Quelltext der Seite Schießverfahren

Das '''Schießverfahren''', auch '''Einfachschießverfahren''' ({{EnS}} ''(single) shooting method''), ist eine [[Numerische Mathematik|numerische]] Methode, um [[Randwertproblem]]e [[gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlicher Differentialgleichungen]] zu lösen. Die Grundidee des Verfahrens besteht darin, das Problem auf die Lösung eines [[Anfangswertproblem]]s zurückzuführen.

Das Verfahren erinnert an das [[Einschießen (indirektes Feuer)|Einschießen]] in der [[Artillerie]], eine Methode, um mit einem Geschoss ein entferntes Ziel zu treffen. Das Geschoss wird mit einer bestimmten Anfangssteigung abgefeuert. Diese Anfangssteigung variiert man so lange, bis man das Ziel trifft. Daher rührt die Bezeichnung ''Schießverfahren''.

== Verfahren ==
Das Randwertproblem zweiter Ordnung mit gesuchter Funktion <math>\,y(t)</math> und rechter Seite <math>f</math> 
:<math>y''(t)=f(t,y(t),y'(t)), \quad y(t_1)=a,\quad y(t_2)=b</math>
wird umformuliert in ein Anfangswertproblem
:<math>y''(t)=f(t,y(t),y'(t)), \quad y(t_1)=a,\quad y'(t_1)= c </math>
Der zweite, unbekannte Anfangswert <math>c</math> ist frei wählbar. Das Anfangswertproblem wird so lange in Abhängigkeit vom Parameter ''c'' integriert, bis die Bedingung am anderen Rand <math>\quad y(t_2)=b</math> erfüllt ist. Die Lösung <math>y(t\,;c)</math> des Anfangswertproblems kann dabei mit einem numerischen Verfahren, z.&nbsp;B. [[Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta]] gelöst werden. <math>y(t\,;c)</math> ist abhängig vom Anfangswert <math>c</math>. Definiere dazu eine Funktion ''F''
: <math>F(c):=y(t_2,c)-b \quad </math>
Dieses oft nichtlineare Gleichungssystem kann numerisch zum Beispiel mit dem [[Newton-Verfahren]] oder dem [[Bisektion]]sverfahren gelöst werden. Die Lösung des Anfangswertproblems ist genau dann eine Lösung des Randwertproblems, wenn ''F'' in ''c'' eine [[Nullstelle]] hat:
:<math>0=y(t_2,c)-b \quad \Leftrightarrow \quad y(t_2,c)=b</math>

In der Praxis verwendet man aus Stabilitätsgründen die sogenannte [[Mehrfachschießverfahren|Mehrzielvariante]] des Schießverfahrens, bei dem stückweise Lösungen in Teilintervallen eines [[Gitter (Mathematik)|Gitters]] <math>\Delta=\left\{t_1=x_0,x_1,\dots,x_{n-1},x_n=t_2\right\}</math> berechnet werden, aus denen sich anschließend die Lösung in <math>[a,b]</math> zusammensetzt.

== Literatur ==
* J. Stoer, [[Roland Bulirsch|R. Bulirsch]]: ''Introduction to Numerical Analysis.'' Springer, New York 1980
* A. Willers: ''Methoden der praktischen Analysis.'' 2. Auflage. De Gruyter, Berlin 1950
* L. Collatz: ''Numerische Behandlung von Differentialgleichungen.'' Springer, Berlin 1951
* [[Martin Hermann (Mathematiker)|M. Hermann]]: ''Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen. Band 1:  Anfangswertprobleme und lineare Randwertprobleme.'' 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin und Boston 2017. ISBN 978-3-11-050036-3
*[[Martin Hermann (Mathematiker)|M. Hermann]]: ''Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen. Band 2:  Nichtlineare Randwertprobleme.'' 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin und Boston 2018. ISBN 978-3-11-051488-9


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[[Kategorie:Numerische Mathematik]]