Quelltext der Seite Reflexionsprinzip (Mengenlehre)

Das '''Reflexionsprinzip''' ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der [[Mengenlehre]]. Die Kernaussage lautet, dass es keinen in der Sprache der Mengenlehre formulierbaren Satz über das [[Mengenuniversum]], das heißt über die Klasse aller Mengen, gibt, der nicht bereits in einer geeigneten Menge „gespiegelt“ (siehe unten) würde, woraus sich der Name Reflexionsprinzip erklärt. Der Satz geht auf [[Richard Montague]] (1957) und [[Azriel Levy]] (1960) zurück.

== Formulierung ==
Wir betrachten die Stufen <math>V_\alpha</math> der [[Von-Neumann-Hierarchie]]. Ist <math>\varphi</math> eine Formel der [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]], das heißt eine aus Variablen für Mengen und den Symbolen <math>\in, =, \neg, \land, \lor, \rightarrow, \leftrightarrow, \exists, \forall</math> korrekt aufgebaute Aussage, so sagt man <math>V_\alpha</math> spiegele <math>\varphi</math>, wenn das durch <math>x\in V_\alpha</math> definierte Prädikat die Aussage <math>\varphi</math> spiegelt, diese Begriffe sind im Artikel [[Relativierung (Mengenlehre)]] erklärt.

Es gilt nun das sogenannte
;Reflexionsprinzip<ref>[[Heinz-Dieter Ebbinghaus]]: ''Einführung in die Mengenlehre'', Spektrum Verlag 2003, ISBN 3-8274-1411-3, Kap X, 2.1</ref><ref>[[Thomas Jech]]: ''Set Theory'', Springer-Verlag (2003), ISBN 3-540-44085-2, Theorem 12.14</ref>
: Ist <math>\varphi</math> eine mengentheoretische Formel, so gibt es eine [[Ordinalzahl]] <math>\alpha</math>, so dass <math>\varphi</math> von <math>V_\alpha</math> gespiegelt wird.

In einprägsamer Kurzform lautet das Reflexionsprinzip: Zu jedem Satz gibt es bereits eine Menge, die ihn spiegelt. Diese Menge kann als Stufe <math>V_\alpha</math> der Von-Neumann-Hierarchie gewählt werden. Man kann zeigen, dass man <math>\alpha</math> als [[Limes-Ordinalzahl]] wählen kann. Es gilt sogar die für den Beweis wesentliche Verschärfung, dass die Klasse aller Ordinalzahlen <math>\alpha</math>, so dass <math>\varphi</math> von <math>V_\alpha</math> gespiegelt wird, beliebig große [[club-Menge]]n enthält.

== Bedeutung ==
* Jeder im [[Mengenuniversum]] wahre Satz ist bereits in einer Menge <math>V_\alpha</math> wahr. Es gibt also keinen in der mengentheoretischen Sprache formulierbaren Satz, der das Mengenuniversum von allen Mengen unterscheidet. Ebbinghaus schreibt daher in seinem unten zitierten Lehrbuch, dass das Mengenuniversum in diesem Sinne „unbeschreiblich groß“ sei.
* Betrachtet man ZF ohne Unendlichkeits- und Ersetzungsaxiom so ist das Reflexionsprinzip gerade äquivalent zu diesen. Das [[Scottsches Axiomensystem|Scottsche Axiomensystem]] für ZF wählt dieses Reflexionsprinzip als Axiomenschema.
* Die [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]] ist nicht endlich axiomatisierbar. (Man beachte, dass beispielsweise das [[Ersetzungsaxiom]] ein [[Axiomenschema|Schema]] von unendlich vielen Axiomen ist.) Endlich viele Axiome könnten mittels der [[Konjunktion (Logik)|Konjunktion]] <math>\land</math> zu einer einzigen Aussage verknüpft werden, und diese würde bereits durch eine Menge gespiegelt, das heißt man könnte in ZF die Existenz eines Modells für ZF zeigen, was ein Widerspruch zum [[Gödelscher Unvollständigkeitssatz|Zweiten Unvollständigkeitssatz]] wäre.<ref>[[Thomas Jech]]: ''Set Theory'', Springer-Verlag (2003), ISBN 3-540-44085-2, Bemerkungen zu Theorem 12.14</ref>

== Verstärkung ==
Das Reflexionsprinzip gilt auch für Verallgemeinerungen der Von-Neumann-Hierarchie. Ist <math>W</math> eine beliebige Klasse und <math>\langle W_\alpha\mid\alpha\in Ord\rangle</math> eine durch eine Formel definierte Folge von [[transitive Menge|transitiven Mengen]] mit
* <math>W_\alpha\subseteq W_{\alpha+1}</math>, für alle <math>\alpha</math>,
* <math>W_\lambda=\bigcup_{\alpha<\lambda}W_\alpha</math>, für alle [[Ordinalzahl|Limesordinalzahlen]] <math>\lambda</math>,
* <math>W=\bigcup_{\alpha\in Ord}W_\alpha</math>,
so gibt es für jede Formel <math>\varphi</math> ein <math>\alpha\in Ord</math>, sodass <math>\varphi^W\leftrightarrow\varphi^{W_\alpha}</math> gilt. Die Verstärkung ist unter anderem auf die [[konstruierbare Hierarchie]] <math>L_\alpha</math> anwendbar und kann verwendet werden, um nachzuweisen, dass in <math>L</math> das [[Aussonderungsaxiom]] gilt.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Satz (Mengenlehre)]]