Quelltext der Seite Satz von Brianchon

[[Datei:Brianchon-6-tangents.svg|300px|mini|Satz von Brianchon]]
Der '''Satz von Brianchon''', benannt nach dem französischen Mathematiker [[Charles Julien Brianchon]] (1783–1864), ist ein klassischer Lehrsatz der ebenen [[Geometrie]].

* In einem konvexen Sechseck <math>P_1P_2P_3P_4P_5P_6</math>, das einen nicht ausgearteten [[Kegelschnitt]] umschreibt (d.&nbsp;h., alle Seiten sind Tangenten des Kegelschnitts), schneiden sich die Diagonalen <math>P_1P_4,P_2P_5,P_3P_6</math> in einem Punkt <math>B</math>, dem '''Brianchon-Punkt'''.

Es handelt sich hier um die [[Dualität (Mathematik)|duale]] Version des [[Satz von Pascal|Satzes von Pascal]].

[[Datei:Brianchon-3-tangents.svg|300px|mini|3-Tangenten-Ausartung des Satzes von Brianchon]]
Wie beim Satz von Pascal gibt es für den Satz von Brianchon auch ''Ausartungen''. Dabei lässt man benachbarte Tangenten zusammenfallen und deren Schnittpunkt wird zu einem Kegelschnittpunkt. Bei dem Beispiel im Bild sind 3 Paare von Tangenten zusammengefallen. Dabei entsteht eine Aussage über [[Inellipse]]n von Dreiecken. Aus projektiver Sicht kann man weiterhin feststellen: Die beiden Dreiecke <math>P_1P_3P_5</math> und <math>P_2P_4P_6</math> liegen ''perspektiv''. D.&nbsp;h., es gibt eine [[Zentralkollineation]], die das eine Dreieck auf das andere Dreieck abbildet. Nur in Sonderfällen ist diese Zentralkollineation auch eine affine Abbildung (Streckung an einem Punkt), z.&nbsp;B. bei einer [[Steiner-Inellipse]] sind beide Dreiecke über eine Streckung am Mittelpunkt, der auch Brianchon-Punkt ist, miteinander verbunden. Ist die Inellipse ein Kreis, dann handelt es sich um den [[Inkreis]] des Dreiecks <math>P_1P_3P_5</math>, der Brianchon-Punkt entspricht dem [[Gergonne-Punkt]] dieses Dreiecks und das Dreieck <math>P_2P_4P_6</math> wird auch als [[Gergonne-Dreieck]] bezeichnet.

== Literatur ==
* [[H. S. M. Coxeter|Coxeter, H. S. M.]], und S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie, Klett Stuttgart, 1983
* Lorenz Halbeisen, [[Norbert Hungerbühler]], Juan Läuchli: ''Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie.'' Springer 2016, ISBN 978-3-662-53034-4, S.&nbsp;76–77, 139–146.

== Weblinks ==
* [http://planetmath.org/encyclopedia/BrianchonTheorem.html Brianchon's theorem auf PlanetMath (engl.)]
* [https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Brianchon.shtml#words Brianchon's theorem auf cut-the-knot (engl.)]
* {{MathWorld |id=BrianchonsTheorem|title=Brianchon's Theorem}}
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Brianchon_theorem Brianchon's Theorem] in der [[Encyclopaedia of Mathematics]]

[[Kategorie:Projektive Geometrie]]
[[Kategorie:Satz (Ebene Geometrie)|Brianchon, Satz von]]