Quelltext der Seite Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus

{{Belege fehlen|1=}}
<imagemap>
Datei:Sech-csch-28pt.svg|mini|rechts|Sekans hyperbolicus (blau) und Kosekans hyperbolicus (rot)
default [[Datei:Sech-csch-12pt.svg]]
desc none
</imagemap>
<imagemap>
Datei:Sech csch geometric.svg|mini|rechts|Geometrische Veranschaulichung von Sekans hyperbolicus (blau) und Kosekans hyperbolicus (rot) als Schnittpunkte der Tangente mit den Achsen.
</imagemap>

Die Funktionen '''Kosekans hyperbolicus''' (csch) und '''Sekans hyperbolicus''' (sech) sind [[Hyperbelfunktionen]]. Sie ergeben sich als Kehrwert von [[Sinus hyperbolicus]] bzw. [[Kosinus hyperbolicus]].

== Definitionen ==
: <math>
\begin{align}
\operatorname{sech}\ x &= \frac{2}{e^x + e^{-x}} = \frac{1}{\cosh x}\\
\operatorname{csch}\ x &= \frac{2}{e^x - e^{-x}} = \frac{1}{\sinh x}
\end{align}
</math>

== Eigenschaften ==
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
!
! Sekans hyperbolicus
! Kosekans hyperbolicus
|--
! Definitionsbereich
| <math>-\infty < x < + \infty</math>
| <math>-\infty < x < + \infty \, ; \, x \ne 0</math>
|-
! Wertebereich
| <math>0 < f(x) \le 1</math>
| <math>-\infty < f(x) < + \infty \, ; \, f(x)\ne 0</math>
|-
! Periodizität
| keine
| keine
|-
! Monotonie
| <math>x < 0</math> streng monoton steigend<br /><math>x > 0</math> streng monoton fallend
| <math>x > 0</math> streng monoton fallend<br /><math>x < 0</math> streng monoton fallend
|-
! Symmetrien
| Spiegelsymmetrie zur y-Achse
| Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
|-
! [[Asymptote]]
| <math>f(x) \to 0</math> für <math>x \to \pm \infty</math>
| <math>f(x) \to 0</math> für <math>x \to \pm \infty</math>
|-
! Nullstellen
| keine
| keine
|-
! Sprungstellen
| keine
| keine
|-
! Polstellen
| keine
| <math>x = 0</math>
|-
! Extrema
| Maximum bei <math>x = 0</math>
| keine
|-
! [[Wendepunkt]]e
| <math>x = \pm \ln {(1 + \sqrt{2})}</math>
| keine
|}

== Umkehrfunktionen ==
Die [[Umkehrfunktion]]en sind die entsprechenden [[Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus|Areafunktionen]]:

: <math>
\begin{align}
x &= \operatorname{arsech}\ y\\
x &= \operatorname{arcsch}\ y
\end{align}
</math>

== Ableitungen ==
:<math>
\begin{align}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \operatorname{sech}\ x &= - \operatorname{sech}\ x \cdot \operatorname{tanh}\ x = -{\frac{\sinh x}{\cosh^2 x}}\\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \operatorname{csch}\ x &= - \operatorname{csch}\ x \cdot \operatorname{coth}\ x = -{\frac{\cosh x}{\sinh^2 x}} = -\operatorname{csch}\ x \cdot\sqrt{1+\operatorname{csch}^2 x}\\
\end{align}
</math>

== Integrale ==

=== Stammfunktionen der Hyperbelfunktionen ===
Die Stammfunktionen sind gegeben durch:<ref>{{Literatur |Autor=Ilʹja N. Bronštejn |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=11., aktualisierte |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2020 |ISBN=978-3-8085-5792-1 |Seiten=1111 |Kommentar=Formel 433}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Ilʹja N. Bronštejn |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=11., aktualisierte |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2020 |ISBN=978-3-8085-5792-1 |Seiten=1111 |Kommentar=Formel 432}}</ref>
:<math>
\begin{align}
\int\operatorname{sech} x\ \mathrm dx &= 2 \arctan \left( \exp(x) \right) + C= \arctan \left( \sinh x \right) + C\\
\int\operatorname{csch} x\ \mathrm dx &= \ln \left| \operatorname{tanh}\, \frac{x}{2} \right| + C
\end{align}
</math>
Die durch den Koordinatenursprung verlaufende [[Stammfunktion]] des Sekans hyperbolicus wird [[Gudermannfunktion]] genannt:
: <math>
\operatorname{gd}(x) = \arctan\bigl[\sinh(x)\bigr]
</math>

=== Eulersche Betafunktion ===
Für folgende Verallgemeinerung ist diese Formel in Bezug auf alle positiven Zahlen w gültig:
: <math>
\int_{0}^{\infty} \operatorname{sech}(x)^{w} \,\mathrm{d}x = 2^{w-2}\beta(\tfrac{1}{2}w)
</math>
Mit dem griechischen Buchstaben β wird die [[Eulersche Betafunktion]] bezeichnet.

=== Basler Problem ===
Wenn der Cosekans hyperbolicus mit ganzrationalen Polynomfunktionen multipliziert wird, dann entstehen meist Funktionen mit [[Polylogarithmus|polylogarithmischen]] Integralen:

Für folgende Funktion ist die Ursprungsstammfunktion [[Dilogarithmus|dilogarithmisch]] beschaffen:
: <math>
\int_{0}^{x} y\,\operatorname{csch}(y) \,\mathrm{d}y = 2\,\operatorname{Li}_{2}[\tanh(\tfrac{1}{2}x)] - \tfrac{1}{2}\,\operatorname{Li}_{2}[\tanh(\tfrac{1}{2}x)^2] = 2\,\operatorname{Li}_{2}[1 - \exp(-x)] - \tfrac{1}{2}\,\operatorname{Li}_{2}[1 - \exp(-2x)]
</math>
Deswegen gilt für folgendes bestimmtes Integral:
: <math>
\frac{3}{2}\,\operatorname{Li}_{2}(1) = \int_{0}^{\infty} x\,\operatorname{csch}(x) \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{1} \frac{\cosh(x)}{(1 - z^2)\sinh(x)^2 + 1} \,\mathrm{d}z \,\mathrm{d}x =
</math>
: <math>
= \int_{0}^{1} \int_{0}^{\infty} \frac{\cosh(x)}{(1 - z^2)\sinh(x)^2 + 1} \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}z = \int_{0}^{1} \frac{\pi}{2\sqrt{1 - z^2}}\,\mathrm{d}z = \frac{1}{4}\pi^2
</math>
: <math>
\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \operatorname{Li}_{2}(1) = \frac{1}{6}\pi^2
</math>
Dies ist somit eine auf dem [[Satz von Fubini]] basierende Beweisführung für das sogenannte [[Basler Problem]] und findet in der Theorie über die [[Riemannsche Zeta-Funktion]] Anwendung.

=== Integrale von Brüchen der Glockenkurvenfunktion ===
Wenn das Doppelte der Glockenkurvenfunktion <math>\exp(-x^2)</math> durch den Nachfolger vom Quadrat der Glockenkurvenfunktion geteilt wird, dann kommt die Funktion <math>\operatorname{sech}(x^2)</math> hervor. Das Integral von Null bis Unendlich von dieser zuletzt genannten Funktion nimmt einen nicht elementaren Wert an:
: <math>\int_{0}^{\infty} \operatorname{sech}(x^2) \,\mathrm{d}x = \sqrt{\pi}\,\beta\left(\frac{1}{2}\right)</math>
Mit dem griechischen Buchstaben β wird an dieser Stelle die [[Dirichletsche Betafunktion]] zum Ausdruck gebracht.

=== Integrale von kardinalischen Hyperbelfunktionen ===
Wenn die Produkte von Kardinalhyperbeltangens (Tangens hyperbolicus cardinalis) <math>\operatorname{tanh}(x)/x</math> und den Potenzen des ''Sekans hyperbolicus'' integriert werden, dann können mit diesen Integralen weitere bekannte Namenskonstanten dargestellt werden:
: <math>
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x}\operatorname{tanh}(x)\operatorname{sech}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{4}{\pi} \,G
</math>
: <math>
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x}\operatorname{tanh}(x)\operatorname{sech}(x)^2 \,\mathrm{d}x = \frac{7}{\pi^2} \,\zeta(3)
</math>
: <math>
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x}\operatorname{tanh}(x)\operatorname{sech}(x)^3 \,\mathrm{d}x = \frac{2}{3\,\pi} \,G + \frac{16}{\pi^3} \,\beta(4)
</math>
: <math>
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x}\operatorname{tanh}(x)\operatorname{sech}(x)^4 \,\mathrm{d}x = \frac{7}{3\,\pi^2} \,\zeta(3) + \frac{31}{\pi^4} \,\zeta(5)
</math>
Der Buchstabe G bezeichnet die [[Catalansche Konstante]], der Ausdruck ζ(3) die [[Apéry-Konstante]]. Der Buchstabe β steht auch hier für die Dirichletsche Betafunktion.

=== Integrale der Wurzeln des Sekans hyperbolicus ===
Die ''Gudermannfunktion'' als Ursprungsstammfunktion des Sekans hyperbolicus ist eine ''elementare'' Funktion:

: <math>\int_{0}^{x} \operatorname{sech}(y) \,\mathrm{d}y= \operatorname{gd}(x) = \arctan[\sinh(x)] = \arcsin[\tanh(x)] = 2\arctan[\tanh(\tfrac{1}{2}x)] =</math>
: <math>= \tfrac{1}{2}\pi - 2\arctan[\exp(-x)] = 2\arctan[\exp(x)] - \tfrac{1}{2}\pi </math>
Die Ursprungsstammfunktion von der Quadratwurzel des Sekans hyperbolicus ist ein [[Lemniskatischer Arkussinus|lemniskatisches]] Integral:
: <math>\int_{0}^{x} \sqrt{\operatorname{sech}(y)} \,\mathrm{d}y = 2\,\operatorname{arcsl}[\tanh(\tfrac{1}{2}x)]</math>
Die soeben gezeigte Funktion zählt zu den ''nicht elementaren'' Funktionen.

Das Integral von Null bis Unendlich von der Quadratwurzel des Sekans hyperbolicus nimmt exakt den Wert der [[Lemniskatische Konstante|lemniskatischen Konstante]] an.

Und die Ursprungsstammfunktion von der Kubikwurzel des Sekans hyperbolicus ist ein [[Omega-2-Konstante des äquianharmonischen Falls|äquianharmonisches]] Integral:
: <math>\int_{0}^{x} \sqrt[3]{\operatorname{sech}(y)} \,\mathrm{d}y = \frac{1}{2}\sqrt[4]{27}\,\text{F}\left\{2\arctan\left[\frac{\tanh(x)}{\sqrt[4]{3}\,\operatorname{sech}(x)^{1/3}\sqrt{1 + \operatorname{sech}(x)^{2/3} + \operatorname{sech}(x)^{4/3}}}\right];\sin\left(\frac{1}{12}\pi\right)\right\}</math>
Auch die Ursprungsstammfunktion für das Quadrat der Kubikwurzel des Sekans hyperbolicus ist äquianharmonisch:
: <math>\int_{0}^{x} \sqrt[3]{\operatorname{sech}(y)^2} \,\mathrm{d}y = \frac{1}{2}\sqrt[4]{27}\,\text{F}\left\{2\arctan\left[\frac{\tanh(x)}{\sqrt[4]{3}\sqrt{1 + \operatorname{sech}(x)^{2/3} + \operatorname{sech}(x)^{4/3}}}\right];\cos\left(\frac{1}{12}\pi\right)\right\}</math>
Sowohl die lemniskatischen als auch die äquianharmonischen Integrale zählen zu den sogenannten [[Elliptisches Integral|elliptischen]] Integralen.

== Reihenentwicklungen ==

Die [[Maclaurinsche Reihe|Maclaurin-Reihe]] der Hyperbelsekans-Funktion (mit Konvergenzradius <math>\tfrac{\pi}{2}</math>) ist<ref name="Bronstein-1080">{{Literatur |Autor=Ilʹja N. Bronštejn |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=11., aktualisierte |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2020 |ISBN=978-3-8085-5792-1 |Seiten=1080 |Kommentar=Abweichende Definition der Euler- bzw. Bernoulli-Zahlen}}</ref>
:<math>\begin{align}
\operatorname{sech} z &= 1 - \frac{1}{2} z^2 + \frac{5}{24} z^4 - \frac{61}{720} z^6 + \frac{1385}{40320} z^8 - \cdots\\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{E_{2n}}{(2n)!} z^{2n}.
\end{align}</math>

Der Hyperbelkosekans hat folgende [[Laurent-Reihe|Laurent-Entwicklung]] (für <math>0 < |z| < \pi</math>):<ref name="Bronstein-1080" />
:<math>\begin{align}
\operatorname{csch} z &= \frac{1}{z} - \frac{1}{6} z + \frac{7}{360} z^3 - \frac{31}{15120} z^5 + \cdots\\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 (1 - 2^{2n-1}) B_{2n}}{(2n)!} z^{2n-1}
\end{align}</math>
Die Symbole <math>E_{2n}</math> bzw. <math>B_{2n}</math> stehen dabei für [[Eulersche Zahlen|Euler-]] bzw. [[Bernoulli-Zahl]]en.

Außerdem existieren [[Partialbruchzerlegung]]en der beiden Funktionen:
:<math>\begin{align}
\operatorname{sech} z &= \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{(8k + 4)\pi}{(2k+1)^2 \pi^2 + 4 z^2}\\
\operatorname{csch} z &= \frac{1}{z} + \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{2 z}{k^2 \pi^2 + z^2}
\end{align}</math>
Für die Gudermannfunktion, also die Ursprungsstammfunktion des Sekans hyperbolicus, gilt somit die Formel
: <math>\operatorname{gd}(z) = \sum_{k=0}^\infty 2(-1)^k \arctan\left[\frac{2z}{(2k + 1)\pi}\right]</math>.

== Komplexes Argument ==

Im [[Komplexe Zahl|Komplexen]] wird der Zusammenhang zwischen den Hyperbelfunktionen <math>\operatorname{sech}</math> bzw. <math>\operatorname{csch}</math> und den entsprechenden trigonometrischen Funktionen <math>\sec</math> bzw. <math>\csc</math> sichtbar:
:<math>\begin{align}
&\operatorname{sech} (\mathrm i y) = \sec(y)\\
&\operatorname{csch}(\mathrm iy) = -\mathrm i\csc (y)
\end{align}</math>

Die komplexen Funktionen lassen sich folgendermaßen auf die reellen Funktionen zurückführen:
:<math>\begin{align}
\operatorname{sech}(x+\mathrm i y) &= \frac{2\cosh(x)\cos(y)}{\cosh(2x) + \cos(2y)} + \mathrm{i} \, \frac{-2\sinh(x)\sin(y)}{\cosh(2x) + \cos(2y)}\\
\operatorname{csch}(x+\mathrm iy) &= \frac{2\sinh(x)\cos(y)}{\cosh(2x) - \cos(2y)} + \mathrm{i} \, \frac{-2\cosh(x)\sin(y)}{\cosh(2x) - \cos(2y)}\\
\end{align}</math>

== Zusammenhang mit elliptischen Integralen ==
Wenn Summenreihen aus dem Sekans hyperbolicus mit linearem Verlauf des inneren Eintrags bezüglich des Summenindex aufgestellt werden, dann entstehen elliptische Werte. Im Folgenden wird eine für alle elliptischen Moduln beziehungsweise numerischen Exzentrizitäten <math> (-1 \leq \varepsilon \leq 1) \,\cap \,\varepsilon \in \R </math> gültige Formel aufgestellt, die in Abhängigkeit vom Modul <math> \varepsilon </math> das normierte [[Elliptische Integrale|vollständige elliptische Integral erster Art]] als Resultat ergibt:

: <math>1 + 2\biggl\{\sum_{n = 1}^{\infty} \mathrm{sech}\biggl[\pi\,n\,\frac{K'(\varepsilon)}{K(\varepsilon)} \biggr] \biggr\} = 1 + 2\biggl[\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2\,q(\varepsilon)^{n}}{1 + q(\varepsilon)^{2n}}\biggr] =\vartheta_{00}[q(\varepsilon)]^2 =\frac{2}{\pi}\,K(\varepsilon)</math>

Denn die [[Jacobische Thetafunktion]] <math>\vartheta_{00}</math> und ihr Quadrat haben folgende Summenreihen:

: <math>\vartheta_{00}(w) =1 + 2\biggl(\sum_{n = 1}^{\infty} w^{n^2}\biggr)</math>
: <math>\vartheta_{00}(w)^2 = 1 + 2\biggl(\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2\,w^{n}}{1 + w^{2n}}\biggr)</math>

Die Mathematiker [[Edmund Taylor Whittaker]] und [[George Neville Watson]] nannten sowohl Summendefinitionen als auch Produktdefinitionen in ihrem gemeinsamen Werk<ref>{{MathWorld|JacobiThetaFunctions|Jacobi Theta Functions}}</ref><ref>http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://dlmf.nist.gov/20.5 |titel=DLMF: 20.5 Infinite Products and Related Results |abruf=2022-08-13}}</ref> ''A Course in Modern Analysis'' nieder. Das [[Elliptisches Nomen|elliptische Nomen]] <math>q(\varepsilon)</math> hat diese Definition:

: <math>q(\varepsilon) = \exp\bigl[-\pi \, \frac{K'(\varepsilon)}{K(\varepsilon)}\bigr]</math>

Diese Formel wurde bei der zuvor genannten Gleichungskette hervorgebracht:

: <math>1 + 2\biggl\{\sum_{n = 1}^{\infty} \mathrm{sech}\biggl[\pi\,n\,\frac{K'(\varepsilon)}{K(\varepsilon)} \biggr] \biggr\} = \frac{2}{\pi}\,K(\varepsilon)</math>

Nun werden einige Werte in diese Gleichungen eingesetzt und die Resultate mit den [[Eulersche Betafunktion|Eulerschen Betafunktionsidentitäten]] der K-Integrale versehen:

:{| class="wikitable"
!Modulwerte <math> \varepsilon </math>
!Resultierende Sekans-hyperbolicus-Gleichungen
|-
|<math>\varepsilon = \tfrac{1}{2}\sqrt{2}</math>
|<math>1 + 2\biggl[\sum_{n = 1}^{\infty} \mathrm{sech}(\pi \,n)\biggr] = \frac{2}{\pi}\,K\bigl(\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\bigr) = \frac{1}{2\,\pi}\,\beta(\tfrac{1}{4})</math>
|-
|<math>\varepsilon = \sqrt{2} - 1</math>
|<math>1 + 2\biggl[\sum_{n = 1}^{\infty} \mathrm{sech}(\sqrt{2}\,\pi \,n)\biggr] = \frac{2}{\pi}\,K(\sqrt{2} - 1) = \frac{1}{4\,\pi}\sqrt[4]{2}\,(\sqrt{2} + 1)\,\beta(\tfrac{3}{8})</math>
|-
|<math>\varepsilon = \sin(\tfrac{1}{12}\pi)</math>
|<math>1 + 2\biggl[\sum_{n = 1}^{\infty} \mathrm{sech}(\sqrt{3}\,\pi \,n)\biggr] = \frac{2}{\pi}\,K\bigl[\sin(\tfrac{1}{12}\pi)\bigr] = \frac{1}{6\,\pi}\sqrt[3]{4}\,\sqrt[4]{27}\,\beta(\tfrac{1}{3})</math>
|}
Im Gegensatz zu den nun gezeigten Integralen können jedoch nicht alle vollständigen elliptischen Integrale erster Art mit Hilfe der reduzierten Eulerschen Betafunktion als einzigen nicht-elementaren Funktionsausdruck dargestellt werden!

== Siehe auch ==
* [[Trigonometrische Funktion]]en
* [[Kreis- und Hyperbelfunktionen]].

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id = HyperbolicCosecant |title = Hyperbolic Cosecant}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Trigonometrische Funktionen}}

[[Kategorie:Trigonometrische Funktion]]