabei anfangs noch auf mehrere Prozent. Bei wiederholten Messungen und später auch durch Messungen mit Hilfe von Raumsonden ([[Mariner]], [[Viking]]) anstelle der Venus konnte die [[Messabweichung|Messgenauigkeit]] auf 0,1 % gesteigert werden.

Die bisher genaueste Messung des Effekts gelang 2002 bei der Konjunktion der Raumsonde [[Cassini-Huygens|Cassini]] mit der Sonne. Frequenzmessungen im [[Ka-Band|K<sub>a<!--bove--></sub>-Band]] ermöglichten die Bestimmung der Shapiro-Verzögerung mit einer Genauigkeit von 0,001 %.<ref>B.Bertotti, L. Iess, P. Tortora, ''A test of general relativity using radio links with the Cassini spacecraft'', Nature 425 (2003), 374–376 [https://ilorentz.org/research/vanbaal/DECEASED/ART/gr-test.pdf online] (PDF; 199&nbsp;kB)</ref>

== Mathematische Beschreibung ==
[[Datei:Shapiro delay thumbnail.png|mini|320px|link=Bild:Shapiro_delay.gif|Links: Strahlenbündel in flacher Raumzeit, rechts: shapiroverzögerte und abgelenkte Strahlen in der Gegenwart einer Masse (Klick startet Animation)]]

Das [[Gravitationsfeld]] der Erde und auch das der Sonne kann zur Berechnung der Shapiro-Verzögerung mit sehr guter Genauigkeit durch die [[Schwarzschild-Metrik|Schwarzschildlösung]] in [[Kugelkoordinaten]] beschrieben werden.
:<math>\mathrm ds^2=f(r)c^2\mathrm dt^2-f(r)^{-1}\mathrm dr^2-r^2\mathrm d\Omega^2</math>
mit <math>f(r)=1-\frac{r_s}{r}</math> und dem [[Schwarzschildradius]] <math>r_s = \frac{2GM}{c^2}</math> sowie
* ''G'' der newtonschen [[Gravitationskonstante]],
* ''M'' der Masse der Sonne,
* ''c'' der [[Lichtgeschwindigkeit]].

Für die Betrachtung der Zwei-Wege-Radarlaufzeit zwischen Planet A (Erde) zu B (z.&nbsp;B. Venus oder Merkur) und wieder zurück zu A wird der Weg in vier Teilabschnitte zerlegt. Da die Messung des Effektes sensitiv für starke Gravitation ist, führt der gewählte Lichtweg möglichst nahe an der Zentralmasse M (der Sonne) vorbei. Man bezeichnet im Folgenden die Radialkoordinate eines Ausgangs- bzw. Zielpunktes A bzw. B mit <math>r</math> und die des sonnennächsten Punktes mit <math>r_0</math>. Die Berechnung der Lichtlaufzeit für eines der vier Wegstücke erfolgt in Schwarzschildkoordinaten. Für Lichtstrahlen und Radarsignale gilt <math>\mathrm ds^2=0</math>. Das Integral für die Lichtlaufzeit, ausgedrückt in der Schwarzschild-Koordinatenzeit lautet:
:<math>t(r,r_0)=\int_{r_0}^r \mathrm dr \left(\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}\right)^{-1}</math>.
Die Koordinatengeschwindigkeit
:<math>\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}=c\left(1-\frac{r_s}{r}\right)\sqrt{1-\frac{r_0^2}{r^2}\frac{1-r_s/r}{1-r_s/r_0}} </math>
folgt dabei aus der [[Schwarzschild-Metrik#Bewegungsgleichungen|Geodätengleichung]] für masselose Teilchen in Schwarzschildkoordinaten. 
Zusammen mit der Bedingung für den Winkel in der Ebene der Ausbreitung des Radarsignals:
:<math>|\phi_A-\phi_b|>\pi/2</math>
erhält man<ref>[https://cdn.preterhuman.net/texts/science_and_technology/physics/General_Relativity_Theory/Gravitation%20and%20cosmology%20principles%20and%20applications%20of%20the%20general%20theory%20of%20relativity%20-%20Weinberg%20S..pdf Steven Weinberg, "Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity", Seite 201 und Folgende]</ref> mittels [[Taylorreihe|Taylor-Entwicklung]] unter Verwendung von <math>r_0/r \le 1</math> und <math>r_s/r_0 \ll 1</math>:
:<math>c\cdot t(r,r_0)=\sqrt{r^2-r_0^2}+2GM\ln\left(\frac{r+\sqrt{r^2-r_0^2}}{r_0}\right)+GM\sqrt{\frac{r-r_0}{r+r_0}}</math>
Der erste Term entspricht dem nullten Term der Taylor-Reihe und somit der Lichtlaufzeit entlang einer gedachten Geraden bei Abwesenheit der Zentralmasse. Der zweite und dritte Term führen auf eine Verlängerung der Lichtlaufzeit; dies zusammen ist die sogenannte '''Shapiro-Verzögerung'''. Für die Gesamtlaufzeit von A nach B und zurück zu A folgt zuletzt:
:<math>t_{A\rightarrow B\rightarrow A}=2\cdot[t(r_A, r_0)+t(r_B,r_0)]</math>.

== Ähnlichkeit mit optischer Lichtbrechung ==

Für die Shapiro-Verzögerung im Gravitationsfeld bestehen einige formale Ähnlichkeiten zum Effekt der [[Lichtbrechung]] in anisotropen Medien. 

Bereits Shapiro hat mehrfach darauf hingewiesen, Licht werde im Gravitationsfeld langsamer: ''... it seems safe to conclude that the sun's gravity does slow the speed of propagation of light by about the amount predicted by Einsteins theory.''<ref name="Shap1968" /> Um Missverständnissen vorzubeugen, sollte dies dahingehend präzisiert werden, dass lediglich ''ein weit entfernter Beobachter dem Licht nahe am Gravitationszentrum eine gegenüber der Lichtgeschwindigkeit reduzierte Koordinatengeschwindigkeit zuschreibt''. 

Ausgehend vom Linienelement der Schwarzschild-Metrik definiert man entlang der [[Weltlinie|lichtartigen Geodäte]] des Radarsignals das raumartige Längenelement 
:<math>\mathrm dl^2 =\mathrm dr^2 + f(r) \, r^2 \,\mathrm d\Omega^2</math> 
Wegen <math>\mathrm ds^2=0</math> gilt
:<math> \mathrm dt = \frac{\mathrm dl}{c \cdot f(r)} =: \frac{\mathrm dl}{v_\infty(r)}</math>.
<math>v_\infty(r) < c </math> ist die Koordinatengeschwindigkeit, die ein hypothetischer, im Unendlichen ruhender Beobachter dem Signal bei <math>r</math> zuschreibt. Für einen Beobachter am Ort des Signals selbst gilt wie erwartet <math>v_r(r) = c</math>. 

Die oben berechnete Lichtlaufzeit lässt sich nun ausdrücken als Integral über den Lichtweg
:<math>t(r,r_0) = \int_{l_0}^l \frac{\mathrm dl}{v_\infty(l)} \simeq \frac{1}{c} \int_{l_0}^l \mathrm dl \left(1 + \frac{r_s}{r(l)}\right) </math>.
wobei die letzte Näherung der oben genannten Taylor-Entwicklung in <math>r_s/r \ll 1</math> entspricht. Der erste Term im Integral führt wieder auf die Lichtlaufzeit bei Abwesenheit der Zentralmasse, der zweite Term auf die Shapiro-Verzögerung. Das Integral entspricht formal der [[Optische Weglänge|optischen Weglänge]] in einem Medium mit ortsabhängigem jedoch lokal isotropen [[Brechungsindex]]. Bei parallel betrachteten Geodäten gilt  
:<math>n_\infty(r) = \frac{c}{v_\infty(r)} \simeq 1 + \frac{r_s}{r} > 1</math>.

== Richtungsabhängigkeit der Koordinatengeschwindigkeit ==

Für lichtartige Geodäten ergeben sich direkt aus dem Linienelement die folgenden zwei Spezialfälle:
:<math>v_{\infty, \text{rad}} = \left.\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}\right|_{\mathrm d\Omega=0} = c \cdot f(r) < c</math>
:<math>v_{\infty, \text{tan}} = \left.\frac{r \mathrm d\phi}{\mathrm dt}\right|_{\mathrm dr=0} = c \cdot \sqrt{f(r)} < c</math>

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* C. M. Will: ''Theory and experiment in gravitational physics.'' Cambridge University Press, Cambridge (1993). Standardwerk zur experimentellen Überprüfung der ART
* C. M. Will: ''Was Einstein Right?: Putting General Relativity to the Test.'' Basic Books (1993). Eine populärwissenschaftliche Zusammenfassung desselben
* C. M. Will: [http://www.livingreviews.org/lrr-2014-4 The Confrontation between General Relativity and Experiment], ''Living Reviews in Relativity.'' (2014). Kürzere, aber aktuellere Fassung von ''Theory and experiment in gravitational physics''

[[Kategorie:Test der Allgemeinen Relativitätstheorie]]