Quelltext der Seite Satz von Floquet

Der '''Satz von Floquet''' (nach [[Gaston Floquet]]) macht eine Aussage über die Struktur der [[Fundamentalsystem (Mathematik)|Fundamentalmatrizen]] eines homogenen [[Lineare gewöhnliche Differentialgleichung|linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssystems]] mit periodischer [[Lineares Gleichungssystem #Matrixform|Koeffizientenmatrix]].

Dieser Satz findet in der Schwingungslehre und in der [[Quantenmechanik]] Anwendung: die definierten [[Eigenzustand|Eigenzustände]] eines ungestörten [[System]]s werden durch das Anlegen eines ''zeitlich'' [[Periodizität (Mathematik)|periodischen]] [[Feld (Physik)|Feldes]] bzw. [[Potential (Physik)|Potentials]] periodisch in ihrer Energie verändert; sie entsprechen dann genau dem periodischen Anteil der [[Fundamentallösung]] und werden als ''Floquet-Zustände'' bezeichnet. Durch beispielsweise eine [[Fourierentwicklung]] dieser Zustände kann die Arbeit mit ihnen erheblich vereinfacht werden.

Angewandt auf ''räumlich'' periodische Potentiale ist der Satz von Floquet in der Quantentheorie besser unter dem Namen ''Bloch-Theorem'' bekannt. Die Eigenzustände heißen hier [[Bloch-Funktion]]en.

== Formulierung ==
Jede Fundamentalmatrix <math>\Phi</math> des homogenen linearen Differentialgleichungssystems

: <math>\ y'(x)= A(x)y(x)</math>

mit [[stetig]]er <math>\omega</math>-periodischer Koeffizientenmatrix <math>A: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{m \times m}</math> lässt sich schreiben in der Form

: <math>\ \Phi(x) = P(x) \, \exp(xR)</math>

worin
* <math>P: \mathbb{R}\rightarrow GL(m; \mathbb{C})</math> [[stetig differenzierbar]] und <math>\omega</math>-periodisch
* <math>R \in \mathbb{C}^{m \times m}</math> eine konstante Matrix ist.
* <math>\exp</math> die [[Matrixexponential]]funktion.

Begnügt man sich damit, dass <math>P</math> nur <math>2\omega</math>-periodisch ist, so können <math>P,R</math> [[Reellwertige Funktion|reell-wertig]] gewählt werden.

Die Transformation

: <math>\ z(x)= P^{-1}(x) \, y(x)</math>

überführt das Differentialgleichungssystem in eines mit konstanten Koeffizienten:

: <math>\ z'(x)= R \, z(x)</math>

== Literatur ==
* Carmen Chicone: ''Ordinary Differential Equations with Applications''. 2. Auflage. Texts in Applied Mathematics 34. Springer-Verlag, 2006, ISBN 0-387-30769-9.
* {{Literatur
   |Autor=[[Gerald Teschl]]
   |Titel=Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems
   |Reihe=Graduate Studies in Mathematics
   |BandReihe=140
   |Verlag=American Mathematical Society
   |Ort=Providence
   |Datum=2012
   |ISBN=978-0-8218-8328-0
   |Online=[https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ mat.univie.ac.at]}}

[[Kategorie:Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen]]

[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Floquet]]