Quelltext der Seite Schwache Ableitung

Eine '''schwache Ableitung''' ist in der [[Funktionalanalysis]], einem [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet der Mathematik]], eine Erweiterung des Begriffs der gewöhnlichen (klassischen) [[Differenzierbarkeit|Ableitung]]. Er ermöglicht es, Funktionen eine Ableitung zuzuordnen, die nicht (stark bzw. im klassischen Sinne) differenzierbar sind.

Schwache Ableitungen spielen eine große Rolle in der Theorie der [[partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]]. Räume schwach differenzierbarer Funktionen sind die [[Sobolev-Raum|Sobolev-Räume]]. Ein noch allgemeinerer Begriff der Ableitung ist die [[Distribution (Mathematik)|Distributionenableitung]].

== Definition ==
=== Schwache Ableitung für reelle Funktionen ===
Betrachtet man eine auf einem offenen Intervall <math>I = (a,b)</math> (klassisch) differenzierbare Funktion <math>f</math>, deren Ableitung <math>f^\prime</math> eine [[Lokal integrierbare Funktion|<math>L^1_{\mathrm{loc}}</math>-Funktion]] (lokal in <math>I</math> integrierbar) ist, und eine [[Testfunktion]] <math>\varphi \in C_c^\infty(I)</math> (das heißt, <math>\varphi</math> ist beliebig oft differenzierbar und besitzt einen [[Kompakter Raum|kompakten]] [[Träger (Mathematik)|Träger]]), dann gilt

:<math> \int_I f^\prime(t) \varphi(t) \,\mathrm{d}t = - \int_I f(t) \varphi^\prime(t) \,\mathrm{d}t</math>.

Hierbei wurde die [[partielle Integration]] verwendet, wobei die Randterme auf Grund der Eigenschaften der Testfunktionen wegfallen <math>\left(\varphi(a) = 0, \varphi(b) = 0\right)</math> . Lässt man die Forderung an die Integrabilität der Ableitung weg, ist das Integral auf der linken Seite der obigen Gleichung im Allgemeinen nicht [[Wohldefiniertheit|wohldefiniert]].

Ist <math>f</math> selbst eine <math>L^1_{\mathrm{loc}}</math>-Funktion, dann kann, auch wenn <math>f</math> nicht differenzierbar ist, eine Funktion <math>g \in L^1_{\mathrm{loc}}(I)</math> existieren, die die Gleichung

:<math> \int_I g(t) \varphi(t) \,\mathrm{d}t = - \int_I f(t) \varphi^\prime(t) \,\mathrm{d}t</math>

für jede Testfunktion <math>\varphi</math> erfüllt. Eine solche Funktion <math>g</math> heißt ''schwache Ableitung'' von <math>f</math>. Man schreibt wie bei der klassischen Ableitung <math>f^\prime := g</math>.

=== Höhere schwache Ableitungen ===
Sinngemäß zum oben beschriebenen Fall können schwache Ableitungen auch für Funktionen auf höherdimensionalen Räumen definiert werden. Entsprechend kann man auch die höheren schwachen Ableitungen definieren.

Es seien <math>\Omega\subseteq \R^n</math>, <math>f \colon \Omega \rightarrow \R</math> eine lokal integrierbare Funktion, das heißt, <math>f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)</math>, und <math>\alpha = (\alpha_1, \dotsc, \alpha_n) \in \N_0^n</math> ein [[Multiindex]].

Eine Funktion <math>g \in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)</math> heißt ''<math>\alpha</math>-te schwache Ableitung'' von <math>f</math>, falls für alle Testfunktionen <math>\varphi</math> gilt:

:<math>\int_{\Omega}g(x) \varphi(x)\, \mathrm{d}x = (-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}f(x) D^{\alpha}\varphi(x) \,\mathrm{d}x</math>.

Hierbei ist <math>\textstyle |\alpha| = \sum_{i=1}^n\alpha_i</math> und <math>D^{\alpha} = \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial^{\alpha_1}x_1\dotso\partial^{\alpha_n}x_n}</math>. Häufig schreibt man <math>g = D^{\alpha} f</math>.

Man kann statt <math>f, g \in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)</math> offenbar auch nur <math>f, g \in L^p(\Omega)</math> für <math>1 \leq p \leq \infty</math> fordern. Die [[Teilmenge]] der Funktionen aus <math>L^p</math>, in der <math>n \geq 1</math> schwache Ableitungen existieren, ist ein sogenannter [[Sobolev-Raum]].

Liegt eine Funktion <math>f \colon \Omega \rightarrow \R^m</math> vor, so fordert man die schwache Differenzierbarkeit in jeder der <math>m</math> Bildkomponenten.

=== Erweiterungen ===
Die Definition der schwachen Ableitung lässt sich auf unbeschränkte Mengen (also ganz <math>\R</math> oder <math>\R^n</math>), Räume periodischer Funktionen oder Räume auf der Kugel oder höherdimensionalen Sphären erweitern.

In einer weiteren Verallgemeinerung lassen sich auch Ableitungen gebrochener Ordnung gewinnen.

== Eigenschaften ==
=== Eindeutigkeit ===
Die schwache Ableitung ist, wenn sie existiert, eindeutig: Gäbe es zwei schwache Ableitungen <math>g_1</math> und <math>g_2</math>, dann müsste nach der Definition

:<math> \int_I (g_1(t) - g_2(t)) \varphi(t) \,\mathrm{d}t = 0</math>

für alle Testfunktionen <math>\varphi</math> gelten, was aber nach dem [[Lemma von du Bois-Reymond|Lemma von Du Bois-Reymond]] <math>g_1 = g_2</math> bedeutet (im <math>L^1_{\mathrm{loc}}</math>-Sinne, d.&nbsp;h. [[fast überall]]), da die Testfunktionen dicht in <math>L^p</math> liegen (für <math> 1 \leq p < \infty </math>).

=== Beziehung zur klassischen (starken) Ableitung ===
Bei jeder klassisch differenzierbaren Funktion <math>f</math>, deren Ableitung <math>f^\prime</math> eine <math>L^1_{\mathrm{loc}}</math>-Funktion ist, existiert die schwache Ableitung und stimmt mit der klassischen Ableitung überein, so dass man von einer Verallgemeinerung des Ableitungsbegriffs sprechen kann. Im Gegensatz zur klassischen Ableitung ist die schwache Ableitung aber nicht punktweise, sondern nur für die [[ganze Funktion]] definiert. Punktweise muss eine schwache Ableitung nicht einmal existieren. Gleichheit ist daher im <math>L^1_{\mathrm{loc}}</math>-Sinne zu verstehen, d.&nbsp;h. fast überall.

Es lässt sich zeigen, dass hinreichend oft vorhandene schwache Differenzierbarkeit auch wieder Differenzierbarkeit im klassischen Sinne nach sich zieht. Dies ist gerade die Aussage des [[Einbettungssatz von Sobolew]]: Unter gewissen Bedingungen existieren Einbettungen eines [[Sobolew-Raum]]s mit <math>n</math> schwachen Ableitungen in Räume <math>k</math>-fach differenzierbarer Funktionen <math>C^k</math> mit <math>n > k \ge 0</math>.

=== Existenz ===
* Eine [[Absolut stetige Funktion|absolutstetige]] Funktion besitzt eine schwache Ableitung.

== Beispiele ==
[[Datei:Abs x.svg|mini|Schwache Ableitung Absolutbetrag]]

* Die [[Betragsfunktion]] <math>f(x) = |x|</math> (vgl. [[Differenzierbarkeit#Beispiele für nicht differenzierbare Funktionen|Beispiel nicht differenzierbare Funktion]]) ist in jedem Punkt außer <math>x = 0</math> klassisch differenzierbar und besitzt daher in dem Intervall <math>]a,b[</math> für <math>a<0<b</math> keine klassische Ableitung. Allerdings gilt für <math>f^\prime\colon{]a,b[}\to\R</math> mit

::<math> f^\prime(x) = \begin{cases} -1  &: x < 0\\ 0  &: x = 0\\ +1  &: x > 0 \end{cases} </math>

:und einer beliebigen Testfunktion <math>\varphi\colon{]a,b[}\to\R</math> gerade

::<math>\begin{align}
\int_a^b\varphi'(x)\cdot f(x) \,\mathrm{d}x=&\int_a^0-\varphi'(x)x \,\mathrm{d}x+\int_0^b\varphi'(x)x \,\mathrm{d}x\\=&-\left(\int_a^0\varphi(x)\cdot (-1)\,\mathrm{d}x+\int_0^b\varphi(x)\cdot 1\,\mathrm{d}x\right)\\
=&-\int_a^b\varphi(x)\cdot f^\prime(x)\,\mathrm{d}x.
\end{align}</math>

:Somit ist <math>f^\prime</math> eine schwache Ableitung von <math>f</math>.

:Da <math>\{0\}</math> eine [[Nullmenge]] ist und daher bei der Integration unbedeutend ist, kann man den Wert an der Stelle 0 beliebig setzen. Die oben gewählte Ableitung ist die  [[Signumfunktion]]. Die Signumfunktion selbst ist nicht mehr schwach differenzierbar, aber man kann sie im Sinne von [[Distribution (Mathematik)|Distributionen]] ableiten.

* Die Funktion

::<math> f(x) = \begin{cases} x^2 \sin\left(\frac{1}{x^2}\right) &: x \neq 0\\ 0 &: x = 0 \end{cases} </math>

:ist klassisch differenzierbar auf dem Intervall <math>I=(-1,1)</math>, aber nicht schwach differenzierbar. Das Problem ist, dass die Ableitung

::<math> f^\prime(x) = \begin{cases} 2x \sin \left(\frac{1}{x^2}\right) - \frac{2}{x} \cos \left(\frac{1}{x^2}\right) &: x \neq 0\\ 0 &: x = 0 \end{cases} </math>

:auf jeder beliebigen <math>0</math> enthaltenden, kompakten Teilmenge von <math>I</math> nicht Lebesgue-integrierbar ist. Damit ist insbesondere das Integral <math>\textstyle \int_I f^\prime(t) \varphi(t) \,\mathrm{d}t </math> nicht für alle Testfunktionen <math>\varphi \in C_c^\infty(I)</math> wohldefiniert.

== Literatur ==
* [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis'', Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-72533-6.
* Lawrence Evans: ''Partial Differential Equations'', American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2.

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]