Quelltext der Seite Riemannsche Zahlenkugel

[[Datei:RiemannKugel.svg|mini|Auf der '''riemannschen Zahlenkugel''' sind die [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] einschließlich <big>'''∞'''</big> darstellbar. ]]
[[Datei:Riemann sphere1.svg|mini|[[Stereographische Projektion|stereographische Rückprojektionen]] der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] <math>A</math> und <math>B</math> auf die Punkte <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> der '''riemannschen Zahlenkugel''']]
[[File:Earth as riemann sphere large 500mio 254dpi.jpg|thumb|Riemann sphere: almost the whole earth in stereographic azimuthal projection 1:500.000.000 (254 dpi)]]

In der [[Mathematik]] ist die '''Riemannsche Zahlenkugel''' <math>\hat{\Complex}= \mathbb{C}\cup\{ \infty\} </math> die [[Riemannsche Fläche]], die sich aus der Hinzunahme eines ''Punktes in der Unendlichkeit'' zu der [[Komplexe Zahlenebene|komplexen Ebene]] ergibt. Anschaulich gesehen wird die Ebene der komplexen Zahlen an einem Punkt zu einer Kugel zusammengeklebt. Sie ist der erste nichttriviale [[Komplexer projektiver Raum|komplexe projektive Raum]] und geht zurück auf [[Bernhard Riemann]].

== Topologie und komplexe Struktur ==

Die Topologie auf <math>\hat{\C}</math> wird folgendermaßen erzeugt: Man bezeichnet mit <math>P: S^2\to \hat{\C}</math> die stereographische Projektion durch den Nordpol und bildet zusätzlich <math>\infty</math> auf den Nordpol ab, d.&nbsp;h.

:<math>P(x_1,x_2,x_3) = \begin{cases}
    \frac{x_1}{1-x_3} + \mathrm{i} \frac{x_2}{1-x_3} & x \neq (0,0,1), \\
    \infty & x = (0,0,1).
    \end{cases}</math>

<math> P </math> ist invertierbar, da die stereographische Projektion invertierbar ist und man <math>P^{-1}(\infty) = (0,0,1)</math> hat. Die Funktion <math>\chi: \hat{\mathbb{C}}^2 \to \mathbb{R}</math>, gegeben durch

<math>    \chi(x,y) = \lVert P^{-1}(x) - P^{-1}(y) \rVert_2, </math>

definiert eine Metrik auf <math>\hat{\C}</math> und heißt [[chordale Metrik]]. Durch die von der Metrik erzeugten Topologie sind <math>P</math> und <math>P^{-1}</math> stetig. Daher ist <math>\hat{\C}</math> homöomorph zu <math>S^2</math>, woher die Bezeichnung Zahlenkugel rührt.

Die [[komplexe Struktur]] der Riemannschen Zahlenkugel wird durch zwei [[Atlas (Mathematik)#Karte|Karten]] gegeben. Die erste ist auf <math>\mathbb C</math> definiert und ist die Identität. Die zweite ist auf der [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] <math>[\mathbb C \cup \{\infty\}] \setminus \{0\}</math> des unendlich fernen Punkts definiert durch

:<math>z \mapsto
  \begin{cases} \frac 1z, & \text{falls } z \in \mathbb C,\\ 
   0, & \text{falls }z = \infty.
\end{cases}</math>

== Eigenschaften und Anwendungen ==
* Topologisch ist diese geschlossene Riemannsche Fläche vom [[Geschlecht (Fläche)|Geschlecht]] <math> 0 </math> bis auf [[Homöomorphie]] eindeutig, das gilt aber nicht für [[Biholomorphie]], d.&nbsp;h. es ließe sich noch eine andere komplexe Struktur finden.
* Auf Basis des [[Satz von Riemann-Roch|Satzes von Riemann-Roch]] kann man zeigen, dass jede kompakte Riemannsche Fläche eine Einbettung in einen projektiven Raum besitzt. Des Weiteren lässt sich dann zeigen, dass jede Riemannsche Fläche biholomorph zu einer [[Projektive Varietät|projektiven Varietät]] der Dimension <math>1</math> ist, d.&nbsp;h. Riemannsche Flächen lassen sich als Nullstellenmenge von homogenen Polynomen darstellen.<ref>Jürgen Jost: ''Compact Riemann Surfaces. An Introduction to Contemporary Mathematics''. 2. Auflage, Springer Berlin Heidelberg, 2002, S. 234 ff.</ref>
* Die [[Automorphismus|Automorphismen]], also die [[biholomorphe Abbildung|biholomorphen]] Abbildungen der riemannschen Zahlenkugel auf sich selbst, bilden die [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] der [[Möbiustransformation]]en.<ref>Forster, S. 120</ref>
* Eine [[meromorphe Funktion]] kann man als eine [[holomorphe Funktion]] in die Riemannsche Zahlenkugel interpretieren.
* Die [[verzweigte Überlagerung|verzweigten Überlagerungen]] über der Riemannschen Zahlenkugel führen zur Theorie der [[Hurwitz-Zahl]]en.

== Siehe auch ==
* [[Projektiver Raum]]

== Literatur ==
* Otto Forster: ''Riemannsche Flächen'', Springer Berlin Heidelberg, 1977.
* Klaus Lamotke: ''Riemannsche Flächen'', Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2009.

== Weblinks ==
* [https://www.thphys.uni-heidelberg.de/~hefft/vk1/#816b1d Erklärung von Klaus Hefft (Institut für Theoretische Physik, Uni-Heidelberg)]

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Bernhard Riemann als Namensgeber]]
[[Kategorie:Fläche (Mathematik)]]