Quelltext der Seite Ringhomomorphismus

In der [[Ringtheorie]] betrachtet man spezielle [[Funktion (Mathematik)|Abbildungen]] zwischen [[Ring (Algebra)|Ringen]], die man Ringhomomorphismen nennt. Ein '''Ringhomomorphismus''' ist eine strukturerhaltende Abbildung zwischen Ringen, und damit ein spezieller [[Homomorphismus]].

== Definition ==

Gegeben seien zwei Ringe <math>(R, +, \cdot)</math> und <math>(S, \oplus, \otimes)</math>. Eine Funktion <math>\varphi\colon\, R \to S</math> heißt Ringhomomorphismus, wenn für alle Elemente <math>a,b</math> von <math>R</math> gilt:
: <math>\varphi(a + b) = \varphi(a) \oplus \varphi(b)</math> und <math>\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \otimes \varphi(b).</math><ref>[[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]: ''Lineare Algebra''. 14. durchgesehene Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0, (''Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik''), S. 145</ref>

Die Gleichung besagt, dass der Homomorphismus ''strukturerhaltend'' ist: Es ist egal, ob man erst zwei Elemente verknüpft, und das Ergebnis abbildet, oder erst die zwei Elemente abbildet, und dann die Bilder verknüpft.

== Erklärung ==

Anders ausgedrückt, ist ein Ringhomomorphismus eine Abbildung zwischen zwei Ringen, die sowohl Gruppenhomomorphismus bezüglich der additiven Gruppen der beiden Ringe, als auch Halbgruppenhomomorphismus bezüglich der multiplikativen Halbgruppen der beiden Ringe ist.

Für einen „Homomorphismus von Ringen mit Eins“ wird meist zusätzlich <math>\varphi(1_R) = 1_S</math> gefordert. Beispielsweise ist die [[Nullabbildung]] von <math>\Z</math> nach <math>\Z</math> zwar ein Ringhomomorphismus, aber kein Homomorphismus von [[Ring mit Eins|Ringen mit Eins]], da die besondere Struktur der Eins durch die Abbildung verloren geht: Die Eins wird (wie alle anderen Elemente) zur Null.

Für einen Ringhomomorphismus <math>\operatorname\varphi</math> sind die beiden Mengen
:<math>\operatorname{Kern}\ \operatorname\varphi = \lbrace x\in R\mid\operatorname\varphi(x) = 0\rbrace</math> und
:<math>\operatorname{Bild}\ \operatorname\varphi = \operatorname\varphi(R) = \lbrace \operatorname\varphi(x)\in S\mid x\in R\rbrace</math>
definiert; aus dem Englischen und Lateinischen schreibt man auch statt Kern ''ker'' und statt Bild ''img, im'' oder schlicht ''I'' (großes ''i).'' <math>\operatorname{Bild}\ \operatorname\varphi</math> ist ein Unterring von <math>S</math>, <math>\operatorname{Kern}\ \operatorname\varphi</math> ist ein [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] in <math>R</math>. Ein Ringhomomorphismus ist genau dann [[Injektivität|injektiv]] (also ein Ring''mono''morphismus), wenn <math>\operatorname{Kern}\ \operatorname\varphi=\lbrace 0\rbrace</math> gilt.

== Beispiele ==

Folgende Abbildungen sind Ringhomomorphismen:
* Die ''Nullabbildung'' <math>f_0\colon R\to S ; r\mapsto 0</math>
* Die ''Inklusionsabbildung'' <math>i\colon P\left(N\right)\to P\left(M\right) ; A\mapsto A</math> für festes <math>N\subsetneq M</math>
* Die ''[[komplexe Konjugation]]'' <math>\Complex\to\Complex; z\mapsto\bar{z}</math>
* Die ''[[Konjugation (Gruppentheorie)|Konjugation]]'' <math>f_a\colon R\to R;r\mapsto a\cdot r\cdot a^{-1}</math> für eine feste [[Einheit (Mathematik)|Einheit]] <math>a\in R^*</math>
* <math> \varphi\colon\, \Z\to\Z / \mathit{n\Z} </math> bzw. <math>\mathit{z}\mapsto\mathit{z}\operatorname{mod}\mathit{n} </math><br />Es handelt sich hier um die [[Restklasse]]n modulo ''n'', deren Verknüpfungen mit jenen aus <math>\Z</math> [[Verträglichkeit (Mathematik)|verträglich]] sind.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* Gerd Fischer: ''Lineare Algebra.'' 14. durchgesehene Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0, (''Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik'').

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]