Quelltext der Seite Selbstadjungierte Matrix

Eine '''selbstadjungierte Matrix''' ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]]. Es handelt sich um eine spezielle Art von [[Quadratische Matrix|quadratischen Matrizen]]. Sind die Koeffizienten einer selbstadjungierten Matrix [[Reelle Zahl|reell]], so ist sie gerade eine [[symmetrische Matrix]], und sind die Koeffizienten [[Komplexe Zahl|komplex]], so ist sie eine [[hermitesche Matrix]].

== Definition ==

Sei <math>\mathbb{K} \in \{\R, \Complex\}</math> der [[Reelle Zahl|reelle]] oder [[Komplexe Zahl|komplexe Zahlenkörper]] und sei <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> das [[Standardskalarprodukt]] auf <math>\mathbb{K}^n</math>. Eine Matrix <math>A</math> heißt selbstadjungiert, wenn

:<math>\langle Ay , x \rangle = \langle y , Ax \rangle</math>

für alle <math>x , y \in \mathbb{K}^n</math> gilt.<ref>{{Literatur |Autor= |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik|TitelErg=in sechs Bänden|Band=Band ?<!-- 5?--> |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim / Heidelberg |Datum=2000 |Seiten=?<!-- eine etwas genauere Angabe wäre wünschenswert bei 6 möglichen Bänden--> |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref> Die Matrix <math>A</math> wird hier als [[lineare Abbildung]] auf dem <math>\mathbb{K}^n</math> aufgefasst.

== Beispiele ==

* Die Matrix
::<math>
\begin{pmatrix}3&2+i\\
2-i&1\end{pmatrix}</math>
:mit <math>i</math> als der [[Imaginäre Einheit|imaginären Einheit]] ist selbstadjungiert bezüglich des Standardskalarproduktes auf <math>\Complex^n</math> wegen
:<math>\begin{pmatrix}
3&2+i\\
2-i&1 \\
\end{pmatrix}^* = 
\begin{pmatrix}
3&\overline{2-i}\\
\overline{2+i}&1 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
3&2+i\\
2-i&1 \\
\end{pmatrix}.
</math>

* Die [[Pauli-Matrizen]]
::<math>
\sigma_1 =
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix},\quad

\sigma_2 =
\begin{pmatrix}
0 & -i\\
i & 0
\end{pmatrix},\quad

\sigma_3 =
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}
</math>
:sind selbstadjungiert.

== Eigenschaften ==

Eine reelle Matrix ist genau dann selbstadjungiert, wenn sie [[Symmetrische Matrix|symmetrisch]] ist, also wenn <math>A=A^\mathsf{T}</math> gilt, da

:<math>\langle Ay , x \rangle = (Ay)^\mathsf{T}x = y^\mathsf{T}A^\mathsf{T}x = y^\mathsf{T}Ax = y^\mathsf{T}(Ax) = \langle y , Ax \rangle</math>.

Analog dazu ist eine komplexe Matrix genau dann selbstadjungiert, wenn sie [[Hermitesche Matrix|hermitesch]] ist, also wenn <math>A=A^*</math> gilt, da

:<math>\langle Ay , x \rangle = (Ay)^*x = y^*A^*x = y^*Ax = y^*(Ax) = \langle y , Ax \rangle</math>.

Jede selbstadjungierte Matrix ist auch [[Normale Matrix|normal]], das heißt, es gilt

:<math>A^{*} \cdot A = A\cdot A^{*}</math>.

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

== Siehe auch ==
* [[Selbstadjungierter Operator]] für die Verallgemeinerung des Begriffs auf lineare Operatoren

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* {{EoM|Autor=A.L. Onishchik|Titel=Self-adjoint linear transformation|Url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Self-adjoint_linear_transformation}}
[[Kategorie:Matrix]]