Quelltext der Seite Richtungsableitung

In der [[Mathematik]] ist die '''Richtungsableitung''' einer von mehreren Variablen abhängigen Funktion die momentane Änderungsrate dieser Funktion in einer durch einen Vektor vorgegebenen Richtung.

Eine Verallgemeinerung der Richtungsableitung auf unendlichdimensionale Räume ist das [[Gâteaux-Differential]].

== Definitionen ==
Seien  <math>U\subset\R^n</math> eine [[offene Menge]], <math>x\in{U}</math> und <math>v\in\R^n</math> ein Vektor.

Die Richtungsableitung einer Funktion <math>f\colon{U}\to\R</math> am Punkt <math>x</math> in Richtung von <math>v</math> ist definiert als [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]]
: <math>D_{v}{f(x)} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(x + h\cdot v) - f(x)}{h}},</math>
falls dieser existiert. Hierfür schreibt man auch <math>\partial_v f(x)</math><ref>{{Literatur |Autor=Konrad Königsberger |Titel=Analysis. 2 |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum=1997 |ISBN= |Seiten=48 |Abruf=}}</ref> oder <math>\frac{\partial f}{\partial v}(x)</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Arens et al. |Titel=Mathematik |Auflage=5. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2022 |ISBN=978-3-662-64388-4 |Seiten=878 |Abruf=}}</ref> 

=== Alternative Definition ===
Durch
: <math>\gamma\colon (-\varepsilon,\varepsilon)\to U,\; \gamma(t):=x+t\cdot v,</math>
ist ein Stück einer parametrisierten Gerade definiert. Das <math>\varepsilon>0</math> ist hierbei hinreichend klein gewählt, so dass <math>\gamma(t)\in U</math> an jeder Stelle <math>t\in(-\varepsilon,\varepsilon)</math> gilt.

Nun ist die Verkettung <math>f\circ\gamma</math> eine gewöhnliche reelle Funktion und man erhält gemäß
: <math>D_v f(x) := (f\circ\gamma)'(0) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}f(\gamma(t))\Big|_{t=0}</math>
eine äquivalente Definition der Richtungsableitung.

Diese Definition bietet den Vorteil der Zurückführung der Richtungsableitung auf eine gewöhnliche Ableitung, womit keine neue Art von Differentialquotient betrachtet werden muss.

Zudem kann man diese Definition dergestalt konzeptuell erweitern, dass <math>\gamma</math> eine beliebige differenzierbare Parameterkurve mit <math>\gamma(0)=x</math> und Tangentialvektor <math>\gamma'(0)=v</math> sein darf. Allerdings setzt man <math>f</math> hierfür als an der Stelle <math>x</math> [[Totale Differenzierbarkeit|total differenzierbar]] voraus, denn dann ist das [[Totales Differential|totale Differential]] <math>\mathrm df(x)</math> vorhanden und es gilt
:<math>(f\circ\gamma)'(0)=\mathrm df(x)(v)</math>
gemäß der [[Mehrdimensionale Kettenregel|Kettenregel]], was die Gewissheit verschafft, dass der Wert unabhängig von der gewählten Parameterkurve ist. Die Richtungsableitung ist in diesem Fall auch dann erklärt, wenn der Definitionsbereich von <math>f</math> eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist und der Vektor <math>v</math> aus dem Tangentialraum entstammt, welcher sich der Mannigfaltigkeit am Punkt <math>x</math> anschmiegt. Beispielsweise kann die Spur der Parameterkurve bei einer Mannigfaltigkeit mit äußerer Krümmung unmöglich ein Geradenstück sein, weil sie per se innerhalb der Mannigfaltigkeit verlaufen muss.

=== Einseitige Richtungsableitungen ===
Die ''einseitigen Richtungsableitungen'' von  <math>f\colon{U} \rightarrow \mathbb{R}</math> in Richtung <math>v\in\R^{n}</math> sind definiert durch
: <math>D^{+}_v{f(x)} = \lim_{h \rightarrow 0,\,h>0}{\frac{f(x + h\cdot v) - f(x)}{h}}</math>
: <math>D^{-}_v{f(x)} = \lim_{h \rightarrow 0,\,h<0}{\frac{f(x + h\cdot v) - f(x)}{h}} = -D_{-v}^+f(x).</math>

Die Richtungsableitung in Richtung <math>v</math> existiert genau dann, wenn die beiden einseitigen Richtungsableitungen <math> D^{+}_{v}{f(x)}</math> und <math>D^{-}_{v}{f(x)}</math> übereinstimmen. In diesem Fall gilt
: <math>D_{v}{f(x)} = D^{+}_{v}{f(x)} = D^{-}_{v}{f(x)}. </math>

=== Ableitung in normierte Richtungen ===
Einige Autoren<ref>{{Literatur |Autor=[[Lothar Papula]] |Titel=Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3 |Sammelwerk= |Verlag=Springer |Datum=2024 |ISBN=978-3-658-45804-1 |DOI=10.1007/978-3-658-45804-1 |Seiten=64–65 |Online=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-45804-1 |Abruf=2025-07-11}}</ref> definieren die Richtungsableitung nur in Richtung normierter Vektoren:
: <math>D_{v}{f(x)} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(x + h\cdot v) - f(x)}{h\cdot \lVert v \rVert}}.</math>

Für Richtungen <math>v</math> auf der Einheitssphäre <math>\mathbb{S}^{n-1}</math> stimmen diese beiden Definition überein. Andernfalls unterscheiden sich die beiden Definitionen durch den Faktor <math>\lVert v\rVert</math>. Während die obige Definition für alle Richtungen definiert ist, ist die Ableitung in normierte Richtungen nur für <math>v\neq0</math> definiert.

Besonders in den Anwendungen kann es sinnvoll sein, mit dem normierten Richtungsvektor <math>\frac{v}{\lVert v \rVert}</math> zu rechnen; damit ist gewährleistet, dass die Richtungsableitung nur mehr von der Richtung, aber nicht vom Betrag von <math>v</math> abhängt.

== Schreibweisen ==
Statt <math>D_v f (x)</math> sind auch die Schreibweisen
: <math>\nabla_{v}{f}(x)</math>,&nbsp;&nbsp; <math>\partial_v f(x)</math>,&nbsp;&nbsp; <math>\displaystyle\frac{\partial{f(x)}}{\partial{v}}</math>&nbsp;&nbsp; und <math> f'_v(x)  </math>
üblich, um unter anderem Verwechslungen mit den [[Kovariante Ableitung|kovarianten Ableitungen]] der [[Differentialgeometrie]] zu vermeiden.

Ist <math>f</math> [[Totale Differenzierbarkeit#Definition|total differenzierbar]], so kann die Richtungsableitung mit Hilfe der [[Totales Differential|totalen Ableitung]] dargestellt werden (siehe den Abschnitt [[#Eigenschaften|Eigenschaften]]).
Schreibweisen dafür sind
: <math>Df(x) v</math>,&nbsp;&nbsp; <math>Df_x \, v</math>,&nbsp;&nbsp; <math>\operatorname{grad}\ f(x) \cdot v</math>,&nbsp;&nbsp; <math>\nabla f(x) \cdot v</math>&nbsp;&nbsp; und <math>(v \cdot \nabla) f (x)</math>.

== Eigenschaften ==
* Wählt man als Richtungsvektor <math>\vec v</math> die [[Standardbasis|Koordinateneinheitsvektoren]] <math>\vec e_1, \dots, \vec e_n</math>, so erhält man die [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] von <math>f</math> im jeweiligen Punkt <math>\vec x</math>:
*: <math>D_{\vec e_i} f(\vec x) = \frac{\partial f}{\partial x_i} (\vec x)</math>
* Die einseitige Richtungsableitung ist als Funktion von <math>\vec{v}</math> positiv homogen, das heißt für alle positiven <math>\alpha>0</math> gilt:
*:<math>D^{+}_{\alpha\vec{v}}{f(\vec{x})}=\alpha D^{+}_{\vec{v}}{f(\vec{x})}.</math>
* Falls  <math>f</math>  in <math>\vec{x}</math> [[Differentialrechnung#Totale Differenzierbarkeit|total differenzierbar]] ist, so ist die Richtungsableitung als Funktion von <math>\vec{v}</math> sogar [[Lineare Abbildung|linear]] und kann durch den [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>\nabla f</math> von <math>f</math> ausgedrückt werden:
*:<math>D_{\vec{v}}{f}(\vec x) = \nabla f(\vec x) \cdot \vec{v}
= \frac{\partial f}{\partial x_1}(\vec x) \,v_1 + \dots +\frac{\partial f}{\partial x_n}(\vec x)\, v_n
</math>

== Beispiele ==
=== Eindimensionale Betragsfunktion ===
[[Datei:Absolute Value.svg|gerahmt|Der Absolutbetrag ist seine eigene Richtungsableitung in 0.]]

Im eindimensionalen Fall gibt es nur zwei mögliche Richtungen, nämlich nach links bzw. nach rechts.
Die Richtungsableitungen entsprechen also den üblichen einseitigen Ableitungen.
Die Ableitungen in beide Richtungen dürfen verschiedene Werte annehmen, das bedeutet anschaulich, dass die Funktion einen Knick haben kann. Ein einfaches Beispiel hierfür ist die [[Absoluter Betrag|Betragsfunktion]].
Sie ist in <math>0</math> zwar nicht differenzierbar, aber die einseitige Richtungsableitung existiert:

: <math>D^{+}_{v}{f(0)}=v \quad</math> für <math>v\geq 0</math>
und
: <math>D^{-}_{v}{f(0)}=-v \quad</math> für <math>v \leq 0</math>

Der Absolutbetrag ist also gleich seiner einseitigen Richtungsableitung in 0 als Funktion von <math>v</math>.

=== Normalenableitung auf Gebieten ===
Ist <math>\Omega \subset \R^n</math> <math>(n>1)</math> ein [[Glatte Funktion|glatt]] berandetes [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] mit einem äußeren [[Normalenvektor]]feld <math>\nu</math> und <math>f\in C^1(\bar\Omega)</math>, dann ist
: <math>\frac{\partial f}{\partial \nu}=\nabla f \cdot \nu</math>
die ''Normalenableitung'' von <math>f</math> auf dem Rand von <math>\Omega</math>. Objekte dieser Art treten beispielsweise bei [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]] mit [[Neumann-Randbedingung]]en auf.

== Literatur ==
* [[Otto Forster]]: ''Analysis 2. Differentialrechnung im'' '''R'''<sup>''n''</sup>. ''Gewöhnliche Differentialgleichungen.'' 7. Auflage. Vieweg-Verlag, 2006, ISBN 3-528-47231-6
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 2.'' 3. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2000, ISBN 978-3-540-66902-9.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Directional derivative|Richtungsableitung|audio=0|video=0}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Differentialoperator]]