Quelltext der Seite Satz von Leray

Der '''Satz von Leray''', benannt nach [[Jean Leray]], ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der [[Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]] und [[Funktionentheorie]]. Es handelt sich um eine Möglichkeit, [[Garbenkohomologie]]n auf einfache Weise zu ermitteln.

== Formulierung des Satzes ==
Im Folgenden sei <math>\mathcal{G}</math> eine [[Garbe (Mathematik)|Garbe]] abelscher Gruppen über einem [[Parakompakter Raum|parakompakten]] [[Hausdorffraum]] <math>M</math>. Die [[Kohomologiegruppe]]n <math>H^q(M, \mathcal{G})</math> ergeben sich bekanntlich als [[induktiver Limes]] von Gruppen <math>H^q(\mathcal{U}, \mathcal{G})</math>, wobei <math>\mathcal{U}</math> die offenen [[Überdeckung (Mathematik)|Überdeckungen]] von <math>M</math> durchläuft, die bezüglich der [[Überdeckung (Mathematik)#Verfeinerung|Verfeinerung]] [[Ordnungsrelation|gerichtet]] sind. Es stellt sich daher die Frage, ob es offene Überdeckungen <math>\mathcal{U}</math> mit <math>H^q(M, \mathcal{G}) = H^q(\mathcal{U}, \mathcal{G})</math> gibt, so dass der induktive Limes nicht ausgeführt werden muss. Das ist in der Tat der Fall, denn es gilt:

'''Satz von Leray'''<ref>[[Robert Gunning|Gunning]]-[[Hugo Rossi|Rossi]]: ''Analytic functions of several complex variables''. Prentice-Hall 1965, Kap. VI, Abschnitt D, Theorem 4</ref>: Es sei <math>\mathcal{G}</math> eine Garbe abelscher Gruppen über einem parakompakten Hausdorffraum <math>M</math>. Weiter sei <math>\mathcal{U}</math> eine offene Überdeckung von <math>M</math>, so dass für alle <math>q\ge 1</math> und Überdeckungsmengen <math>U_0,\ldots,U_q \in \mathcal{U}</math> mit <math>U_0\cap\ldots \cap U_q \not= \emptyset</math> die Gleichung 
:<math>H^q(U_0\cap\ldots \cap U_q,\mathcal{G}) = 0</math> 
gilt. Dann ist
:<math>H^q(M, \mathcal{G}) = H^q(\mathcal{U}, \mathcal{G})</math> für alle <math>q\ge 0</math>.

Wenn die Überdeckung also derart ist, dass die Garbe über den Durchschnitten der Überdeckungsmengen kohomologisch trivial ist, so stimmt die Kohomologie über dem Gesamtraum bereits mit der [[Garbenkohomologie#Kohomologie einer Überdeckung|Kohomologie der Überdeckung]] überein. Der Beweis verwendet die Existenz [[Feine Garbe|feiner Auflösungen]] einer Garbe.

== Anwendung ==
An einem typischen Beispiel soll gezeigt werden, wie der Satz von Leray zur Berechnung von Kohomologiegruppen herangezogen werden kann.
Es sei <math>\Complex^* := \Complex\setminus \{0\}</math> die komplexe Ebene ohne den Nullpunkt. Dann gilt

:<math>H^1(\Complex^*,\Z) \cong \Z</math>, 
wobei das <math>\Z</math> auf der linken Seite der Gleichung für die Garbe der <math>\Z</math>-wertigen Funktionen stehe. Dazu seien
:<math>U_1:=\Complex^*\setminus\{x \in \R: x<0\},\quad U_2:=\Complex^*\setminus\{x \in \R: x>0\}</math>.

Dann ist <math>\mathcal{U}:=\{U_1,U_2\}</math> eine offene Überdeckung von <math>\Complex^*</math>. Die Überdeckungsmengen sind als [[Elementargebiet|geschlitzte Ebenen]] [[Sterngebiet|sternförmig]], also [[einfach zusammenhängend]], das heißt [[Homotopietheorie|homotopisch]] und daher auch kohomologisch trivial. Damit sind die Voraussetzungen des Satzes von Leray erfüllt und man erhält <math>H^1(\Complex^*,\Z) \cong H^1(\mathcal{U},\Z)</math>. Letzteres kann nun wegen der Endlichkeit von <math>\mathcal{U}</math> leicht als isomorph zu <math>\Z</math> erkannt werden, wie in<ref>[[Otto Forster|O. Forster]]: ''Riemannsche Flächen'', Springer Verlag Heidelberg 1977, ISBN 3-540-08034-1, Kapitel II, §12, Beispiel 12.9</ref> ausgeführt ist. Damit ist die Kohomologie mit Hilfe des Satzes von Leray bestimmt.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Homologische Algebra]]
[[Kategorie:Satz (Algebraische Topologie)|Leray, Satz von]]