Quelltext der Seite Satz von Mackey-Arens

Der '''Satz von Mackey-Arens''' (nach [[George Mackey]] und [[Richard Friederich Arens]]) ist ein [[Mathematik|mathematischer]] Satz aus der [[Funktionalanalysis]], genauer aus der Theorie der [[lokalkonvexer Raum|lokalkonvexen Räum]]e. Der Satz von Mackey-Arens behandelt die Frage, in welchen Topologien bestimmte wichtige Abbildungen [[Stetige Funktion|stetig]] sind. 

Genauer sei ein lokalkonvexer Raum <math>E</math> mit einer [[Topologischer Raum#Definition|Topologie]] <math>t</math> gegeben. Dann betrachtet man den [[Dualraum]] E' der bezüglich <math>t</math> [[Stetige Funktion|stetigen]], linearen [[Funktional]]e auf <math>E</math>. Die Frage ist nun, welche weiteren lokalkonvexen Topologien auf <math>E</math> zu denselben stetigen, linearen Funktionalen wie <math>t</math> führen. Solche Topologien heißen zulässig. 

Es stellt sich heraus, dass es eine schwächste und eine stärkste zulässige Topologie gibt.

== Die schwächste zulässige Topologie ==
Die schwächste zulässige Topologie, d.&nbsp;h. die schwächste Topologie, bzgl. der alle Funktionale aus E' stetig sind, ist die [[schwache Topologie]] <math>\sigma(E,E')</math>. Es ist klar, dass es keine zulässige Topologie geben kann, die echt schwächer ist, und es ist nicht schwer zu zeigen, dass <math>\sigma(E,E')</math> selbst zulässig ist.

== Die Mackey-Topologie ==
Der Dualraum E' trägt die [[schwach-*-Topologie]], das ist die schwächste Topologie auf E', die alle Abbildungen der Form <math>\hat{x}: E'\rightarrow{\mathbb K},\, f\mapsto f(x)</math>, wobei <math>x\in E</math>, stetig macht. 
Sei <math>\mathcal M</math> die Menge aller [[absolutkonvexe Menge|absolutkonvexen]] und schwach-*-[[kompakter Raum|kompakten]] Mengen <math>M\subset E'</math>. Zu <math>M\in {\mathcal M}</math> sei <math>p_M</math> die durch <math>\textstyle p_M(x) := \sup_{f\in M}|f(x)|</math> definierte [[Halbnorm]] auf <math>E</math>. Dann definiert die Menge <math>\{p_M;M\in {\mathcal M}\}</math> eine lokalkonvexe Topologie auf <math>E</math>, die man die ''Mackey-Topologie'' auf <math>E</math> nennt und mit <math>\tau(E,E')</math> bezeichnet. Identifiziert man <math>x</math> mit <math>\hat{x}</math>, d.&nbsp;h. mit einer Funktion auf E', so ist die Mackey-Topologie nichts anderes als die Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf absolutkonvexen, schwach-*-kompakten Mengen.

Es zeigt sich nun, dass man mit der Mackey-Topologie die zulässigen Topologien charakterisieren kann.

== Satz von Mackey-Arens ==
* Ist <math>E</math> ein lokalkonvexer Raum, so ist eine lokalkonvexe Topologie <math>s</math> auf <math>E</math> genau dann zulässig, wenn <math>\sigma(E,E') \subset s \subset \tau(E,E')</math>.

Nach diesem Satz ist die Mackey-Topologie die stärkste zulässige Topologie auf <math>E</math>, die Existenz einer solchen Topologie ist nicht offensichtlich! Die Ausgangstopologie von <math>E</math> ist definitionsgemäß selbst zulässig, liegt also ebenfalls zwischen <math>\sigma(E,E')</math> und <math>\tau(E,E')</math>. Stimmt die Ausgangstopologie von <math>E</math> mit der Mackey-Topologie überein, so nennt man <math>E</math> einen ''Mackey-Raum''. Man kann zeigen, dass [[tonnelierter Raum|quasitonnelierte]] Räume stets Mackey-Räume sind. Insbesondere sind daher alle [[tonnelierter Raum|tonnelierten]] und alle [[bornologischer Raum|bornologischen]] Räume Mackey-Räume.

== Satz von Mackey ==

Eine Menge <math>B</math> eines lokalkonvexen Raums heißt [[Beschränktheit#Beschränkte Mengen in topologischen Vektorräumen|beschränkt]], wenn es zu jeder Nullumgebung <math>U</math> ein <math>r>0</math> gibt mit <math>B\subset rU</math>.
Die Beschränktheit hängt damit von der Topologie ab. Daher ist der folgende Satz von Mackey bemerkenswert:

Für eine Teilmenge <math>B</math> eines lokalkonvexen Raumes sind äquivalent:
* <math>B</math> ist beschränkt bzgl. der Topologie auf <math>E</math>.
* <math>B</math> ist bezüglich jeder zulässigen Topologie beschränkt.
* <math>B</math> ist bezüglich <math>\sigma(E,E')</math> beschränkt.
* <math>B</math> ist bezüglich <math>\tau(E,E')</math> beschränkt.

== Bedeutung ==
Der Sätze von Mackey und Mackey-Arens und die Mackey-Topologie spielen eine wichtige Rolle in der Dualitätstheorie lokalkonvexer Räume. Sie finden u.&nbsp;a. Anwendung in der Charakterisierung der [[reflexiver_Raum#Reflexive_lokalkonvexe_Räume|Halbreflexivität]]. Weitere Folgerungen sind Sätze der Art 
* Der [[schwach-*-Topologie|schwache]] Dualraum eines [[tonnelierter Raum|tonnelierten Raums]] ist [[vollständiger Raum|folgenvollständig]]. 
* Der schwache Dualraum eines [[Fréchet-Raum]]s, der kein [[Banachraum]] ist, ist nicht metrisierbar.
In den mathematischen Wirtschaftswissenschaften treten sogenannte Präferenz- oder Nutzenfunktionen auf gewissen <math>L^\infty</math>-Räumen auf, auf denen man die [[schwach-*-Topologie]] der <math>L^1</math>-<math>L^\infty</math>-Dualität betrachtet. Diese Nutzenfunktionen sind im Allgemeinen unstetig bzgl. der schwach-*-Topologie aber stetig bzgl. der feineren Mackey-Topologie <math>\tau(L^\infty,L^1)</math>.

== Literatur ==
* K. Floret, J. Wloka: ''Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume'', Lecture Notes in Mathematics 56, 1968
* R. Meise, D. Vogt: ''Einführung in die Funktionalanalysis'', Vieweg, 1992  ISBN 3-528-07262-8

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Mackey-Arens, Satz von]]