Quelltext der Seite Sehnensatz

[[Datei:Chord theorem.svg|mini|hochkant=1|Sehnensatz]]
Der '''Sehnensatz''' ist ein Satz aus der Elementargeometrie und beschreibt eine Beziehung zwischen den Strecken, die von zwei sich schneidenden [[Sehne (Geometrie)|Kreissehnen]] gebildet werden.

Genauer besagt er:
: ''Schneiden sich in einem Kreis zwei Sehnen in einem Punkt <math>S</math>, so ist das Produkt der dadurch gebildeten Abschnitte auf der einen Sehne gleich dem Produkt der Abschnitte auf der anderen Sehne.''

== Geschichte ==
Euklid formulierte und bewies den Sehnensatz in seinen ''[[Elemente (Euklid)|Elementen]]'' (Buch III, §&nbsp;35).

== Formulierung des Satzes ==
Gegeben sei ein [[Kreis (Geometrie)|Kreis]] mit zwei [[Sehne (Mathematik)|Sehnen]], die sich in einem Punkt <math>S</math> schneiden. Die [[Schnittpunkt]]e des Kreises mit der einen Sehne seien mit <math>A</math> und <math>C</math>, die mit der anderen Sehne mit <math>B</math> und <math>D</math> bezeichnet.
Dann gilt:

:<math>|\overline{AS}| \cdot |\overline{CS}| = |\overline{BS}| \cdot |\overline{DS}|</math>

Die Aussage kann auch als Verhältnisgleichung formuliert werden:

:<math>|\overline{AS}| : |\overline{DS}| = |\overline{BS}| : |\overline{CS}|</math>

== Umkehrung ==
Es gilt auch die Umkehrung des Satzes:
Wenn für die Diagonalen eines Vierecks <math>ABCD</math> mit dem Diagonalenschnittpunkt <math>S</math>

:<math>|\overline {AS}| \cdot |\overline {CS}| = |\overline {BS}| \cdot |\overline {DS}|</math>

gilt, dann besitzt dieses Viereck einen [[Umkreis]], das heißt, es ist ein [[Sehnenviereck]].

== Zusammenhang mit dem Höhensatz ==

[[Datei:Sehnensatz hoehensatz.svg|mini|Sehnensatz als Höhensatz<br /><nowiki>|CD||DE|=|AD||DB|</nowiki> <=> h<sup>2</sup>=pq]]
Der Sehnensatz lässt sich auch als eine Verallgemeinerung des [[Höhensatz des Euklid|Höhensatzes von Euklid]] auffassen. Wählt man die beiden Sehnen nämlich so, dass eine von ihnen dem Durchmesser entspricht und die andere auf ihr senkrecht steht, so bilden deren Endpunkte mit den Endpunkten des Durchmessers nach dem [[Satz des Thales]] ein rechtwinkliges Dreieck und die Aussage des Sehnensatzes entspricht in dieser Konfiguration der des Höhensatzes von Euklid.

== Herleitung ==
[[Datei:Chord theorem proof.svg|mini|hochkant=1|{{center|<math>\triangle ASD \sim \triangle BSC</math>}}]]
Der Satz ergibt sich unmittelbar aus in der Konfiguration auftretenden [[Ähnlichkeitssätze|ähnlichen Dreiecken]]. Für die Dreiecke ''ASD'' and ''BSC'' gilt nämlich:
:<math>
\begin{align}
\angle ADS&=\angle SCB\, (\text{Umfangswinkel ueber AB})\\
\angle SAD&=\angle CBS\, (\text{Umfangswinkel ueber CD})\\
\angle DSA&=\angle BSC\, (\text{Scheitelwinkel})
\end{align}
</math>
Damit sind die beiden Dreiecke ähnlich und es folgt somit:

:<math>\frac{|\overline{AS}|}{|\overline{SD}|} = \frac{|\overline{BS}|}{|\overline{SC}|} \Leftrightarrow |\overline{AS}| \cdot |\overline{SC}| = |\overline{BS}| \cdot |\overline{SD}|</math>

Ein ''rechnerischer'' Nachweis mit Hilfe des [[Satz von Vieta|Satzes von Vieta]] ist in dem Artikel [[Potenz (Geometrie)]] enthalten.

== Siehe auch ==
* [[Sekantensatz]]
* [[Sekanten-Tangenten-Satz]]
* [[Potenz (Geometrie)]], vereinigt die Aussage von Sehnen-, Sekanten- und Sekanten-Tangentensatz in einem einheitlichen Konzept

== Literatur ==
* [[Max Koecher]], [[Aloys Krieg]]: ''Ebene Geometrie.'' 2. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u.&nbsp;a. 2000, ISBN 3-540-67643-0 (''Springer-Lehrbuch''), S.&nbsp;148
* Hans Schupp: ''Elementargeometrie.'' Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, S.&nbsp;149 (''Uni-Taschenbücher'' 669).
* ''Schülerduden – Mathematik I''. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, S.&nbsp;415–417

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Sehnensatz|Beweis des Sehnensatzes}}
* [http://www.cut-the-knot.org/proofs/IntersectingChordsTheorem.shtml ''Intersecting Chords Theorem''] auf cut-the-knot.org
* [https://proofwiki.org/wiki/Intersecting_Chords_Theorem ''Intersecting Chords Theorem''] auf proofwiki.org
*{{MathWorld|id=Chord|title=Chord}}

[[Kategorie:Kreisgeometrie]]
[[Kategorie:Satz (Ebene Geometrie)]]