Quelltext der Seite Satz von Girsanow

Der '''Satz von Girsanow''' ist ein Satz aus der [[Stochastik]], der zeigt, wie man aus einem [[lokales Martingal|lokalen Martingal]] bezüglich eines Wahrscheinlichkeitsmaßes <math>P</math> ein neues lokales Martingal bezüglich eines Wahrscheinlichkeitsmaßes <math>Q</math> kreiert.

Der Satz hat eine besondere Bedeutung in der [[Finanzmathematik]], da unter dem äquivalenten Martingalmaß die diskontierten Preise eines Underlying, wie einer [[Aktie]], [[Martingal]]e sind. Im Bereich stochastischer Prozesse ist der Maßwechsel wichtig, da dann folgende Aussage getroffen werden kann: Wenn ''Q'' ein bezüglich ''P'' absolut stetiges [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, dann ist jedes ''P''-Semimartingal ein ''Q''-Semimartingal.

== Geschichte ==
1945 wurde der [[Satz von Cameron-Martin]] von Cameron und Martin im Zusammenhang mit Wiener-Integralen (hier sind Integrale über dem Wiener-Raum gemeint) bewiesen. Dieser Satz ist in seiner ursprünglichen Form eine Vorstufe des Satzes von Girsanow, letzterer kann als die stochastische Version des Satzes gesehen werden. Der Satz von Girsanow wurde 1960 von [[Igor Wladimirowitsch Girsanow]] bewiesen.<ref>[http://links.jstor.org/sici?sici=0021-9002(199303)30%3A1%3C247%3AAEOTCR%3E2.0.CO%3B2-N A. I. Yashin: ''An Extension of the Cameron-Martin Result'',  Journal of Applied Probability (1993), Band 30, Nummer 1, Seiten 247–251]</ref> Der Satz wurde durch Lenglart 1977 verallgemeinert.

== Satz ==
Sei <math>(\Omega,\mathcal{F})</math> ein [[messbarer Raum]] und <math>Q,P</math> zwei Wahrscheinlichkeitsmaße darauf. Weiter definieren wir eine Filtration <math>\mathbb{F}=(\mathcal{F}_t)</math> die <math>P</math>-vollständig und rechtsstetig ist, d.&nbsp;h. die [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)#Standardfiltration und die üblichen Bedingungen|üblichen Bedingungen]] gelten.
=== Aussage ===
Sei <math>Z</math> ein stetiger Prozess, so dass für die zwei Wahrscheinlichkeitsmaße
:<math>Q=Z_tP</math>
auf <math>\mathcal{F}_t,\;t\geq 0</math> gilt. Dann gilt für jedes stetige lokale <math>P</math>-Martingal <math>M</math>, dass
:<math>\widetilde{M}=M-Z^{-1}\cdot [M,Z]= M-\int\frac{1}{Z}d[M,Z]</math>
ein lokales <math>Q</math>-Martingal ist.<ref>{{Literatur|Autor=Olav Kallenberg|Titel=Foundations of Modern Probability|Jahr=2021|Herausgeber=Springer|Seiten=433|DOI=10.1007/978-3-030-61871-1}}</ref>

=== Spezialfall: Wiener-Prozess ===
Sei <math>\{\Omega,\mathcal{F},P,\{\mathcal{F}_t\}_{0 \leq t \leq T}\}</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, versehen mit der natürlichen [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Filtrierung]] des standardisierten [[Wiener-Prozess]]es <math> ({B}_t)_{0 \leq t \leq T}</math>. Sei <math>(\theta_t)_{0 \leq t \leq T}</math> ein [[Adaptierter stochastischer Prozess|adaptierter Prozess]], so dass gilt <math>\int_0^T \theta_s^2\,\mathrm ds< \infty    </math>  P-[[Fast sicher|fast-sicher]] und der Prozess <math>(L_t)_{0 \leq t \leq T}</math> definiert durch

:<math>L_t= \exp \left( \int_0^t \theta_s\, \mathrm dB_s - \frac{1}{2} \int_0^t \theta_s^2\, \mathrm ds \right)</math>

sei ein [[Martingal]].

Dann gilt unter dem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P^{(L)}</math> mit der Dichte <math>L_T</math> bezüglich <math>P</math>, dass der Prozess <math>(W_t)_{0 \leq t \leq T}</math> definiert durch <math>W_t = B_t - \int_0^t \theta_s \,\mathrm ds</math> ein standardisierter [[Wiener-Prozess]] ist.<ref>Rose-Anna Dana, Monique Jeanblanc: ''Financial Market in Continuous Time.'' Springer, Berlin 2003, ISBN 978-3-540-43403-0 ({{Google Buch|BuchID=oPmPPuFTRrkC|Seite=84}}).</ref>

== Bemerkungen ==
Der Prozess <math>L_t</math> ist das [[Stochastisches Exponential|stochastische Exponential]] des Prozesses <math>(X_t)</math> mit <math>\mathrm d X_t = \theta_t \, \mathrm d B_t</math>, das heißt, er löst die [[stochastische Differentialgleichung]] <math>\mathrm{d} L_t = \theta_t L_t \, \mathrm{d}B_t</math>, <math>L_0 = 1</math>. Er ist stets ein nichtnegatives [[lokales Martingal]], also auch ein [[Supermartingal]].
Der im Allgemeinen schwierigste Teil in der Anwendung des obigen Satzes ist die Voraussetzung, dass <math>L_t</math> tatsächlich ein Martingal ist.
Eine hinreichende Bedingung, so dass <math>(L_t)_{0 \leq t \leq T}</math> ein Martingal ist, lautet:

:<math>\operatorname{E} \left(\exp \left (\frac{1}{2} \int_0^T \theta_t^2\, \mathrm dt \right) \right) < \infty\,.</math>

Diese Bedingung nennt man auch die ''Novikov-Bedingung''.

== Quellen ==
* C. Dellacherie, P.-A. Meyer: ''Probabilités et potentiel – Théorie des Martingales.'' Kapitel VII, Hermann, 1980.
* Damien Lamberton, Bernard Lapeyre: ''Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance.'' Kapitel IV, S. 66, Chapman & Hall, 2000, ISBN 0-412-71800-6.

== Einzelnachweise ==
<references/>

== Weblinks ==
* [https://www.chiark.greenend.org.uk/~alanb/stoc-calc.pdf Notes on Stochastic Calculus] mit einem verkürzten Beweis. (PDF-Datei; 488 kB)

[[Kategorie:Stochastischer Prozess]]
[[Kategorie:Satz (Stochastik)|Girsanov, Satz von]]