Quelltext der Seite Root-Raised-Cosine-Filter

Das '''Root-Raised-Cosine-Filter''', abgekürzt '''RRC-Filter''', ist ein in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] angewandtes elektronisches [[Filter (Elektronik)|Filter]], welches zur Formung von Signalimpulsen zur Übertragung über einen [[Kanal (Informationstheorie)|Kanal]], wie beispielsweise einen [[Funktechnik|Funkkanal]], verwendet wird.

== Allgemeines ==
Das Root-Raised-Cosine-Filter entspricht der [[Quadratwurzel|Wurzel]] (engl. ''root'') aus dem [[Raised-Cosine-Filter]] und dient dazu, die Charakteristik des Raised-Cosine auf Sender und Empfänger gleichmäßig zu verteilen. Es stellt dann ein so genanntes [[Matched Filter]] dar und maximiert im Empfänger das [[Signal-Rausch-Verhältnis]]. Eine Besonderheit ist, dass ein Root-Raised-Cosine-Filter für sich alleine [[Intersymbolinterferenz]] (ISI) aufweist, das heißt die einzelnen Sendeimpulse „fließen“ am Übertragungskanal zeitlich ineinander. Erst die Kombination der beiden RRC-Filter bei Sender und Empfänger ergeben zusammen über die gesamte Strecke im Idealfall eine ISI-freie Übertragungsstrecke, welche eine zeitliche Unterscheidung der einzelnen Impulse erlaubt. Die einzelnen RRC-Impulse stehen [[Orthogonalität|orthogonal]] zueinander.

Das Root-Raised-Cosine-Filter ist neben dem [[Gauß-Filter]] eines der am häufigsten eingesetzten Filter zur Impulsformung bei digitalen Übertragungssystemen.

== Übertragungsfunktion ==
[[Datei:Root-raised-cosine-impulse.svg|miniatur|500px|rechts|Impulsantwort h(t) eines RRC für verschiedene roll-off-Faktoren β]]
Der Betragsverlauf der [[Übertragungsfunktion]] H<sub>rrc</sub>(jω) eines RRC-Filters ist gegeben durch:

:<math>|H_{\mathrm{RRC}}(j\omega)| = \sqrt{|H_{\mathrm{RC}}(j \omega)|}</math>

wobei H<sub>rc</sub>(jω) die Übertragungsfunktion des [[Raised-Cosine-Filter]]s darstellt.

Die [[Impulsantwort]] h(t) eines RRC-Filters ist durch den Roll-off-Faktor β, welcher die [[Bandbreite]] bestimmt, und die Dauer eines Sendesymbols T<sub>s</sub> gekennzeichnet und besitzt folgende Form:

:<math>h(t) = \begin{cases}
 \dfrac{1}{\sqrt{T_s}} \left( 1-\beta+4\dfrac{\beta}{\pi} \right),
       & t = 0 \\

\dfrac{\beta}{\sqrt{2T_s}}
\left[
\left(1+\dfrac{2}{\pi}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{4\beta}\right) +
\left(1-\dfrac{2}{\pi}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{4\beta}\right)
\right],
       & t = \pm \dfrac{T_s}{4\beta} \\

\dfrac{1}{\sqrt{T_s}} \dfrac{\sin\left[\pi \dfrac{t}{T_s}\left(1-\beta\right)\right] + 4\beta\dfrac{t}{T_s}\cos\left[\pi\dfrac{t}{T_s}\left(1+\beta\right)\right]}{\pi \dfrac{t}{T_s}\left[1-\left(4\beta\dfrac{t}{T_s} \right)^2 \right]},
       & \mbox{andernfalls}
\end{cases}</math>

== Beispiel-Implementierung ==
Nachfolgend findet sich eine Beispiel-Implementierung des RRC-Filters in [[Python (Programmiersprache)|Python]] mit Hilfe von [[NumPy]], wobei die dafür verwendete Formel aus<ref>{{Literatur |Autor=John B. Anderson |Titel=Digital transmission engineering |Verlag=Piscataway |Ort=New Jersey |Datum=2005 |ISBN=1-280-31132-0}}</ref> entnommen wurde.<syntaxhighlight lang="python" line="1">
import numpy as np


def rrcosfilter(N, beta, Ts, Fs):
    """
    Erzeugt ein Root-Raised-Cosine-Filter, welches symmetrisch zum Mittelpunkt
    verläuft.
    Parameter:
    -----------
    N : int
        Anzahl der Filterpunkte.
    beta : float
        Roll-Off Faktor im Intervall [0, 1].
    Ts : float
        Die Symbolperiode (inverse der Symbolrate) in Sekunden.
    Fs : float
        Die Abtastrate in Hertz.
    Rückgabe:
    -----------
    h_rcc : numpy.ndarray
        Die Impulsantwort des Filters als NumPy-Array.
    """

    T_delta = 1/float(Fs)
    sample_num = np.arange(N)
    h_rrc = np.zeros(N, dtype=float)

    for x in sample_num:
        t = (x-N//2)*T_delta
        if t == 0.0:
            scaling = 1/np.sqrt(Ts)
            equation = 1-beta+(4*beta/np.pi)
            h_rrc[x] = scaling * equation
        elif beta != 0 and t == (Ts/(4*beta) or -Ts/(4*beta)):
            scaling = beta/np.sqrt(2*Ts)
            equation = (1+(2/np.pi))*np.sin(np.pi/(4*beta)) + (1-2/np.pi)*np.cos(np.pi/(4*beta))
            h_rrc[x] = scaling * equation
        else:
            scaling = 1/np.sqrt(Ts)
            numerator = np.sin(np.pi*(1-beta)*t/Ts) + (4*beta*t/Ts)*np.cos(np.pi*(1+beta)*t/Ts)
            denominator = (np.pi*t/Ts)*(1-np.square(4*beta*t/Ts))
            equation = numerator / denominator
            h_rrc[x] = scaling * equation
    return h_rrc

sample_rrc = rrcosfilter(N=189, beta=0.22, Ts=1e-5, Fs=100e6)
</syntaxhighlight>

== Literatur ==
*{{Literatur
|Autor = John G. Proakis, Masoud Salehi
|Titel = Communication Systems Engineering
|Verlag = Prentice Hall | Auflage = 2. | Jahr = 2002 | Ort = Upper Saddle River NJ| ISBN = 0-13-095007-6 }}
*{{Literatur
|Autor = John B. Anderson
|Titel = Digital Transmission Engineering
|Verlag = Wiley-Interscience | Jahr = 2005 | Auflage = 2. | Seiten = 26–30 | ISBN = 0-471-69464-9 }}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Filter (Elektrotechnik)]]
[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]