Quelltext der Seite Sehnenviereck

[[Datei:Sehnenviereck2a.svg|mini|hochkant=1.0|Ein Sehnenviereck ABCD mit Umkreis k]]

Ein '''Sehnenviereck''' (oder auch ''Kreisviereck'', {{enS|cyclic quadrilateral}}) ist ein [[Viereck]], dessen [[Eckpunkt]]e auf einem [[Kreis]] liegen, dem [[Umkreis]] des Vierecks. Folglich sind alle Seiten des Sehnenvierecks [[Sehne (Mathematik)|Sehnen]] des Umkreises. Üblicherweise meint man mit Sehnenviereck ein nicht-überschlagenes Sehnenviereck; es ist notwendigerweise [[Konvexe Menge|konvex]].

Das [[Gleichschenkliges Trapez|gleichschenklige Trapez]], das [[Rechteck]] und das [[Quadrat]] sind besondere Sehnenvierecke.

== Sätze ==
Für jedes Sehnenviereck gilt der [[Sehnensatz]]:

* Die Produkte je zweier gegenüberliegender Diagonalenabschnitte sind gleich groß. Das heißt, wenn <math>P</math> der [[Schnittpunkt]] der beiden [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] <math>\overline{AC}</math> und <math>\overline{BD}</math> ist, so gilt <math>|\overline{AP}| \cdot |\overline{CP}| = |\overline{BP}| \cdot |\overline{DP}|</math>.

Die folgenden [[Satz (Mathematik)|Sätze]] gelten nur für nicht-überschlagene Sehnenvierecke ''ABCD'':

* Gegenüberliegende [[Winkel]] ergänzen sich zu 180°, also <math>\alpha + \gamma = \beta + \delta = 180^\circ</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Ilʹja N. Bronštejn |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=11., aktualisierte |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2020 |ISBN=978-3-8085-5792-1 |Seiten=140 |Kommentar=Formel 3.37}}</ref>

* [[Satz von Ptolemäus]]: Die Summe der Produkte gegenüberliegender Seiten des Sehnenvierecks ist gleich dem Produkt der Diagonalen:
<math>|\overline{AB}| \cdot |\overline{CD}| + |\overline{BC}| \cdot |\overline{DA}| = |\overline{AC}| \cdot |\overline{BD}|</math>.

== Eigenschaften ==

=== Winkelsummen ===
[[Datei:Sehnenviereck3.svg|mini|hochkant=1.0|''Abb. 1'': Winkelsumme gegenüberliegender Winkel]]
Im Sehnenviereck beträgt die [[Winkelsumme]] der gegenüberliegenden [[Winkel]] 180° (''Abbildung 1'').

:<math>\alpha  + \gamma  = 180^\circ </math>
:<math>\beta  + \delta  = 180^\circ </math>

Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus dem [[Kreiswinkelsatz]], da zwei gegenüberliegende Winkel des Sehnenvierecks [[Umfangswinkel]] (Peripheriewinkel) über zwei komplementären [[Kreisbogen|Kreisbögen]] sind, deren [[Mittelpunktswinkel]] (Zentriwinkel) sich zu 360° ergänzen. Da Umfangswinkel halb so groß sind wie Mittelpunktswinkel über dem gleichen Bogen,<ref>{{Literatur |Autor=Ilʹja N. Bronštejn |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=11., aktualisierte |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2020 |ISBN=978-3-8085-5792-1 |Seiten=144 |Kommentar=Formel 3.66a}}</ref> müssen sich die Umfangswinkel zu 360°/2 = 180° ergänzen.

Zwei weitere Beweise finden sich im [[B:Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Sehnenviereck|Beweisarchiv]].

Auch die Umkehrung dieser Aussage ist richtig: Beträgt in einem [[Viereck]] die Summe gegenüberliegender Winkel 180°, dann ist es ein Sehnenviereck.

=== Orthogonale Linien ===
[[Datei:Sehnenviereck Zusatzeigenschaft.svg|mini|''Abb. 2'': Orthogonale Linien]]
Eine weitere Eigenschaft im Sehnenviereck beschreibt der nachfolgende Satz (''Abbildung 2'').

Ist <math>ABCD</math> ein Sehnenviereck und sind <math>E</math>, <math>F</math>, <math>G</math> und <math>H</math> die [[Mittelpunkt]]e der [[Kreisbogen|Kreisbögen]] über den Seiten des Sehnenvierecks, so sind die Verbindungslinien <math>\overline{EG}</math> und <math>\overline{FH}</math> [[Orthogonalität|orthogonal]] zueinander.

Der Beweis verwendet ebenfalls den Kreiswinkelsatz. Die [[Umkreis]]bögen <math>b_1</math> zwischen <math>H</math> und <math>E</math> sowie <math>b_2</math> zwischen <math>F</math> und <math>G</math> umfassen zusammen einen Winkel von 180°, weil sie jeweils die Hälfte der Bögen über den Vierecksseiten <math>\overline{AB}</math>, <math>\overline{BC}</math>, <math>\overline{CD}</math> und <math>\overline{DA}</math> enthalten.

Nach dem Kreiswinkelsatz sind die Umfangswinkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> jeweils halb so groß wie die zugehörigen Mittelpunktswinkel der Kreisbögen <math>b_1</math> und <math>b_2</math>.

Folglich gilt <math>\alpha + \beta = 90^\circ</math>, also sind wegen der Innenwinkelsumme 180° im Dreieck <math>GHK</math> auch die Strecken <math>\overline{EG}</math> und <math>\overline{FH}</math> orthogonal zueinander.<ref>Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH, [[Berlin]] 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, Seiten 120 und 121.</ref>

=== Einbeschriebene Raute ===
[[Datei:Raute in Sehnenviereck.svg|mini|hochkant=1.3|''Abb. 3'': Einbeschriebene Raute]]
Gegeben sei ein Sehnenviereck <math>ABCD</math>, bei dem sich die Verlängerungen von zwei gegenüberliegenden Seiten jeweils in <math>P</math> bzw. <math>Q</math> schneiden.

Dann ist das Viereck <math>EFGH</math>, dessen Eckpunkte die Schnittpunkte der [[Winkelhalbierende]]n durch <math>P</math> und <math>Q</math> mit den Seiten von <math>ABCD</math> sind, stets eine [[Raute]] (''Abbildung 3'').

''Beweis:''

Aus den Eigenschaften des Sehnenvierecks folgt, dass die Winkel <math>\angle QBF</math> und <math>\angle HDG</math> gleich groß sind. Die Dreiecke <math>BQF</math> und <math>HQD</math> sind [[Ähnlichkeit (Geometrie)|ähnlich]] zueinander, da sie in den obigen Winkeln und dem halben Winkel <math>\angle CQB</math> übereinstimmen. Daraus folgt, dass die Winkel <math>\angle BFQ</math> und <math>\angle FHD</math> gleich groß sind. Da <math>\angle BFQ</math> und <math>\angle CFH</math> [[Scheitelwinkel]] sind, haben auch sie dieselbe Weite. Damit sind wegen der Ähnlichkeit von <math>BQF</math> und <math>HQD</math> die Winkel <math>\angle PFH</math> und <math>\angle FHP</math> ebenfalls gleich groß. Also ist <math>HFP</math> ein [[gleichschenkliges Dreieck]] und somit die Winkelhalbierende <math>w_1</math> zugleich die [[Mittelsenkrechte]] von <math>HF</math>. Da <math>E</math> und <math>G</math> auf dieser Mittelsenkrechten liegen, haben sie denselben Abstand von <math>F</math> und <math>H</math>.

In analoger Vorgehensweise lässt sich schließen, dass <math>F</math> und <math>H</math> denselben Abstand von <math>E</math> und <math>G</math> haben.

Damit ist gezeigt, dass das Viereck <math>EFGH</math> eine Raute ist.<ref>[[Ross Honsberger]]: ''Gitter - Reste - Würfel'' [[Vieweg Verlag|Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH]], [[Braunschweig]] 1984, ISBN 978-3-528-08476-9, Seiten 218 und 219</ref><ref>George Zerr: ''Problem 90'', [[American Mathematical Monthly]], 1898, S. 143</ref>

=== Entstehung aus Winkelhalbierenden ===
[[Datei:Sehnenviereck im Viereck.svg|mini|hochkant=1.3|''Abb. 4'': Eingeschlossenes Sehnenviereck]]
Die Halbierenden der Innenwinkel eines beliebigen Vierecks umschließen ein Sehnenviereck ''(Abbildung 4)''.

''Beweis:''

Aus den Eigenschaften der Winkelsumme und der Scheitelwinkel folgt
:<math>\epsilon=180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\frac{\delta}{2}</math>
und
:<math>\zeta=180^\circ-\frac{\beta}{2}-\frac{\gamma}{2}</math>.
Aus der Summe
:<math>\epsilon+\zeta=360^\circ-\frac{1}{2} \left(\alpha+\beta+\gamma+\delta\right)=180^\circ</math>
folgt dann aufgrund der Eigenschaft gegenüberliegender Winkel im Sehnenviereck die Behauptung.

''Hinweis:''
Mit analoger Beweisführung gilt die obige Aussage auch für die [[Außenwinkel]].<ref>Lorenz Halbeisen, [[Norbert Hungerbühler]], Juan Läuchli: ''Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten - Perlen der klassischen Geometrie'', 2. Auflage, [[Springer Spektrum]] 2016, ISBN 978-3-662-63329-8, S. 23/220</ref>

=== Satz von Thébault für Sehnenvierecke ===
[[Datei:Sehnen4eck.svg|mini|''Abb. 5'': Zum Satz von Thébault für Sehnenvierecke]]
Der Satz von [[Victor Thébault|Thébault]] gilt für beliebige Sehnenvierecke:<ref name="Herrmann">{{Literatur
| Autor=Dietmar Herrmann
| Titel=Die antike Mathematik
| TitelErg=Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen
| Seiten=421 f
| Verlag=Springer Spektrum
| Ort=Berlin, Heidelberg
| ISBN=978-3-642-37611-5
| DOI=10.1007/978-3-642-37612-2
| Datum=2014}}
</ref> Die Lote der Seitenmitten auf die Gegenseiten (grün in Abb. 5) schneiden sich in einem Punkt <math>E</math>. Dieser ist der Spiegelpunkt des Umkreismittelpunkts <math>U</math> am Schwerpunkt <math>S</math> der vier Ecken (rot.)<ref>Ross Honsberger: ''Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry''. Cambridge University Press, S. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0 </ref>

Wenn die Diagonalen zueinander orthogonal sind, ist nach dem [[Satz von Brahmagupta]] <math>E</math> ihr Schnittpunkt. Daraus folgt, dass der Abstand des Mittelpunkts einer Seite zu <math>E</math> die Hälfte der Länge dieser Seite ist. Wenn <math>a,b,c,d</math> die Seitenlängen sind, wobei <math>a</math> die Gegenseite von <math>c</math> und <math>b</math> die von <math>d</math> ist, und <math>r</math> der Radius des Umkreises ist, dann gilt:
: <math>a^2+c^2=b^2+d^2=4r^2</math>.
{{Absatz}}

== {{Anker|Brahmagupta}} Formeln ==
{| class="wikitable"
! colspan="3" style="background:#C0C0FF" | Mathematische Formeln zum Sehnenviereck
|-
| rowspan="2" |'''[[Flächeninhalt]]'''
|<math>F = \sqrt{(s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c) \cdot (s - d)}</math> mit <math>s = \frac{a + b + c + d}{2}</math><ref name="Bronstein141">{{Literatur |Autor=Ilʹja N. Bronštejn |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=11., aktualisierte |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2020 |ISBN=978-3-8085-5792-1 |Seiten=141}}</ref>
| rowspan="6" |[[Datei:Sehnenviereck2a.svg|alternativtext=|rahmenlos]]
|-
|<math>F = \frac{e \cdot (a \cdot b + c \cdot d)}{4 \cdot R}=\frac{f \cdot (a \cdot d + b \cdot c)}{4 \cdot R}</math>
|-
| rowspan="2" |Länge der [[Diagonale (Geometrie)|'''Diagonalen''']]
|<math>e = |AC|=\sqrt{\frac{(a \cdot c + b \cdot d) \cdot (a \cdot d + b \cdot c)}{a \cdot b + c \cdot d}} </math><ref name="Bronstein140">{{Literatur |Autor=Ilʹja N. Bronštejn |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=11., aktualisierte |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2020 |ISBN=978-3-8085-5792-1 |Seiten=140}}</ref>
|-
|<math>f = |BD| = \sqrt{\frac{(a \cdot b + c \cdot d) \cdot (a \cdot c + b \cdot d)}{a \cdot d + b \cdot c}} </math><ref name="Bronstein140" />
|-
|[[Umkreis|'''Umkreisradius''']]
|<math>R = \frac{1}{4 \cdot F} \cdot \sqrt{(a \cdot b + c \cdot d) \cdot (a \cdot c + b \cdot d) \cdot (a \cdot d + b \cdot c)}</math><ref name="Bronstein140" />
|-
|'''[[Innenwinkel]]'''
|<math> \alpha + \gamma = \beta + \delta = 180^\circ </math>
|}
Die zuerst genannte Formel für den Flächeninhalt ist eine Verallgemeinerung des [[Satz des Heron]] für [[Dreieck]]e und wird auch als ''Satz von [[Brahmagupta]]'' oder '''Formel von Brahmagupta''' bezeichnet. Hierbei fasst man ein Dreieck als ein ausgeartetes Sehnenviereck auf, dessen vierte Seite die Länge 0 besitzt, d.&nbsp;h. zwei seiner [[Eckpunkt]]e liegen aufeinander. Die Formel von Brahmagupta kann zur [[Formel von Bretschneider]] verallgemeinert werden, diese fügt Brahmaguptas Formel einen Korrekturterm, der im Falle eines Sehnenvierecks 0 ist, hinzu und gilt dann für beliebige [[Viereck]]e.

Ein [[Viereck]] mit festen, geordneten [[Seitenlänge]]n hat genau dann den größtmöglichen Flächeninhalt, wenn es ein Sehnenviereck ist. Ebenso hat ein [[Vieleck]] genau dann den größten Flächeninhalt, wenn es ein Sehnenvieleck ist.<ref>Titu Andreescu, Oleg Mushkarov, Luchezar N. Stoyanov: ''Geometric Problems on Maxima and Minima.'' Birkhäuser, Boston u.&nbsp;a. 2006, ISBN 0-8176-3517-3, S. 69 ({{Google Buch |BuchID=Gvrr-7wt__gC |Seite=69 |Linktext=Auszug (Google) |KeinText=ja}}).</ref>

=== Weitere Formeln ===
Nach dem [[Satz des Pythagoras]] gilt für die Flächeninhalte der [[Dreieck]]e ABM, BCM, CDM und DAM

:<math>F(ABM) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{R^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a}{4} \cdot \sqrt{4 \cdot R^2 - a^2} </math> und entsprechend
:<math>F(BCM) = \frac{b}{4} \cdot \sqrt{4 \cdot R^2 - b^2} </math>
:<math>F(CDM) = \frac{c}{4} \cdot \sqrt{4 \cdot R^2 - c^2} </math>
:<math>F(DAM) = \frac{d}{4} \cdot \sqrt{4 \cdot R^2 - d^2} </math>

Der Flächeninhalt des Sehnenvierecks ABCD ist die Summe dieser vier Flächeninhalte, also gilt
:<math>\begin{align}
F &= F(ABM) + F(BCM) + F(CDM) + F(DAM)
\\ &= \frac{a}{4} \cdot \sqrt{4 \cdot R^2 - a^2} + \frac{b}{4} \cdot \sqrt{4 \cdot R^2 - b^2} + \frac{c}{4} \cdot \sqrt{4 \cdot R^2 - c^2} + \frac{d}{4} \cdot \sqrt{4 \cdot R^2 - d^2}
\\ &= \frac{1}{4} \cdot \left(a \cdot \sqrt{4 \cdot R^2 - a^2} + b \cdot \sqrt{4 \cdot R^2 - b^2} + c \cdot \sqrt{4 \cdot R^2 - c^2} + d \cdot \sqrt{4 \cdot R^2 - d^2}\right)
\end{align}</math>

Bezeichnet man die [[Mittelpunktswinkel]], die den Seiten <math>a </math>, <math>b </math>, <math>c </math>, <math>d </math> gegenüber liegen, mit <math>\alpha_m </math>, <math>\beta_m </math>, <math>\gamma_m </math>, <math>\delta_m </math>, dann gilt nach der Definition von [[Sinus und Kosinus]]
:<math>\sin \left(\frac{\alpha_m}{2}\right) = \frac{a}{2 \cdot R}</math> und <math>\cos \left(\frac{\alpha_m}{2}\right) = \frac{\sqrt{4 \cdot R^2 - a^2}}{2 \cdot R}</math>, also <math>\sin \left(\frac{\alpha_m}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\alpha_m}{2}\right) = \frac{a}{2 \cdot R} \cdot \frac{\sqrt{4 \cdot R^2 - a^2}}{2 \cdot R} = \frac{a \cdot \sqrt{4 \cdot R^2 - a^2}}{4 \cdot R^2}</math>. Aus der Formel für die [[Formelsammlung Trigonometrie#Doppelwinkelfunktionen|Doppelwinkelfunktionen]] folgt
:<math>a \cdot \sqrt{4 \cdot R^2 - a^2} = 4 \cdot R^2 \cdot \sin \left(\frac{\alpha_m}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\alpha_m}{2}\right) = 2 \cdot R^2 \cdot \sin(\alpha_m)</math> und entsprechend
:<math>b \cdot \sqrt{4 \cdot R^2 - b^2} = 2 \cdot R^2 \cdot \sin(\beta_m)</math>
:<math>c \cdot \sqrt{4 \cdot R^2 - c^2} = 2 \cdot R^2 \cdot \sin(\gamma_m)</math>
:<math>d \cdot \sqrt{4 \cdot R^2 - d^2} = 2 \cdot R^2 \cdot \sin(\delta_m)</math>

Einsetzen in die [[Formel]] für den Flächeninhalt ergibt<ref>Harald Schröer, Universitätsbibliothek Heidelberg: [http://archiv.ub.uni-heidelberg.de/volltextserver/16029/1/shs-dt.pdf Die 4. Seite und der Flächeninhalt des Sehnenvierecks]</ref>
:<math>\begin{align}
F &= \frac{1}{4} \cdot \left(2 \cdot R^2 \cdot \sin(\alpha_m) + 2 \cdot R^2 \cdot \sin(\beta_m) + 2 \cdot R^2 \cdot \sin(\gamma_m) + 2 \cdot R^2 \cdot \sin(\delta_m)\right)
\\ &= \frac{R^2}{2} \cdot \left(\sin(\alpha_m) + \sin(\beta_m) + \sin(\gamma_m) + \sin(\delta_m)\right)
\end{align}</math>

== Gleichungen ==
Für die [[Innenwinkel]] eines Sehnenvierecks gelten folgende [[Gleichung]]en:<ref>C. V. Durell, A. Robson: ''Advanced Trigonometry''. Dover, 2003 (Nachdruck der Originalausgabe von 1930), S. 23, 26, 31</ref>

:<math>\sin(\alpha) = \frac{2 \cdot \sqrt{(s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c) \cdot (s - d)}}{a \cdot d + b \cdot c}</math>
:<math>\cos(\alpha) = \frac{a^2 + d^2 - b^2 - c^2}{2 \cdot (a \cdot d + b \cdot c)}</math>
:<math>\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{(s - a) \cdot (s - d)}{(s - b) \cdot (s - c)}}</math>

Für den Schnittwinkel der [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] gilt:

:<math>\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{(s - b) \cdot (s - d)}{(s - a) \cdot (s - c)}}</math>

Für den Schnittwinkel der verlängerten Seiten a und c gilt:

:<math>\cos\left({\frac{\varphi}{2}}\right) = \sqrt{\frac{(s - b) \cdot (s - d) \cdot (b + d)^2}{(a \cdot b + c \cdot d) \cdot (a \cdot d + b \cdot c)}}</math>

Die Bezeichnung <math>s = \tfrac{1}{2} (a+b+c+d)</math> steht für den halben Umfang des Sehnenvierecks.

== Sehnentangentenviereck ==

=== Spezielle Eigenschaften ===
[[Datei:Sehnentangentenviereck.svg|mini|Sehnentangentenviereck]]
Ist ein Sehnenviereck auch zugleich ein [[Tangentenviereck]], so wird es '''Sehnentangentenviereck''' genannt. Es besitzt sowohl einen [[Inkreis]] als auch einen Umkreis. Da die Konstruktion eines Sehnentangentenvierecks aufwändiger ist als die eines reinen Sehnen-, bzw. Tangentenvierecks, liefert der nachfolgende Satz ein Kriterium, welches die Konstruktion erleichtert:

''Ein Tangentenviereck ist genau dann ein Sehnentangentenviereck, wenn die Verbindungsstrecken gegenüberliegender Berührpunkte des Inkreises senkrecht aufeinander stehen.''

''Beweis:''

Zu zeigen ist, dass das Tangentenviereck <math>ABCD</math> genau dann zugleich ein Sehnenviereck ist, wenn <math>\varphi=90^\circ</math> gilt.

Anders ausgedrückt ist somit zu zeigen:
:<math>\beta+\delta=180^\circ\Leftrightarrow\varphi=90^\circ</math>

Da die beiden Dreiecke <math>EGM_1</math> und <math>FHM_1</math> [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenklig]] sind, haben die Winkel <math>\angle M_1GE</math> und <math>\angle GEM_1</math> jeweils die Weite <math>\alpha</math> und die Winkel <math>\angle HFM_1</math> und <math>\angle M_1HF</math> jeweils die Weite <math>\gamma</math>.

Das Viereck <math>SECF</math> hat die Innenwinkelsumme
:<math>(90^\circ-\alpha)+\beta+(90^\circ+\gamma)+\varphi=360^\circ \Leftrightarrow \beta=\alpha-\gamma-\varphi+180^\circ</math>.
Das Viereck <math>AHSG</math> hat die Innenwinkelsumme
:<math>\delta+(90^\circ-\gamma)+\varphi+(90^\circ+\alpha)=360^\circ \Leftrightarrow \delta=\gamma-\varphi-\alpha+180^\circ</math>.
Nach Addition dieser beiden Gleichungen erhält man:
:<math>\beta+\delta=360^\circ-2\varphi</math>

Also ist <math>\beta+\delta=180^\circ</math> genau dann, wenn <math>\varphi=90^\circ</math>, [[Quod erat demonstrandum|was zu zeigen war]].

=== Vereinfachte Flächeninhaltsberechnung ===
Aus der Flächeninhaltsformel <math>F = \sqrt{(s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c) \cdot (s - d)}</math> für Sehnenvierecke und der Halbumfangsformel <math>s=a+c=b+d</math> für Tangentenvierecke nach dem [[Satz von Pitot]] folgt speziell für Sehnentangentenvierecke die vereinfachte Flächeninhaltsformel
:<math>F =\sqrt{a\cdot b\cdot c\cdot d}</math>.<ref>Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 133–134.</ref>

== Siehe auch ==
* [[Japanischer Satz für Sehnenvierecke]]
* [[Tangentenviereck]]
* [[Sehnenvieleck]]

== Literatur ==
* {{Literatur |Hrsg= |Autor=Wolfgang Zeuge |Titel=Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. |Auflage= |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2018 |ISBN=0-88385-639-5 |Seiten=99–114 |Online=}}
* {{Literatur |Hrsg= |Autor=[[Ross Honsberger]] |Titel=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry |Auflage= |Verlag=Mathematical Association of America |Ort= |Datum=1995 |Reihe=New Mathematical Library |BandReihe=37 |ISBN=0-88385-639-5 |Seiten=35–43 |Online=https://archive.org/details/episodes-in-nineteenth-and-twentieth-century-euclidean-geometry-ross-honsberger/}}
* {{Literatur |Autor=C. J. Bradley |Titel=Cyclic Quadrilaterals |TitelErg= |Sammelwerk=The Mathematical Gazette |Band=88 |Nummer=513 |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum=2004-11 |JSTOR=3620718 |Seiten=417-431}}

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Satz des Ptolemäus|Beweis des Satzes des Ptolemäus}}
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Sehnenviereck|Beweis zur Größe des gegenüberliegenden Winkels im Sehnenviereck}}
* [https://www.mathematische-basteleien.de/sehnenviereck.htm Sehnenviereck] auf www.mathematische-basteleien.de
* [[Hans Walser (Mathematiker)|Hans Walser]]: [https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sehnenviereck/Sehnenviereck.pdf Sehnenviereck] (PDF; 0,8&nbsp;MB)
* [https://www.math.uni-bremen.de/didaktik/ma/ralbers/Veranstaltungen/Aarchiv/GeoPeitg08/Material/HA07_Sehnen_Tangt.pdf Das Sehnen- & Tangentenviereck] (PDF; 1,7&nbsp;MB)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Viereck]]
[[Kategorie:Vierecksgeometrie]]