Quelltext der Seite Satz von Kunugui

Der '''Satz von Kunugui''' besagt, dass sich jeder [[metrischer Raum|metrische Raum]] [[Isometrie|isometrisch]] in einen [[Banachraum]] einbetten lässt.

== Formulierung ==
Sei <math>(X,d)</math> ein metrischer Raum.
Falls <math>X= \emptyset</math> leer ist, so lässt sich <math>X</math> trivial einbetten, andernfalls sei <math>s\in X</math> ein fest gewählter Punkt.
Für jedes <math>x \in X</math> sei nun durch <math>f_x(y) := d(x,y)-d(y,s)</math> eine reelle Funktion auf <math>X</math> erklärt.
Dann ist die Abbildung <math>x\mapsto f_x</math> eine Isometrie von <math>(X,d)</math> in den Banachraum <math>B(X)=\{f \colon X\to\R\mid f\mbox{ beschränkt}\}</math> der [[Beschränkte Abbildung#Struktur|beschränkten Funktionen]].

== Anmerkungen ==
Die obige Aussage besteht aus zwei Teilen, zum einen muss gezeigt werden, dass die <math>f_x</math> alle (bzgl. der [[Supremumsnorm]]) beschränkt sind und, dass die Zuordnung <math>x \mapsto f_x</math> tatsächlich eine Isometrie ist.
Beides folgt aus der [[Dreiecksungleichung|umgekehrten Dreiecksungleichung]].
Es gilt per Definition
: <math>\| f_x\| = \sup_{y \in X} |f_x(y)| = \sup_{y \in X} |d(x,y) - d(y,s)|</math>.
Nach der Dreiecksungleichung ist der letzte Ausdruck höchstens <math>d(x,s)</math> und da <math>s \in X</math> fest gewählt ist, ist <math>f_x</math> beschränkt.
Außerdem gilt für zwei Punkte <math>x,x' \in X</math>, dass
: <math>\| f_x - f_{x'} \| = \sup_{y \in X} |(d(x,y) - d(y,s)) - (d(x',y) - d(y,s))| = \sup_{y \in X} |d(x,y) - d(x',y)|</math>.
Der letzte Term ist höchsten <math>d(x,x')</math> und wenn man für <math>y</math> z.&nbsp;B. den Punkt <math>x</math> einsetzt, sieht man, dass sogar die Gleichheit <math>\| f_x - f_{x'}\| = d(x,x')</math> gilt.

Das Bemerkenswerte am Satz von Kunugui ist die einfache Idee, von dem intuitiv einleuchtenden Abstand <math>d(x,y)</math> den Term <math>d(y,s)</math> abzuziehen, und somit die [[Beschränktheit#Übertragung auf Funktionen, auf deren Wertevorrat eine Abstandsfunktion definiert ist|Beschränktheit]] der Abbildung <math>f_x\colon X\to\R</math> zu erreichen.

Aus der Tatsache, dass sich ein metrischer Raum isometrisch in einen [[Vollständiger Raum|vollständigen Raum]] einbetten lässt, folgt nicht, dass er selbst vollständig ist.
Beispielsweise ist der Raum <math>\R \setminus \{0\}</math> mit der [[Euklidische Metrik|euklidischen Metrik]] unvollständig – unter anderem konvergiert die [[Cauchy-Folge]] <math>(1/n)_{n \ge 1}</math> nicht – aber er lässt sich dennoch durch die [[Inklusionsabbildung|Inklusion]] isometrisch in den vollständigen Raum <math>\R</math> einbetten.

== Literatur ==
* Kinjirô Kunugui: ''Applications des espaces à une infinité de dimensions à la théorie des ensembles.'' In: ''Proceedings of the Imperial Academy.'' 11, 9, 1935, {{ISSN|0369-9846}}, S. 351–353.

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Kunugui]]