Quelltext der Seite Sektorformel von Leibniz

[[Datei:Sektorformel leibniz3.svg|mini|hochkant=0.9|Kurve mit Fahrstrahl]]
[[Datei:Sektorformel leibniz2.svg|mini|hochkant=0.9|Geschlossene Kurve mit Fahrstrahl, der Betrag des orientierten Flächeninhalts entspricht dann der eingeschlossenen Fläche]]
Die '''Sektorformel von Leibniz''', benannt nach [[Leibniz|Gottfried Wilhelm Leibniz]], berechnet den orientierten Flächeninhalt, den ein Fahrstrahl eines Kurvenabschnitts überstreicht, insbesondere kann man mit ihr Flächeninhalte von Gebieten, die durch eine geschlossene Kurve beschrieben werden, berechnen.

== Formel ==
Ist <math> \gamma:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^2</math> mit <math> t\mapsto (x(t),y(t))</math> eine [[glatte Kurve]], dann überstreicht der Fahrstrahl an <math>\gamma</math> den orientierten Flächeninhalt

: <math> F(\gamma)=\frac{1}{2}\int_a^b (x(t)y^{\prime}(t)-y(t)x^{\prime}(t))\,dt.</math><ref>{{Literatur |Autor=Matthias Hieber |Titel=Analysis. 2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2019 |ISBN=978-3-662-57541-3 |Seiten=145 |Abruf=}}</ref>

== Stückweise glatte Kurven ==
Ist <math>\gamma</math> eine [[glatte Kurve|stückweise glatte Kurve]] auf <math> [a,b]</math> und <math>\{t_0,\ldots,t_n\} </math> eine [[Partition (Mengenlehre)|Partition]] von <math> [a,b]</math>, so dass <math>\gamma</math> auf den Teilintervallen <math> [t_{k-1},t_k] </math> für <math> k=1,\ldots n </math> glatt ist, so gilt:
: <math> F(\gamma) = F(\gamma_1)+\ldots+F(\gamma_n) </math>

Hierbei bezeichnet <math>\gamma_k</math> die auf das Intervall <math> [t_{k-1},t_k] </math> beschränkte Kurve.

== Zusammenhang mit Dreiecken ==
[[Datei:Sectorformel.svg|mini|hochkant=0.9|Dreieck als [[glatte Kurve|stückweise glatte Kurve]] ]]
Man kann die Sektorformel als eine Verallgemeinerung der Determinantenformel zur Berechnung des [[Dreiecksfläche|Flächeninhaltes von Dreiecken]] auffassen. Sind <math>A=(x_1,y_1)</math>, <math>B=(x_2,y_2)</math>, <math>C=(x_3,y_3)</math> die Eckpunkte eines beliebigen Dreiecks, dann wird dieses durch die folgende [[glatte Kurve|stückweise glatte Kurve]] <math>[0,3]\rightarrow \mathbb{R}^2</math> beschrieben:

<math>
\gamma(t):=\begin{cases}
\gamma_a(t)=(x_1+(x_2-x_1)t,\, y_1+(y_2-y_1)t)&\text{falls } 0\leq t\leq 1\\
\gamma_b(t)=(x_2+(x_3-x_2)(t-1),\, y_2+(y_3-y_2)(t-1))&\text{falls } 1\leq t\leq 2\\
\gamma_c(t)=(x_3+(x_1-x_3)(t-2),\, y_3+(y_1-y_3)(t-2))&\text{falls } 2\leq t\leq 3
\end{cases}
</math>

Dann gilt nun für die Flächenberechnung des Dreiecks:

<math>
\begin{align}
F(\triangle) &= \frac{1}{2}\left |\begin{matrix} 1&x_1&y_1 \\ 1&x_2&y_2 \\ 1&x_3&y_3 \end{matrix} \right |
     = \frac{1}{2}[(x_1y_2-y_1x_2)+(x_2y_3-y_2x_3)+(x_3y_1-y_3x_1)] \\
  &=\quad \frac{1}{2}\int_0^1[(x_1+(x_2-x_1)t)(y_2-y_1)-(y_1+(y_2-y_1)t)(x_2-x_1)]dt \\ 
  &\quad + \frac{1}{2}\int_1^2[(x_2+(x_3-x_2)(t-1))(y_3-y_2)-(y_2+(y_3-y_2)(t-1))(x_3-x_2)]dt \\ 
  &\quad + \frac{1}{2}\int_2^3[(x_3+(x_1-x_3)(t-2))(y_1-y_3)-(y_3+(y_1-y_3)(t-2))(x_1-x_3)]dt \\
  &=F(\gamma_a)+F(\gamma_b)+F(\gamma_c)\\
  &=F(\gamma)

\end{align}
</math>

== Zusammenhang mit den Integralsätzen ==
Für den Fall einer geschlossenen Kurve ergibt sich die Sektorformel von Leibniz auch als Spezialfall des [[Satz von Green|Integralsatzes von Green]]. Der Integralsatz liefert für die von einer Kurve <math>\gamma:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^2</math> mit <math>\gamma(a)=\gamma(b)</math> eingeschlossene Fläche <math>B</math> und zwei differenzierbare Funktionen <math>f,g:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R} </math> die folgende Gleichung:
: <math> \int_B \Bigl[g_x(x,y)-f_y(x,y)\Bigr] dx dy = \int_a^b \Bigl[f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\cdot x^{\prime}(t) + g\bigl(x(t),y(t)\bigr)\cdot y^{\prime}(t)\Bigr] dt </math>
Wählt man für die dortigen Funktionen <math>f(x,y)=-y </math> und <math> g(x,y)=x </math>, so gilt <math>f_y(x,y)=-1 </math> und <math> g_x(x,y)=1 </math> und man erhält:
::<math>
\begin{align} 
&\int_B (1-(-1)) dx dy =\int_a^b \Bigl[-y(t)\cdot x^{\prime}(t) + x(t)\cdot y^{\prime}(t)\Bigr]dt \\
 \Leftrightarrow &\int_B 1 dx dy =\frac{1}{2} \int_a^b \Bigl[x(t)\cdot y^{\prime}(t)-y(t)\cdot x^{\prime}(t)\Bigr] dt
\end{align}
</math>

Da die Integration über eine Fläche mit 1 den Flächeninhalt selbst liefert, gilt:
: <math> F(\gamma)=\int_B 1 dx dy =\frac{1}{2} \int_a^b \Bigl[x(t)\cdot y^{\prime}(t)-y(t)\cdot x^{\prime}(t)\Bigr] dt </math>.

== Alternative Formel ==
[[Datei:Leibniz sector formula.svg |rechts|mini|hochkant=0.9|Alternative Formel]]
In der Literatur wird gelegentlich auch eine weitere Formel als Sektorformel von Leibniz bezeichnet. Diese ist wesentlich spezieller und verwendet statt Koordinatenfunktionen <math>x(t) </math> und <math>y(t)</math> der Parameterkurve <math> \gamma(t)</math> eine Funktion <math> r(t) </math>, die den Abstand eines Kurvenpunktes vom Zentrum einer [[Sterngebiet|sternförmigen]] Menge <math>B</math> beschreibt. Mit dieser gilt dann:

:<math>F(B)=\frac{1}{2}\int_a^b r(t)^2\ dt </math>

Da diese Formel im Gegensatz zur vorherigen keinen orientierten Flächeninhalt verwendet, ist sie nur für sternförmige Mengen gültig. Ist <math>(x_z,y_z)</math> ein Zentrum der sternförmigen Menge, so lässt sich <math>r(t)</math> mittels der Beziehung <math> r(t)=\sqrt{(x(t)-x_z)^2+(y(t)-y_z)^2} </math> aus den Koordinatenfunktionen der Parameterkurve berechnen.

== Beispiel ==
Eine [[Herzkurve]] <math>\gamma:[0,2\pi]\rightarrow \mathbb{R}^2 </math> besitzt die folgende Parameterdarstellung:

:<math>x = a \cos(t) (1 + \cos(t)) \qquad y = a \sin(t) (1 + \cos (t))</math>

Mit der Sektorformel ergibt sich dann der folgende Flächeninhalt:

<math>
\begin{align}
   F(\gamma)&=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\Bigl[a \cos(t) (1 + \cos(t))a(\cos(t)+2\cos(t)^2-1)+
               a\sin(t)(1+2\cos(t))a \sin(t)(1 + \cos (t))\Bigr]dt \\
             &=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\Bigl[(1+\cos(t))^2a^2\Bigr]dt \\
             &=\frac{3}{2}a^2\pi
\end{align}
</math>
[[Datei:Herzkurve.svg|rechts|mini|hochkant=0.9|Herzkurve]]
Bei der Verwendung der alternativen Formel kann man <math>(0,0)</math> als Zentrum wählen und erhält dann:

<math>
\begin{align}
   F(\gamma)&=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\Bigl[\bigl(a \cos(t) (1 + \cos(t))\bigr)^2 +\bigl(a \sin(t) (1 + \cos(t))\bigr)^2\Bigr]dt \\
             &=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi} \Bigl[(1+\cos(t))^2a^2 (\cos(t)^2+\sin(t)^2)\Bigr] dt \\
             &=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\Bigl[(1+\cos(t))^2a^2\Bigr]dt \\
             &=\frac{3}{2}a^2\pi
\end{align}
</math>

== Literatur ==
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 1''. 2. Auflage, Springer 1992, ISBN 3-540-55116-6, S. 343.
* Wolfgang Walter: ''Analysis I''. 2. Auflage, Springer 1985, ISBN 3-540-51708-1, S. 285–286.
* [[Harro Heuser]]: ''Lehrbuch der Analysis – Teil 2''. 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 498.

== Weblinks ==
{{commonscat|sector formula of Leibniz|Sektorformel von Leibniz}}
* J. Weikert: [http://www.mia.uni-saarland.de/Teaching/MFI03/paragraph32.pdf ''Kurven und Bogenlänge''] (PDF; 595&nbsp;kB). In ''Mathematik für Informatiker I'', Skript Uni Saarland

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Gottfried Wilhelm Leibniz]]