Quelltext der Seite Satz von Cochran

In der [[Statistik]] wird der '''Satz von Cochran''' in der [[Varianzanalyse]] verwendet. Der Satz geht auf den schottischen Mathematiker [[William Gemmell Cochran]] zurück.

Man nimmt an <math>U_1,\dots U_n,</math> seien [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|stochastisch unabhängige]] [[Normalverteilung|standardnormalverteilte]] [[Zufallsvariable]]n, und es gilt

:<math>
\sum_{i=1}^n U_i^2=Q_1+\cdots + Q_k,
</math>

wobei jedes <math>Q_i</math> die Summe der Quadrate von [[Linearkombination]]en der <math>U</math>s darstellt. Ferner nimmt man an, dass

:<math>
r_1+\cdots +r_k=n,
</math>

wobei <math>r_i</math> der [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] von <math>Q_i</math> ist. Der Satz von Cochran besagt, dass die <math>Q_i</math> unabhängig sind mit einer [[Chi-Quadrat-Verteilung]] mit <math>r_i</math> [[Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)|Freiheitsgraden]].

Der Satz von Cochran ist die Umkehrung des [[Satz von Fisher|Satzes von Fisher]].

== Beispiel ==

Falls <math>X_1,\dots X_n,</math> unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert <math>\mu</math> und Standardabweichung <math>\sigma</math> sind, dann gilt

:<math>U_i=(X_i-\mu)/\sigma \;</math>

ist standardnormalverteilt für jedes <math>i</math>.

Jetzt kann man folgendes schreiben

:<math>
\sum_{i=1}^{n} U_i^2=\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\overline{X}}{\sigma}\right)^2
+ n\left(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\right)^2
</math>

Damit man diese Identität erkennt, muss man auf beiden Seiten mit <math>\sigma</math> multiplizieren und beachten, dass gilt

:<math>
\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2=
\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X}+\overline{X}-\mu)^2
</math>

und erweitert, um zu zeigen

:<math>
\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2+\sum_{i=1}^{n}(\overline{X}-\mu)^2+
2\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})(\overline{X}-\mu).
</math>

Der dritte Term ist null, weil der Faktor

:<math>\sum_{i=1}^{n}(\overline{X}-X_i)=0</math>

ist, und der zweite Term besteht nur aus <math>n</math> identischen Termen, die zusammengefügt wurden.

Kombiniert man die obigen Ergebnisse und teilt anschließend durch <math>\sigma^2</math>, dann erhält man:

:<math>
\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2=
\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\overline{X}}{\sigma}\right)^2
+n\left(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\right)^2
=Q_1+Q_2.
</math>

Jetzt ist der Rang von <math>Q_2</math> gerade gleich 1 (es ist das Quadrat von nur einer Linearkombination der standardnormalverteilten Zufallsvariablen). Der Rang von <math>Q_1</math> ist gleich <math>n-1</math>, und daher sind die Bedingungen des Satzes von Cochran erfüllt.

Der Satz von Cochran besagt dann, dass <math>Q_1</math> und <math>Q_2</math> unabhängig sind, mit einer Chi-Quadrat-Verteilung mit <math>n-1</math> und <math>1</math> Freiheitsgrad.

Dies zeigt, dass der Mittelwert und die Varianz unabhängig sind; Ferner gilt

:<math>
(\overline{X}-\mu)^2\sim \frac{\sigma^2}{n}\chi^2_1.
</math>

Um die [[Schätzung der Varianz der Grundgesamtheit|unbekannte Varianz der Grundgesamtheit <math>\sigma^2</math> zu schätzen]], wird ein häufig verwendeter Schätzer benutzt

:<math>
\hat{\sigma}^2=
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(
X_i-\overline{X}\right)^2. </math>

Der Satz von Cochran zeigt, dass

:<math>
\hat{\sigma}^2\sim
\frac{\sigma^2}{n}\chi^2_{n-1},
</math>

was zeigt, dass der Erwartungswert von <math>\hat{\sigma}^2</math> gleich <math>\sigma^2\frac{n-1}{n}</math> ist.

Beide Verteilungen sind proportional zur [[Wahrer Wert|wahren]] aber unbekannten Varianz <math>\sigma^2</math> Daher ist ihr Verhältnis unabhängig von <math>\sigma^2</math>, und weil sie unabhängig sind, erhält man

:<math>
\frac{\left(\overline{X}-\mu\right)^2}
{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(X_i-\overline{X}\right)^2}\sim
F_{1,n}
</math>,

wobei <math>F_{1,n}</math> die [[F-Verteilung]] mit <math>1</math> und <math>n</math> Freiheitsgraden darstellt (siehe auch [[Studentsche t-Verteilung]]).

== Literatur ==
*  Cochran, W. G.: ''The distribution of quadratic forms in a normal system, with applications to the analysis of covariance''. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30 (2): 178–191, 1934.
* Bapat, R. B.: ''Linear Algebra and Linear Models''. Zweite Auflage (1990). Springer. ISBN 978-0-387-98871-9
[[Kategorie:Satz (Stochastik)|Cochran]]