Quelltext der Seite Satz von Descartes

{{Dieser Artikel|befasst sich mit dem Vier-Kreise-Satz über sich berührende Kreise. Für den Vier-Kreise-Satz über sich schneidende Kreise siehe [[Vier-Kreise-Satz]].}}
[[Datei:01 Satz von Descartes-Einleitungsbild.svg|rahmenlos|rechts|hochkant=1|Satz von Descartes]]
In der [[Geometrie]] beschreibt der '''Satz von Descartes''' ('''Vier-Kreise-Satz von Descartes'''), benannt nach [[René Descartes]], eine Beziehung zwischen vier [[Kreis]]en, die einander [[Berührung (Mathematik)|berühren]]. Der Satz kann dazu verwendet werden, zu drei sich gegenseitig berührenden Kreisen ein Paar der sogenannten ''vierten Kreise'' zu finden, welche ebenfalls die drei Kreise berühren. Nach [[#Definition der vorzeichenbehafteten Krümmung|Definition der vorzeichenbehafteten Krümmung]] ist der (kleinste) Kreis <math>k_4</math> umringt von den drei gegebenen Kreisen (im Bild blau), hingegen sind sie vom (größten) Kreis <math>k_4{'}</math> umschrieben (siehe Abschnitt [[#Satz von Descartes|Satz des Descartes]]).

Es handelt sich hier um einen Spezialfall des [[Apollonisches Problem|Apollonischen Problems]]. Berühren sich die gegebenen drei Kreise gegenseitig, sind zwei (ein Paar) apollonische Kreise (rot) möglich. Im Gegensatz dazu gibt es ohne gegenseitiger Berührung bis zu acht (vier Paare) apollonische Kreise.<ref>{{Internetquelle |autor=David Gisch and Jason M. Ribando |url=http://www.ajur.uni.edu/v3n1/Gisch%20and%20Ribando.pdf |titel=Apollonios Problem: A study of solutions and their connections |titelerg=V. Connections and Extensions, Fig. 13 |hrsg=American Journal of Undergraduate Research, Band 3, 2004, Nr. 1 |datum=2004-02-29 |seiten=23–24 |format=pdf |sprache=en |archiv-url=https://web.archive.org/web/20080415201100/http://www.ajur.uni.edu/v3n1/Gisch%20and%20Ribando.pdf |archiv-datum=2008-04-15 |abruf=2024-02-09 |offline=ja |archiv-bot=2024-05-04 10:20:50 InternetArchiveBot }}</ref>

== Geschichte ==
Über geometrische Probleme im Zusammenhang mit Kreisen, die einander berühren, wurde schon vor mehr als 2000 Jahren nachgedacht. Im [[Antike|antiken]] [[Griechenland]] des 3. Jahrhunderts v. Chr. widmete [[Apollonios von Perge]] diesem Thema ein ganzes Buch.
Unglücklicherweise ist uns dieses Werk mit dem Titel ''Über Berührungen'' nicht erhalten.

[[René Descartes]] erwähnte 1643 das Problem (gemäß den damaligen Gepflogenheiten) kurz in einem Brief an die Prinzessin [[Elisabeth von der Pfalz (1618–1680)|Elisabeth von Böhmen]]. Er kam im Wesentlichen zu der Lösung, die weiter unten in Gleichung <math>\mathsf{(1)}</math> beschrieben ist, auch wenn sein Beweis nicht korrekt war<ref>Dana Mackenzie, A tisket, a tasket, an Apollonian gasket, American Scientist, Band 98, 2010, S. 10–14</ref>. Daher wird der Vier-Kreise-Satz heute nach ''Descartes'' benannt.

Der Satz wurde mehrfach unabhängig wiederentdeckt, unter anderem in einem Spezialfall in ''japanischen Tempelproblemen'', von [[Jakob Steiner]] (1826), vom britischen Amateurmathematiker Philip Beecroft (1842)<ref>{{Internetquelle |autor=David Gisch and Jason M. Ribando |url=http://www.ajur.uni.edu/v3n1/Gisch%20and%20Ribando.pdf |titel=Apollonios Problem: A study of solutions and their connections |titelerg=II. The Euler-Gergonne-Soddy Triangle of a Triangle |hrsg=American Journal of Undergraduate Research, Band 3, 2004, Nr. 1 |datum=2004-02-29 |seiten=16 |format=pdf |sprache=en |archiv-url=https://web.archive.org/web/20080415201100/http://www.ajur.uni.edu/v3n1/Gisch%20and%20Ribando.pdf |archiv-datum=2008-04-15 |abruf=2024-02-09}}</ref> und von [[Frederick Soddy]] (1936). Man spricht manchmal von den [[Soddy-Kreis]]en, vielleicht weil Soddy seine Version des Satzes in Form eines Gedichts mit dem Titel ''The&nbsp;Kiss Precise'' veröffentlichte, das in der Zeitschrift ''[[Nature]]'' (20. Juni 1936) abgedruckt wurde.<ref>{{Internetquelle |autor=David Gisch and Jason M. Ribando |url=http://www.ajur.uni.edu/v3n1/Gisch%20and%20Ribando.pdf |titel=Apollonios Problem: A study of solutions and their connections |titelerg=II. The Euler-Gergonne-Soddy Triangle of a Triangle |hrsg=American Journal of Undergraduate Research, Band 3, 2004, Nr. 1 |datum=2004-02-29 |seiten=17 |format=pdf |sprache=en |archiv-url=https://web.archive.org/web/20080415201100/http://www.ajur.uni.edu/v3n1/Gisch%20and%20Ribando.pdf |archiv-datum=2008-04-15 |abruf=2024-02-09 }}</ref> Soddy verallgemeinerte auch den Satz von Descartes zu einem Satz über [[Sphäre (Mathematik)|Sphären]] im [[Dimension (Mathematik)|3-dimensionalen]] Raum und [[Thorold Gosset]] auf n-Dimensionen.

[[Allan Wilks]] und Colin Mallows von den [[Bell Laboratories]] entdeckten Ende der 1990er Jahre, dass eine komplexe Version des Satzes von Descartes auch die Orte der Kreise festlegt. Näheres hierzu enthält der Abschnitt [[#Komplexer Satz von Descartes|Komplexer Satz von Descartes]].

Setzt man die Konstruktion fort, erhält man eine fraktale Struktur mit immer kleineren sich berührenden Kreisen. Während die ersten vier Krümmungen nach dem Satz von Descartes durch eine [[quadratische Gleichung]] verbunden sind, gilt für die folgenden Kreise eine [[lineare Gleichung]]. Startet man mit vier ganzzahligen Krümmungen, so haben auch die folgenden Krümmungen der Kreise in der Konstruktion ganzzahlige Werte. Die zahlentheoretischen Aspekte des Problems wurden insbesondere von Wilks, [[Jeffrey Lagarias]], [[Ronald Graham]], [[Peter Sarnak]], [[Alex Kontorovich]] und [[Hee Oh]] weiter verfolgt.

== Definition der vorzeichenbehafteten Krümmung ==
Der Satz von Descartes lässt sich am einfachsten durch den Begriff der [[Krümmung]] ausdrücken. Die vorzeichenbehaftete Krümmung eines Kreises wird definiert durch <math>k = \pm 1/r</math>, wobei ''r'' den Radius bezeichnet. Je größer der Kreis ist, desto kleiner ist der [[Absoluter Betrag|Betrag]] seiner Krümmung und umgekehrt.

Das Minuszeichen in <math>k = \pm 1/r</math> gilt für einen Kreis, der die anderen drei Kreise ''einschließend'' berührt. Andernfalls ist das Pluszeichen zu setzen.

Betrachtet man eine [[Gerade]] als entarteten Kreis mit Krümmung <math>k = 0</math>, so lässt sich der Satz von Descartes auch anwenden, wenn eine Gerade und zwei Kreise gegeben sind, die einander berühren, und ein dritter Kreis gesucht ist, der die Gerade und die gegebenen Kreise berührt.

== Satz von Descartes ==
Gegeben seien vier einander berührende Kreise mit den Radien <math>r_1</math>, <math>r_2</math>, <math>r_3</math> und <math>r_4</math>. Definiert man wie oben für jeden dieser Kreise die vorzeichenbehaftete Krümmung <math>k_i</math> (für <math>i = 1, \ldots, 4</math>), so ist folgende Gleichung erfüllt:<ref>{{Internetquelle |autor=Frank Bernhart, H. Lee Price |url=https://arxiv.org/pdf/math/0701624.pdf#page=8&zoom=80,-50,784 |titel=Heron’s Formula, Descartes Circles, and Pythagorean Triangles |titelerg=4 The Descartes Circle Theorem. |hrsg=arxiv, Cornell University |datum=2007-01-01 |seiten=8–9 |format=PDF |sprache=en |abruf=2024-02-08}}</ref>
:<math>\mathsf{(1)}\;(k_1+k_2+k_3+k_4)^2 = 2\,(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2)</math>
Auflösen dieser Gleichung nach <math>k_4</math> ermöglicht es, den Radius des vierten Kreises zu bestimmen:
:<math>\mathsf{(2)}\;k_4 = k_1+k_2+k_3\pm2\sqrt{k_1k_2+k_2k_3+k_3k_1}.</math>
Das Plus-Minus-Symbol drückt aus, dass es im Allgemeinen ''zwei Lösungen'' gibt.

=== Beispiel ===
[[Datei:01 Satz von Descartes.svg|hochkant=1.3|rechts]] 
Gegeben seien drei Kreise mit den Radien <math>r_1 = 1/2</math>, <math>r_2 = 1/6</math> und <math>r_3 = 1/3</math>. Dementsprechend hat die vorzeichenbehaftete Krümmung die Werte <math>k_1 = 2</math>, <math>k_2 = 6</math> und <math>k_3 = 3</math>. Die Verbindung der Mittelpunkte dieser drei Kreise (blau) erzeugt ein [[rechtwinkliges Dreieck]] (hellgrün). Aus Gleichung <math>\mathsf{(2)}</math> ergeben sich nun die beiden Lösungen <math>k_4 = 23</math> und <math>{k_4}' = -1</math>. Der winzige Kreis (rot) zwischen den gegebenen Kreisen hat daher den Radius <math>r_4 = 1/23</math>. Der große Kreis (ebenfalls rot), der die gegebenen Kreise einschließt, hat den Radius <math>{r_4}' = 1</math>. Da die Mittelpunkte der gegebenen Kreise <math>k_1, k_2</math> und <math>k_3</math> auf den Eckpunkten eines rechtwinkligen Dreiecks liegen, ermöglicht dies die Festlegung der Kreise <math>k_4</math> und  <math>k_4{'}</math> in einer einfachen Konstruktion (siehe Abschnitt [[#Konstruktion mit Zirkel und Lineal|Konstruktion mit Zirkel und Lineal]]). Alternativ kann, wie im Folgenden beschrieben, die exakte Position des Mittelpunktes des Kreises <math>k_4</math> mithilfe eines kartesischen [[Koordinatensystem]]s algebraisch bestimmt werden.

Aus den gegebenen Kreisradien erhält man die Koordinaten der (nicht bezeichneten) Mittelpunkte <math>(M)</math>: Kreis <math>k_1</math> mit <math>M_{k_1}=\left(0,0\right)</math>, <math>k_2</math> mit <math>M_{k_2}=\left(\tfrac{2}{3},0\right)</math> und <math>k_3</math> mit <math>M_{k_3}=\left(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{2} \right)</math>. Der Mittelpunkt des Kreises <math>k_4</math> ist der Schnittpunkt zweier (nicht eingezeichneter) Hilfskreise <math>H_{k1}</math> und <math>H_{k2}</math>. Für den Hilfskreis <math>H_{k1}</math> um den Mittelpunkt des Kreises <math>k_1</math> ergibt sich der Radius <math>r_{Hk1} = \left(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{23}\right)=\tfrac{25}{46}</math> und für <math>H_{k2}</math> der Radius <math>r_{Hk2} = \left(\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{23}\right)=\tfrac{29}{138}</math>. Mit den nun bekannten Hilfskreisen <math>H_{k1}</math> und <math>H_{k2}</math> sind die Koordinaten des Mittelpunktes vom Kreis <math>k_4</math> mit dem Ansatz [[Schnittpunkt#Schnittpunkte zweier Kreise|Schnittpunkte zweier Kreise]] bestimmbar. Die nebenstehende Abbildung zeigt: Der Kreis <math>k_1</math> hat den Nullpunkt als Mittelpunkt und der Kreis <math>k_2</math> liegt auf der x-Achse. Für diesen Sonderfall gilt:
:<math>x_0=\frac{r_1^2-r_2^2+x_2^2}{2x_2} = \frac{\left(\frac{25}{46}\right)^2-\left(\frac{29}{138}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2}{\frac{4}{3}}=\frac{12}{23}</math>,
:<math>y_0 =\sqrt{r_1^2-x_0^2}=\sqrt{\left(\tfrac{25}{46}\right)^2-\left(\tfrac{12}{23}\right)^2}=\frac{7}{46}</math>.
Somit hat der Mittelpunkt des kleinsten Kreises <math>k_4</math> die Koordinaten <math>M_{k_4}=\left(\tfrac{12}{23},\tfrac{7}{46}\right)</math> und jener der die drei gegebenen Kreise einschließt <math>k_4{'}</math> die Koordinaten <math>M_{k_4{'}}=\left(0,\tfrac{1}{2}\right)</math>.

== Spezialfälle ==
Wird beispielsweise der dritte der drei gegebenen Kreise durch eine Gerade ersetzt, so wird die vorzeichenbehaftete Krümmung <math>k_3</math> gleich 0 und fällt aus Gleichung <math>\mathsf{(1)}</math> heraus. Gleichung <math>\mathsf{(2)}</math> wird in diesem Fall wesentlich einfacher:
:<math>\mathsf{(3)}\;k_4=k_1+k_2\pm2\sqrt{k_1k_2}.</math>

=== Beispiel ===
[[Datei:01 Satz von Descartes-2.svg|zentriert]]
Gegeben seien zwei Kreise mit den Radien <math>r_1 = 1/4</math> und <math>r_2 = 1/9</math> sowie eine Gerade, die als Kreis mit unendlichem Radius aufgefasst wird. Die entsprechenden Werte für die vorzeichenbehaftete Krümmung sind <math>k_1 = 4</math>, <math>k_2 = 9</math> und <math>k_3 = 0</math>. Durch Anwendung von Gleichung <math>\mathsf{(3)}</math> erhält man wieder zwei mögliche Werte, nämlich <math>k_4 = 25</math> und <math>{k_4}' = 1</math>. Für die Radien der beiden rot gezeichneten Kreise ergibt sich folglich <math>r_4 = 1/25</math> beziehungsweise <math>{r_4}' = 1</math>.

Der Satz von Descartes lässt sich nicht anwenden, wenn zwei oder sogar alle drei gegebenen Kreise durch Geraden ersetzt werden. Der Satz gilt auch dann nicht, wenn es mehr als einen einschließend berührenden Kreis gibt, also im Fall von drei ineinander gelegenen Kreisen mit gemeinsamem Berührpunkt.

== Komplexer Satz von Descartes ==
Um einen Kreis vollständig zu bestimmen, nicht nur seinen Radius (oder seine Krümmung), muss man auch seinen Mittelpunkt kennen. Die Gleichung dafür lässt sich am einfachsten ausdrücken, wenn man die Koordinaten des Mittelpunkts (''x'',&nbsp;''y'') als [[komplexe Zahl]] <math>z = x+iy</math> interpretiert. Die Gleichung für <math>z_1, z_2, z_3, z_4</math> ist dem Satz von Descartes sehr ähnlich und wird daher als ''komplexer Satz von Descartes'' bezeichnet.

Gegeben seien vier Kreise mit den Mittelpunkten <math>z_1, z_2, z_3, z_4</math> und den vorzeichenbehafteten Krümmungen <math>k_1, k_2, k_3, k_4</math> (siehe oben), die einander berühren. Dann gilt zusätzlich zu (1) die Beziehung
:<math>\mathsf{(4)}\;(k_1 z_1 + k_2 z_2 + k_3 z_3 + k_4 z_4)^2 = 2\,(k_1^2 z_1^2 + k_2^2 z_2^2 + k_3^2 z_3^2 + k_4^2 z_4^2).</math>
Durch die Substitution  <math>q_i = k_i \cdot z_i </math> ergibt sich:
:<math>\mathsf{(5)}\;(q_1 + q_2 + q_3 + q_4)^2 = 2\,(q_1^2 + q_2^2 + q_3^2 + q_4^2)</math>
Diese Gleichung ist analog zu <math>\mathsf{(1)}</math> und hat die Lösung:
:<math>\mathsf{(6)}\;q_4 = q_1 + q_2 + q_3 \pm2 \sqrt{q_1 q_2 + q_2 q_3 + q_3 q_1}.</math>

Auch hier ergeben sich im Allgemeinen zwei Lösungen.

Hat man <math>k_4</math> aus Gleichung <math>\mathsf{(2)}</math> ermittelt, so erhält man <math>z_4</math> durch <math>z_4 = q_4 / k_4</math>

== Konstruktion mit Zirkel und Lineal ==
=== Allgemeiner Fall ===
<div style="float:right;">[[Datei:01 Satz des Descartes-allgemein.gif|mini|ohne|hochkant=1.3 |Allgemeiner Fall, Lösung nach Eppstein,<br />Animation in 18 Bildern]]</div><div style="float:right;">[[Datei:01 Satz des Descartes-allgemein.svg|mini|ohne|hochkant=1.3 |Satz von Descartes, allgemeiner Fall,<br />Lösung nach Eppstein]]</div>
Im allgemeinen Fall ergibt sich beim Verbinden der drei Mittelpunkte ein [[Dreieck|allgemeines Dreieck]]. Gegeben seien drei beliebige Kreise die zueinander tangential angeordnet sind. Gesucht sind die beiden Apollonios-Kreise mit ihren Mittelpunkten, genannt [[Isoperimetrischer Punkt|isoperimetrische Punkt]] bzw. [[Punkt des gleichen Umwegs]]. [[Apollonios von Perge]] zeigte erstmals, wie eine Lösung allein mit [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|Zirkel und Lineal]] möglich ist.<ref name="Eppstein">{{Internetquelle |autor=[[David Eppstein]] |url=https://ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/tangencies/apollonian.html |titel=Tangencies: Apollonian Circles |hrsg=[[University of California, Irvine]]|format=pdf |sprache=en |abruf=2023-12-17 }}</ref> Das nebenstehende Bild zeigt eine Lösung nach Eppstein.<ref name="Gisch" />

Es beginnt mit der Verbindung der [[Kreismittelpunkt]]e. Das dabei entstehende allgemeine Dreieck <math>ABC</math> bestimmt die drei Tangentenpunkte, auch [[Berührung (Mathematik)|Berührungspunkte]] (dunkelblau) genannt. Auf jede Dreiecksseite wird nun eine Senkrechte errichtet, die durch die gegenüberliegende Dreiecksecke (Kreismittelpunkt) und durch den Kreis verläuft. Dabei schneidet die Senkrechte den Kreis in zwei Punkten (hellgrün). Zieht man nun eine Gerade durch jeden dieser Schnittpunkte (hellgrün) und durch den Berührungspunkt (dunkelblau) der beiden anderen Kreise, liefert die Gerade zusätzlich zwei Berührungspunkte (rot), insgesamt bezeichnet mit <math>D,\;E,\;F</math> und <math>G,\;H,\;I</math>. Der ''isoperimetrische Punkt'' <math>P_a</math> sowie der ''Punkt des gleichen Umwegs'' <math>P_i</math> werden mittels – nicht eingezeichneter – [[Mittelsenkrechte]]n der [[Abstand|Abstände]] <math>|\overline{EF}|</math> und  <math>|\overline{FD}|</math> bzw. <math>|\overline{GH}|</math> und <math>|\overline{HI}|</math> bestimmt. Jetzt zieht man den Apollonios-Kreis mit den Berührungspunkten <math>DFE</math> mit Radius <math>|\overline{P_aD}|</math> um <math>P_a</math> und schließlich den mit den Berührungspunkten <math>GIH</math> mit Radius <math>|\overline{P_iG}|</math> um <math>P_i</math>.<ref name="Gisch">{{Internetquelle |autor=David Gisch and Jason M. Ribando |url=http://www.ajur.uni.edu/v3n1/Gisch%20and%20Ribando.pdf |titel=Apollonius’ Problem: A Study of Solutions and Their Connections |titelerg=III. The Epstein Soulution |hrsg=American Journal of Undergraduate Research |datum=2004-02-29 |seiten=20 |format=pdf |sprache=en |archiv-url=https://web.archive.org/web/20080415201100/http://www.ajur.uni.edu/v3n1/Gisch%20and%20Ribando.pdf |archiv-datum=2008-04-15 |abruf=2023-12-18 |offline=ja |archiv-bot=2024-05-04 10:20:50 InternetArchiveBot }}</ref><ref>{{Internetquelle |autor=David Eppstein |url=https://ics.uci.edu/~eppstein/pubs/Epp-AMM-01.pdf |titel=Tangent Spheres and Triangle Centers |hrsg=[[Mathematical Association of America|The Mathematical Assosiation of Amerika]] |datum=2001-01 |seiten=63–66 |format=pdf |sprache=en |abruf=2023-12-17 }}</ref>

=== Kreismittelpunkte im rechtwinkligen Dreieck ===
[[Datei:01 Satz von Descartes-rechtw.-Dreieck-2.svg|mini|hochkant=1.3 |Kreismittelpunkte im rechtwinkligen Dreieck]]

Liegen die drei Kreismittelpunkte auf einem gegebenen rechtwinkligen Dreieck – wie im Folgenden erläutert – ist die Lösung einfach.

Nach dem Einzeichnen des rechtwinkligen Dreiecks <math>ABC</math> mit seinen gegebenen Seitenlängen in beliebiger Lage, werden die Winkelhalbierenden <math>wh_1</math> des Winkels <math>CBA</math> sowie <math>wh_2</math> des Winkels <math>BAC</math> bestimmt. Sie schneiden sich im Mittelpunkt des [[Inkreis]]es. Fällt man nun das Lot vom Inkreismittelpunkt beispielsweise auf die Dreiecksseite <math>c</math>, ergibt sich darauf der Berührpunkt (dunkelblau) für die Kreise <math>K1</math> und <math>K2</math>. Das Eintragen des Kreises <math>K1</math> liefert den Berührpunkt (dunkelblau) für den Kreis <math>K3</math> und ermöglicht somit auch das Ziehen der Kreise <math>K3</math> und <math>K2</math>. Es folgt eine Gerade durch die Dreiecksecke <math>A</math> parallel zur Dreiecksseite <math>a</math>, eine zweite durch die Dreiecksecke <math>B</math> parallel zur Dreiecksseite <math>b</math> sowie die Verlängerung der Dreiecksseite <math>b</math> bis zum Kreis <math>K2</math>. Schnittpunkte sind der ''isoperimetrische Punkt'' <math>P_a</math>, die Berührpunkte <math>D</math>, <math>E</math> auf <math>K1</math> bzw. <math>K2</math>, Schnittpunkt <math>F</math> sowie der hellgrüne Schnittpunkt auf <math>K2</math> aus der Verlängerung der Dreiecksseite <math>b.</math> Jetzt wird der Apollonios-Kreis um <math>P_a</math> mit Radius <math>|\overline{P_aD}|</math> eingetragen.

Um den ''Punkt des gleichen Umwegs'' <math>P_i</math> sowie einen Berührpunkt für den zweiten und letzten Apollonios-Kreis zu bestimmen, bedarf es zunächst einer Geraden. Sie geht durch den Schnittpunkt (hellgrün) des Kreises <math>K2</math> und durch den Berührpunkt (dunkelblau) der Kreise <math>K1</math> und <math>K3</math>. Dabei schneidet sie im gesuchten Berührpunkt <math>G</math> den Kreis <math>K2</math>. Demzufolge ähnlich wie es bereits oben der [[Satz von Descartes#Allgemeiner Fall|allgemeine Fall]] verlangt. Weiters zieht man eine [[Halbgerade]] ab <math>P_a</math> durch den Inkreismittelpunkt und eine zweite ab der Dreiecksecke <math>A</math> durch den Berührpunkt <math>G</math> bis sich beide Halbgeraden im ''Punkt des gleichen Umwegs'' <math>P_i</math> schneiden. Abschließend kann man den Apollonios-Kreis um <math>P_i</math> mit Radius <math>|\overline{P_iG}|</math> eintragen.

== Verschiedenes ==
Die primitiven ganzzahligen Lösungen der vier Radien sind genau die Diagonalprodukte und Zeilenprodukte der beiden zwei-parametrigen Darstellungen der primitiven [[Pythagoreisches Tripel|pythagoräischen Tripel]], bspw. liefert das primitive pythagoräische Tripel <math>(5,12,13)</math> mit den (als Spalten geschriebenen) Parameter-Darstellungen <math>(2,3)^T</math> und <math>(1=3-2,5=3+2)^T</math> die Diagonalprodukte <math>3,10</math> und die Zeilenprodukte <math>2,15</math>, welche als Radien aufgefasst dem Satz von Descartes genügen.<ref>{{Internetquelle |autor=H. Lee Price |url=https://arxiv.org/pdf/0809.4324.pdf#page=2&zoom=70,-50,782 |titel=The Pythagorean Tree: A New Species|titelerg=2 On Parameters, Angles, and Fibonacci Boxes |hrsg=arxiv, Cornell University |datum=2008-09 |seiten=8–9 |format=PDF |sprache=en |abruf=2024-02-08}}</ref><ref>{{Internetquelle |autor=Frank Bernhart, H. Lee Price |url=https://arxiv.org/pdf/math/0701624.pdf#page=8&zoom=auto,-20,43 |titel=Heron’s Formula, Descartes Circles, and Pythagorean Triangles |titelerg=5 Pythagorean Triangles. |hrsg=arxiv, Cornell University |datum=2007-01-01 |seiten=9–11 |format=PDF |sprache=en |abruf=2024-02-08}}</ref>

== Weblinks ==
* [https://arxiv.org/abs/math/0101066 Jeffrey C. Lagarias, Colin L. Mallows, Allan R. Wilks: Beyond The Descartes Circle Theorem]
* Dana Mackenzie [https://web.archive.org/web/20160228012433/http://www.americanscientist.org/issues/pub/a-tisket-a-tasket-an-apollonian-gasket/ ''A tisket, a Tasket, an Apollonian Gasket''], American Scientist, Band 98, 2010, S. 10–14 (erhielt den [[Chauvenet-Preis]] 2015).

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kreisgeometrie]]
[[Kategorie:Satz (Ebene Geometrie)|Descartes, Satz von]]
[[Kategorie:René Descartes als Namensgeber]]