Quelltext der Seite Rationale Funktion

[[Datei:Gebrochenrational.svg|mini|300px|'''rot:''' Graph der gebrochenrationalen Funktion <math>f(x)=\tfrac{2(x + 2)(x + 1)(x - 1)^2}{(x + 1)(2x - 1)}</math><br/>'''blau:''' Polgerade durch die Polstelle bei <math>x=0{,}5</math><br/>'''grün:''' [[Asymptote]]nfunktion <math>g(x)=x^2 + x/2 - 11/4</math>, stetig behebbare Definitionslücke bei <math>x=-1</math>]]

Eine '''rationale Funktion''' ist in der [[Mathematik]] eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die als [[Quotient]] zweier [[Polynomfunktion]]en darstellbar ist. Sie hat also die Form
:<math>
f(x)=\frac{a_m x^m+a_{m-1} x^{m-1}+\dotsb +a_1x+a_0}{b_n x^n+b_{n-1} x^{n-1}+\dotsb +b_1x+b_0} 
= \frac{P_m(x)}{Q_n(x)}</math>
mit [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] <math>m</math> und <math>n</math>. Die Zahlen <math>a_m, \dotsc, a_0, b_n, \dotsc, b_0</math> können beliebige [[reelle Zahl]]en (oder auch [[komplexe Zahl]]en) sein; die einzige Einschränkung ist, dass <math>Q_n \ne 0</math> sein muss. Die höchsten [[Koeffizient|Koeffizienten]] <math>a_m</math> und <math>b_n</math> sollen nicht Null sein.

Abstrakter kann man für die Koeffizienten <math>a_m, \dotsc, a_0, b_n, \dotsc, b_0</math> Elemente eines beliebigen Körpers zulassen. Die rationalen Funktionen mit komplexen Koeffizienten gehören zu den [[Meromorphe Funktion|meromorphen Funktionen]].

Allgemeiner kann man rationale Funktionen in mehreren Variablen sowie rationale Funktionen auf algebraischen Varietäten über beliebigen Körpern betrachten.

== Einteilung ==
* Ist das Nennerpolynom <math>Q_n</math> vom Grad <math>n = 0</math>, also konstant, so spricht man von einer [[Ganzrationale Funktion|''ganzrationalen Funktion'']] oder von einer [[Polynom|''Polynomfunktion'']].
* Kann man den Funktionsterm ausschließlich mit einem Nennerpolynom vom Grad <math>n > 0</math> darstellen, so handelt es sich um eine ''gebrochenrationale Funktion''.
** Ist <math>n > 0</math> und <math>m < n</math>, so handelt es sich um eine ''echt gebrochenrationale Funktion''.
** Ist <math>n > 0</math> und <math>m \ge n</math>, so handelt es sich um eine ''unecht gebrochenrationale Funktion''. Sie kann über [[Polynomdivision]] in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion aufgeteilt werden (siehe unten).

Beispiele für rationale Funktionen mit unterschiedlichen Zählergraden <math>m</math> und Nennergraden <math>n</math>:

{| class="wikitable"
|-
! Beispiel !! alternative Schreibweise !! m = !! n = !! Funktionstyp
|-
| <math>f\colon x \mapsto \frac{3x^3 - 4x + 5}{2}</math> || <math>f\colon x \mapsto \frac{3}{2} x^3 - 2x + \frac{5}{2}</math> ||style="text-align:center"|   3||style="text-align:center"| 0  || style="text-align:center"| ganzrational
|-
| <math>f\colon x \mapsto \frac{2x - 1}{x^2 + 1}</math> ||  ||style="text-align:center"|  1 || style="text-align:center"|2 ||style="text-align:center"| echt gebrochenrational
|-
| <math>f\colon x \mapsto \frac{(x - 1)^2 \cdot (x + 2)}{x \cdot (2 - 3x^2)}</math> || <math>f\colon x \mapsto \frac{x^3 - 3x + 2}{2x - 3x^3}</math> || style="text-align:center"|3 ||style="text-align:center"| 3 ||style="text-align:center"| unecht gebrochenrational
|-
| <math>f\colon x \mapsto x + 1 + \frac{1}{x-1}</math> || <math>f\colon x \mapsto \frac{x^2}{x-1}</math> ||style="text-align:center"| 2 ||style="text-align:center"| 1 ||style="text-align:center"| unecht gebrochenrational
|}

== Kurvendiskussion ==
Anhand des [[Funktionsterm]]s der rationalen Funktion <math>f={p\over q}\colon x\mapsto \frac{p(x)}{q(x)}</math> lassen sich folgende Aussagen zum [[Funktionsgraph]]en machen ([[Kurvendiskussion]]).

=== Definitionsbereich, Nullstellen und Polstellen ===
Die gebrochenrationale Funktion ist an den Nullstellen der Nennerfunktion <math>q</math> nicht definiert.

Die [[Nullstelle]]n einer gebrochenrationalen Funktion werden durch diejenigen Nullstellen der Zählerfunktion <math>p</math> bestimmt, die zum Definitionsbereich der gesamten Funktion gehören.

Ein Spezialfall ergibt sich, wenn eine reelle Zahl <math>a\in\R</math> gleichzeitig Nullstelle des Zählerpolynoms und des Nennerpolynoms ist. Dann sind Zähler- und Nennerpolynom durch den zugehörigen [[Linearfaktor]] <math>x-a</math> (eventuell sogar mehrfach) teilbar, das heißt, der Funktionsterm kann mit diesem Faktor (eventuell mehrfach) [[Kürzen|gekürzt]] werden.
* Kommt <math>x-a</math> im [[Bruchrechnung|Nenner]] <math>n</math>-mal öfter vor als im [[Bruchrechnung|Zähler]] (mit natürlicher Zahl <math>n</math>, <math>n>0</math>), so liegt eine [[Polstelle]] vor (<math>n</math> heißt dann die Vielfachheit der Polstelle);
* andernfalls hat die rationale Funktion an der Stelle <math>a</math> eine [[stetig hebbare Definitionslücke]], und man kann die Funktion [[Stetige Fortsetzung|stetig fortsetzen]]

Beispiele:
* Die Funktion <math>f\colon x \mapsto \frac{x-1}{(2x-4)^2}</math> hat den Definitionsbereich <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus\{2\}</math>, da die Nennerfunktion <math>q\colon x \mapsto (2x-4)^2</math> die Nullstelle <math>x = 2</math> hat, und die Nullstelle <math>x = 1</math>, da das die einzige Nullstelle der Zählerfunktion <math>p\colon x \mapsto x-1</math> ist (und <math>x = 1</math> zu <math>\mathbb{D}</math> gehört). <math>x = 2</math> ist eine (doppelte) Polstelle.
* Die Funktion <math>f\colon x \mapsto \frac{x^2-x}{x^2-1}</math> hat den Definitionsbereich <math>\mathbb{D}_f = \mathbb{R}\setminus\{\pm 1\}</math>. Hier ist aber nun <math>x = 1</math> eine Nullstelle der Zähler- und der Nennerfunktion. Um den entsprechenden Linearfaktor <math>(x - 1)</math> zu kürzen, faktorisiert man Zähler und Nenner zunächst (durch Ausklammern bzw. Anwenden der [[Binomische Formel|binomischen Formeln]]); das führt auf <math>f\colon x \mapsto \frac{x \cdot(x-1)}{(x+1)\cdot (x-1)}</math> bzw. nach kürzen auf <math>f\colon x \mapsto \frac{x}{x+1}</math>. Damit ergibt sich: <math>x = -1</math> ist eine (einfache) Polstelle, <math>x = 1</math> dagegen eine stetig behebbare Definitionslücke von <math>f</math>, und <math>f</math> hat die Nullstelle <math>x = 0</math> (beachte: <math>x = 1</math> ist keine Nullstelle von <math>f</math>, da dieser Wert nicht zu <math>\mathbb{D}</math> gehört!). Für die [[stetige Fortsetzung]] von <math>f</math> ergibt sich: <math>\tilde{f}(x) = \frac{x}{x+1}</math> und <math>\mathbb{D}_{\tilde{f}} = \mathbb{R}\setminus\{-1\}</math>.

=== Asymptotisches Verhalten ===
Für das Verhalten für <math>x</math> gegen [[Unendlich]] sind die [[Polynom#Definition|Grade]] <math>m</math> bzw. <math>n</math> des Zähler- bzw. Nennerpolynoms entscheidend:

Für <math>x\to\infty</math> geht <math>f(x)</math>
* (Fall 1) gegen <math>\sgn\left(\tfrac{a_m}{b_n}\right)\cdot\infty</math>, falls <math>m>n</math>, wobei <math>\sgn</math> die [[Vorzeichenfunktion]] darstellt.
* (Fall 2) gegen <math>\tfrac{a_m}{b_n}</math>, falls <math>m=n</math> (die [[Asymptote]] ist parallel zur <math>x</math>-Achse),
* (Fall 3) gegen <math>0</math> (die <math>x</math>-Achse ist waagrechte Asymptote), falls <math>m<n</math>,
Für <math>x\to -\infty</math> ergibt sich in den Fällen 2 und 3 jeweils derselbe Grenzwert wie für <math>x \to \infty</math>. Im Fall 1 muss man Zähler- und Nennergrad noch genauer berücksichtigen:
* Ist <math>m - n</math> gerade, so ergibt sich derselbe Grenzwert wie für <math>x \to \infty</math>.
* Ist <math>m - n</math> ungerade, so ändert sich im Vergleich zu <math>x \to \infty</math> das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Grenzwerts.

Beispiele:
* Bei der gebrochenrationalen Funktion <math>f\colon x \mapsto \frac{2x - 1}{x^2 + 1}</math> ist der Zählergrad <math>m = 1</math> und der Nennergrad <math>n = 2</math>, der Grenzwert für <math>x \to \pm \infty</math> ist also <math>0</math>.
* Die gebrochenrationale Funktion <math>f\colon x \mapsto \frac{x^3 - 3x + 2}{2x - 3x^3}</math> hat den Zählergrad <math>m = 3</math> und auch den Nennergrad <math>n = 3</math>; da hier <math>a_3 = 1</math> und <math>b_3 = -3</math> ist, ergibt sich für die Gleichung der waagrechten Asymptote: <math>y = -\frac{1}{3}</math>.
* Die gebrochenrationale Funktion <math>f\colon x \mapsto \frac{x^2}{x-1}</math> hat den Zählergrad <math>m = 2</math> und den Nennergrad <math>n = 1</math>; mit den Koeffizienten <math>a_2 = 1</math> und <math>b_1 = 1</math> ergibt sich also: <math>f(x) \to \sgn\left(\tfrac{1}{1}\right)\cdot\infty = +\infty</math> für <math>x \to \infty</math>. Da hier <math>m - n = 1</math> ungerade ist, folgt für den Grenzwert für <math>x \to -\infty</math> das umgedrehte Vorzeichen, also <math>f(x) \to -\infty</math>. Diese Funktion kann man auch schreiben als <math>f\colon x \mapsto x + 1 + \frac{1}{x-1}</math>, das heißt, die (schräge) Asymptote hat die Gleichung <math>y = x + 1</math> (und daraus ergibt sich auch leicht wieder das eben geschilderte Grenzverhalten).

''Untersuchung mit Polynomdivision''

Im oben genannten Fall 1 (<math>m>n</math>) kann man den Funktionsterm mittels [[Polynomdivision]] in eine Summe aus einem Polynom und einem echt gebrochenrationalen Term zerlegen; das Polynom beschreibt dann eine sogenannte [[Asymptote]]n<nowiki />kurve. Das oben beschriebene Verhalten der Funktionswerte für <math>x \to \pm \infty</math> kann man auch einfacher erhalten, indem man nur das Verhalten dieser Asymptotenkurve untersucht. Im Sonderfall <math>m=n+1</math> ergibt sich eine schräg verlaufende Asymptote.

Wie oben stehen <math>m</math> für den Grad des Zählerpolynoms <math>p(x)</math> und <math>n</math> für den Grad des Nennerpolynoms <math>q(x)</math>. Es werden wieder alle Fälle betrachtet (nicht nur <math>m>n</math>).

Mittels Polynomdivision von <math>p(x)</math> durch <math>q(x)</math> erhält man zunächst eine Darstellung

:<math>p(x) = g(x)\cdot q(x) + r(x)</math> 

mit Polynomen <math>g(x)</math> und <math>r(x)</math>, wobei der Grad von <math>q(x)</math> echt größer als der von <math>r(x)</math> ist. Daraus folgt die nützliche Gleichung

:<math>f(x) = {p(x)\over q(x)} = g(x) + {r(x)\over q(x)}</math>.

Das [[Asymptote|asymptotische]] Verhalten von <math>f(x)</math> ist nun dasselbe asymptotische Verhalten der [[Polynomfunktion|ganzrationalen Funktion]] („Asymptotenfunktion“) <math>g(x)</math>. Der Quotient <math>r(x)\over q(x)</math> spielt keine Rolle.

Wenn man sich die Mühe der Polynomdivision gemacht hat und die oben beschriebene nützliche Gleichung aufstellt, tut man sich mit der Fallunterscheidung leichter. Es gilt:

Fall 1: <math>m < n</math> → <math>x</math>-Achse ist Asymptote: <math>g(x) = 0</math>

Fall 2: <math>m = n</math> → waagerechte Asymptote: <math>g(x) = \frac{a_m}{b_n}</math>

Fall 3: <math>m = n + 1</math> → schräge Asymptote: <math>g(x) = bx + c </math> mit <math> b = \frac{a_m}{b_n} </math> und <math> c = \frac{a_{m-1}}{b_n} - \frac{a_m b_{n-1}}{b_n^2} </math>

Fall 4: <math>m > n+1</math> → <math>g(x)</math> ist ein Polynom vom Grad <math>m-n</math>; der Leitkoeffizient dieses Polynoms ist gleich <math>\frac{a_m}{b_n}</math>.

=== Symmetrie ===
Eine Polynomfunktion (ganzrationale Funktion) ist gerade/ungerade, wenn alle [[Exponent (Mathematik)|Exponenten]] gerade/ungerade sind. Sind Zählerpolynom <math>p</math> ''und'' Nennerpolynom <math>q</math> von einem dieser beiden Typen, so ist auch die rationale Funktion <math>f</math> gerade oder ungerade:
* Sind <math>p</math> und <math>q</math> beide gerade oder beide ungerade, so ist <math>f</math> gerade (d.&nbsp;h. der Graph ist [[Symmetrie (Geometrie)|symmetrisch]] zur y-Achse)
* Ist <math>p</math> gerade und <math>q</math> ungerade, so ist <math>f</math> ungerade (d.&nbsp;h. der Graph ist [[Punktsymmetrie|punktsymmetrisch]] zum Ursprung); gleiches gilt, wenn <math>p</math> ungerade und <math>q</math> gerade ist.

In allen anderen Fällen, wenn also Zähler- oder Nennerfunktion oder beide weder gerade noch ungerade sind, sind Symmetrieeigenschaften von <math>f</math> schwieriger zu entscheiden. (Siehe auch [[Kurvendiskussion#Symmetrie|Kurvendiskussion]] und [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrie in der Geometrie]]).

Beispiele:
* Der Graph zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x) = \frac{2x^3 - 3x}{x^2+1}</math> ist symmetrisch zum Ursprung, da <math>p</math> ungerade und <math>q</math> gerade, die Funktion insgesamt also ungerade ist.
* Der Graph zur Funktion <math>f\colon x \mapsto \frac{x^5-x^3}{x^3+x}</math> ist symmetrisch zur y-Achse, da <math>p</math> und <math>q</math> beide ungerade, die Funktion insgesamt also gerade ist. Das kann man auch anders sehen: Klammert man in Zähler und Nenner jeweils ''x'' aus, kann man den Funktionsterm kürzen zu <math>f(x) = \frac{x^4-x^2}{x^2+1}</math>; nun sind <math>p</math> und <math>q</math> gerade, die Funktion insgesamt also wiederum gerade.
* Beim Graph zur Funktion mit dem Term <math>f(x) = \frac{x}{x-1}</math> ist zunächst keine Symmetrie erkennbar (<math>p</math> ist ungerade, <math>q</math> aber weder gerade noch ungerade); man kann aber zeigen, dass der Graph symmetrisch zum Punkt ''P(1|1)'' ist; es gilt nämlich:
*: <math>f(1+x) - 1 = \frac{1+x}{(1+x)-1} - 1 = \frac{1+x}{x} - \frac{x}{x} = \frac{1}{x}</math> und
*: <math>1 - f(1-x) = 1 - \frac{1-x}{(1-x)-1} = \frac{x}{x} + \frac{1-x}{x} = \frac{1}{x}</math>,
:also insgesamt: <math>f(1+x) - 1 = 1 - f(1-x)</math>, was eben gerade Symmetrie zum Punkt ''P(1|1)'' bedeutet. Alternativ kann man auch zeigen, dass der Graph von <math>f</math> aus dem Graph der Funktion <math>g\colon x \mapsto \frac{1}{x}</math> (welcher symmetrisch zum Ursprung ist) durch Verschieben um 1 in <math>x</math>-Richtung und um 1 in <math>y</math>-Richtung hervorgeht.

== Ableitung ==
Zum [[Differentialrechnung|Ableiten]] gebrochenrationaler Funktionen muss man im Allgemeinen die [[Quotientenregel]] verwenden; zusätzlich kann auch oft die [[Kettenregel]] nützlich sein, beispielsweise wenn die Nennerfunktion eine [[Potenz (Mathematik)|Potenz]] eines [[Binom]]s ist. Vor dem Ableiten empfiehlt es sich oft, den Funktionsterm zunächst mit Hilfe einer Polynomdivision umzuschreiben und den übrigbleibenden echt gebrochenrationalen Term zu kürzen.

Beispiele:
* Bei der Funktion <math>f\colon x \mapsto \frac{2x-1}{(x^2+1)^2}</math> ist es sinnvoll, neben der Quotientenregel auch die Kettenregel anzuwenden, statt zunächst im Nenner die erste [[binomische Formel]] anzuwenden. Mit der Kettenregel ergibt sich zunächst für die Ableitung der Nennerfunktion <math>q</math> (in der Quotientenregel meist mit <math>v</math> bezeichnet):
*: <math>q'(x) = 2 (x^2+1) \cdot 2x = 4x (x^2+1) </math>,
: und damit insgesamt für die Ableitungsfunktion von <math>f</math>:
:: <math>f'(x) = \frac{2 \cdot (x^2+1)^2 - (2x - 1) \cdot 4x (x^2+1)}{(x^2+1)^4}</math>.
: Nun kann man im Zähler einen Faktor <math>(x^2+1)</math> ausklammern und kürzen:
:: <math>f'(x) = \frac{2 \cdot (x^2+1) - (2x - 1) \cdot 4x}{(x^2+1)^3}</math>.
: Vereinfachen des Zählers führt schließlich auf
:: <math>f'(x) = \frac{-6 x^2 + 4x + 2}{(x^2+1)^3}</math>.
* Den Funktionsterm <math>f(x) = \frac{x^4+x^3-7x^2-12x-4}{3x^3+12x^2+12x}</math> bringt man mit Hilfe einer Polynomdivision zunächst auf die Form
*: <math>f(x) = \frac{1}{3} x - 1 + \frac{x^2-4}{3x^3+12x^2+12x}</math>,
:woran man auch gleich die Gleichung der schrägen Asymptote ablesen kann:
::<math>y = \frac{1}{3}x - 1</math>.
: Faktorisieren von Zähler und Nenner führt dann auf
:: <math>f(x) = \frac{1}{3} x - 1 + \frac{(x + 2) (x - 2)}{3x (x + 2)^2}</math>,
:man kann also einen Faktor <math>(x + 2)</math> kürzen. Schließlich hat man:
:: <math>f(x) = \frac{1}{3} x - 1 + \frac{x - 2}{3x^2 + 6x}</math>;
:in dieser Form kann man die Funktion nun deutlich leichter ableiten als in der ursprünglich gegebenen.
: Mit Hilfe der Quotientenregel ergibt sich:
:: <math>f'(x) = \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot (3x^2+6x) - (x - 2) \cdot (6x + 6)}{(3x^2+6x)^2} = \frac{1}{3} + \frac{-3x^2 + 12 x + 12}{(3x^2+6x)^2} = \frac{1}{3} + \frac{-x^2+4x+4}{3 x^2 (x+2)^2}</math>.
: Setzt man die erste Ableitung gleich Null, um die Extremstellen zu suchen, so empfiehlt es sich vorher, die beiden Brüche wieder zusammenzufassen:
:: <math>f'(x) = \frac{x^2 (x+2)^2 - x^2+4x+4}{3 x^2(x+2)^2} = \frac{x^4 + 4x^3 + 3 x^2 + 4x + 4}{3 x^2 (x+2)^2}</math>.

== Stammfunktion ==
Im Gegensatz zu den [[Ganzrationale Funktion|ganzrationalen Funktionen]] ist es bei gebrochenrationalen Funktionen oft relativ schwierig, eine [[Stammfunktion]] zu finden.
Dafür kann man, je nach Form der gebrochenrationalen Funktion, unter anderem folgende Regeln anwenden (meist muss man den Funktionsterm durch Umformungen und/oder [[Integration durch Substitution|Substitution]] zunächst in eine passende Form bringen):
:<math>\int \frac{1}{mx + a} dx = \frac{1}{m} \cdot \ln(mx + a) + C</math> für <math>m, a \in \mathbb{R}, m \ne 0</math>
:<math>\int \frac{1}{(mx + a)^n} dx = \frac{1}{m} \cdot \frac{-1}{n-1} \cdot \frac{1}{(mx + a)^{n-1}} + C</math> für <math>m, a \in \mathbb{R}, m \ne 0, n \in \mathbb{N}\setminus\{0; 1\}</math>
:<math>\int \frac{1}{x^2+1} dx = \arctan (x) + C</math> oder <math>= - \arccot(x) + C</math>
:<math>\int \frac{1}{x^2-1} dx = \operatorname{artanh} (x) + C = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)</math> für <math>|x| < 1</math>
:<math>\int \frac{1}{x^2-1} dx = \operatorname{arcoth} (x) + C = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)</math> für <math>|x| > 1</math>
:<math> \int \frac{u'(x)}{u(x)} dx = \ln |u(x)| + C</math> für <math>u(x) \ne 0</math>

Oft kann für die Bestimmung einer Stammfunktion auch die [[Partialbruchzerlegung]] hilfreich sein.
Beispiele:
* Gesucht sei eine Stammfunktion zu <math>f(x) = \frac{5x - 1}{3x + 2}</math>. Mittels einer Polynomdivision kann man das zunächst umschreiben zu:
*: <math>f(x) = \frac{5}{3} - \frac{13}{9x+6}</math>.
:Anwenden der ersten Regel liefert dann als mögliche Stammfunktion:
::<math>F(x) = \frac{5}{3} x - \frac{13}{9} \ln(9x+6)</math>.
* Gesucht sei eine Stammfunktion zu <math>f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2-1}</math>, wobei <math>x</math> zwischen −0,5 und 0,5 liegen soll. Wieder kann man den Funktionsterm zunächst mittels einer Polynomdivision umschreiben:
*: <math>f(x) = 1 + \frac{2}{x^2-1}</math>.
:Anwenden der vierten Regel liefert dann als mögliche Stammfunktion:
::<math>F(x) = x + 2 \cdot \operatorname{artanh} (x)</math>.
* Gesucht sei eine Stammfunktion zu <math>f(x) = \frac{x+2}{x^2+4x+5}</math>. Das kann auch geschrieben werden als
*: <math>f(x) = \frac{1}{2} \frac{2x+4}{x^2+4x+5} = \frac{1}{2} \frac{u'(x)}{u(x)}</math> mit <math>u(x) = x^2 + 4x + 5</math>.
:Anwenden der letzten Regel liefert dann als mögliche Stammfunktion:
::<math>F(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2+4x+5)</math>.
* Eine Stammfunktion zu <math>f(x) = \frac{1}{x^2+2x+2}</math> kann man mit Hilfe der Substitution <math>y = x+1</math> bestimmen, nachdem man den Nenner mittels [[Quadratische Ergänzung|quadratischer Ergänzung]] umgeformt hat:
*: <math>\begin{align}\int \frac{1}{x^2+2x+2} dx &= \int \frac{1}{(x+1)^2+1} dx =  \int \frac{1}{y^2+1} dy\\
&= \arctan (y) + C = \arctan (x+1) + C
\end{align}</math>
* Eine Stammfunktion zu <math>f(x) = \frac{1}{x^2-x-6}</math> kann man mit Hilfe der Partialbruchzerlegung erhalten, nachdem man den Nenner zunächst faktorisiert hat:
*: <math>\begin{align}
\int \frac{1}{x^2-x-6} dx &= \int \frac{1}{(x-3)(x+2)} dx = \int \frac{1}{5} \left(\frac{1}{x-3} - \frac{1}{x+2} \right) dx\\
&= \frac{1}{5} \left(\ln(x-3) - \ln(x+2)\right) + C = \frac{1}{5} \ln\left(\frac{x-3}{x+2}\right) + C\end{align}</math>

== Rationale Funktionen in mehreren Variablen ==

Eine rationale Funktion in Variablen <math>x_1,\ldots,x_n</math> ist eine Funktion der Form <math>f(x_1,\ldots,x_n)=\frac{P(x_1,\ldots,x_n)}{Q(x_1,\ldots,x_n)}</math>, wobei <math>P</math> und <math>Q</math> [[Polynom#Polynome in mehreren Unbestimmten|Polynome]] in den Unbestimmten <math>x_1,\ldots,x_n</math> sind und <math>Q\not=0</math>.

=== Beispiele ===
* <math>f(x_1,\ldots,x_n)=\frac{x_1^2+\ldots+x_n^2}{1-x_1\ldots x_n}</math>
* <math>f(x,y)=\frac{xy}{x+y}</math>
* <math>f(m,M)=\frac{m}{2M+m}g</math>

=== Stetigkeit ===
Der [[Definitionsbereich]] von <math>f</math> besteht aus denjenigen Punkten <math>(x_1,\ldots,x_n)</math>, die entweder keine Nullstelle von <math>Q</math> sind oder deren [[Vielfachheit]] als Nullstelle von <math>P</math> mindestens so groß ist wie die Vielfachheit als Nullstelle von <math>Q</math>. Rationale Funktionen sind in allen Punkten ihres Definitionsbereiches [[Stetige Funktion#Stetigkeit für Funktionen mehrerer Variablen|stetig]].

== Anwendungen ==
Rationale Funktionen haben vielfältige Anwendungen in Naturwissenschaften und Technik:
* Viele Größen sind umgekehrt proportional zueinander, eine der Größen ist also eine rationale Funktion der anderen, wobei der Zähler konstant und der Nenner eine (homogene) [[lineare Funktion]] ist. Einige wenige Beispiele:
** Die Geschwindigkeit <math>v</math> und die für eine feste Strecke <math>s</math> benötigte Zeit <math>t</math> sind umgekehrt proportional zueinander: <math>t(v) = \tfrac{s}{v}</math>
** Die [[Konzentration (Chemie)|Konzentration]] <math>c</math> eines Stoffes ist bei fester [[Stoffmenge]] <math>n</math> umgekehrt proportional zum Volumen <math>V</math> des Lösungsmittels: <math>C(V) = \tfrac{n}{V}</math>
** [[Beschleunigung]] und [[Masse (Physik)|Masse]] sind bei fester Kraft <math>F</math> umgekehrt proportional zueinander: <math>a(m) = \tfrac{F}{m}</math>.
** Für die [[Elektrische Kapazität|Kapazität]] <math>C</math> eines [[Plattenkondensator]]s gilt in Abhängigkeit vom Plattenabstand <math>d</math>: <math>C(d) = \epsilon_0 \epsilon_r \tfrac{A}{d}</math> mit dem Flächeninhalt <math>A</math> der Platten, der [[Elektrische Feldkonstante|elektrischen Feldkonstante]] <math>\epsilon_0</math> und der [[Permittivität]] <math>\epsilon_r</math>.
* In vielen Bereichen der Physik kommen Funktionen von zwei Variablen <math>x</math> und <math>y</math> der folgenden Form vor: <math>f(x;y) = \tfrac{xy}{x \pm y}</math>. Ist eine der beiden Variablen, z.&nbsp;B. <math>y</math>, konstant oder wählt man sie als [[Parameter (Mathematik)|Parameter]], so ergibt sich eine rationale Funktion (bzw. [[Funktionenschar]]) von <math>x</math>. Solche Funktionen treten immer dann auf, wenn sich der gesamte [[Kehrwert]] irgendeiner Größe als Summe oder Differenz der Kehrwerte zweier anderer Funktionen ergibt.
** Mittels der [[Linsengleichung]] der [[Optik]] kann man die [[Brennweite]] <math>f</math> als Funktion von Gegenstandsweite <math>g</math> und Bildweite <math>b</math> darstellen: <math>f(g;b)= \tfrac{gb}{g+b}</math>; umstellen nach <math>g</math> oder <math>b</math> liefern eine sehr ähnliche Funktion, allerdings mit - statt mit +.
** Für den [[Elektrischer Widerstand|Gesamtwiderstand]] <math>R</math> einer [[Parallelschaltung]] zweier [[Widerstand (Bauelement)|Widerstände]] <math>R_1</math> und <math>R_2</math> ergibt sich: <math>R = \tfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}</math>; eine analoge Formel gilt bei der [[Reihenschaltung]] zweier [[Kondensator (Elektrotechnik)|Kondensatoren]].
** In der [[Mechanik]] ergibt sich, wenn man zwei [[Feder (Technik)|Federn]] mit [[Federkonstante]]n <math>D_1</math> und <math>D_2</math> aneinander hängt, für die gesamte Federkonstante <math>D</math> der Anordnung: <math>D = \tfrac{D_1 D_2}{D_1 + D_2}</math>
* Bei einem [[Spannungsteiler]] ist die gesamte an einem Widerstand <math>R</math> abfallende Spannung <math>U</math> gegeben durch: <math>U(R) = \tfrac{U_0 R}{R + R'}</math>, wobei <math>U_0</math> die zu teilende Spannung und <math>R'</math> der andere Widerstand ist.
* Für die [[elektrische Leistung]] <math>P</math>, die ein Gerät mit Widerstand <math>R</math> erbringt, das an einer [[Spannungsquelle]] (Spannung <math>U</math>) mit [[Innenwiderstand]] <math>R_i</math> angeschlossen ist, ergibt sich: <math>P(R) = \tfrac{U^2 R}{(R + R_i)^2}</math>. Die größtmögliche Leistung (zu bestimmen mit Hilfe der [[Differenzialrechnung]]) erhält man also dann, wenn <math>R = R_i</math> ist ([[Leistungsanpassung]]).
* Für die [[Induktivität]] <math>L</math> einer (nicht zu kurzen) [[Spule (Elektrotechnik)|Spule]] in Abhängigkeit von ihrem Radius <math>r</math> gilt: <math>L(r) = \tfrac{\mu_0 N^2 \pi r^2}{l + r/1,1}</math>. Dabei ist <math>l</math> die Länge der Spule (man kann <math>L</math> also auch als rationale Funktion von <math>l</math> auffassen), <math>N</math> die Windungszahl und <math>\mu_0</math> die [[magnetische Feldkonstante]].
* Die Bremskraft <math>B</math> einer [[Wirbelstrombremse]] hängt folgendermaßen von der Geschwindigkeit <math>v</math> ab: <math>B(v) = \tfrac{av}{b + v^2}</math> mit Konstanten <math>a</math> und <math>b</math>.
* Bei der [[Atwoodsche Maschine|Atwoodschen Maschine]] hängt die Beschleunigung <math>a</math> folgendermaßen von den beiden Massen <math>m</math> und <math>M</math> ab: <math>a = \tfrac{m}{2M+m} \cdot g</math>; man kann <math>a</math> also als rationale Funktion sowohl von <math>m</math> als auch von <math>M</math> auffassen.
* Auch geometrische Fragestellungen führen oft auf rationale Funktionen. Beispiel: Bei einer Truhe, die aus einem [[Quader]] (Grundseitenlängen <math>l</math> und <math>2 r</math>, Höhe <math>r</math>) mit aufgesetztem Halb-[[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]] (Höhe <math>l</math>, Radius <math>r</math>) besteht, gilt für den Oberflächeninhalt <math>O</math> in Abhängigkeit von <math>r</math> bei gegebenem Volumen <math>V</math>: <math>O(r) = \tfrac{(\pi + 4)r^3 + 2V}{r}</math>.

== Abweichende Bedeutung in der abstrakten Algebra ==
=== Rationale Funktionen über einem beliebigen Körper ===
{{Hauptartikel|Rationaler Funktionenkörper}}
In der [[Abstrakte Algebra|abstrakten Algebra]] wird der Begriff einer ''rationalen Funktion'' in einem allgemeineren und etwas unterschiedlichen Sinne verwendet. Und zwar versteht man unter einer ''rationalen Funktion'' in <math>n</math> Variablen <math>X_1, X_2, \dotsc, X_n</math> über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> ein Element des [[Quotientenkörper]]s des [[Polynomring]]s <math>K\left[X_1,X_2,\dotsc,X_n\right]</math>. Dieser Quotientenkörper wird [[Rationaler Funktionenkörper]] genannt.

Im Allgemeinen ist eine rationale Funktion also keine Funktion irgendeiner Art, sondern ein (formaler) Bruch aus zwei Polynomen. Die Umkehrung muss nicht gelten, der Unterschied macht sich allerdings nur über [[Endlicher Körper|endlichen Körpern]] bemerkbar: So ist z. B. für jede Primzahl <math>p</math> über dem endlichen Körper <math>\mathbb F_p</math> (dem Körper aller Restklassen ganzer Zahlen modulo <math>p</math>) der Bruch <math>\tfrac{1}{X^p-X}</math> eine [[Wohldefiniertheit|wohldefinierte]] rationale Funktion in der Variablen <math>X</math>, aber keine Funktion im eigentlichen Sinne des Begriffes, weil man in diese Funktion keinen einzigen Wert einsetzen darf, ohne dass der Nenner 0 wird. (Denn setzt man irgendein <math>x\in\mathbb F_p</math> in diese „Funktion“ ein, erhält man <math>\tfrac{1}{x^p-x}</math>, was undefiniert ist, weil der Nenner <math>x^p-x</math> nach dem [[Kleiner Fermatscher Satz|kleinen Fermatschen Satz]] gleich 0 ist.) Über unendlichen Körpern allerdings ist eine rationale Funktion immer eine Funktion, die zwar eine Definitionslücke haben kann, aber diese Definitionslücke ist nur sehr klein im Vergleich zum Definitionsbereich. Dieser Gedanke wird mit dem Begriff der [[Zariski-Topologie]] formalisiert: Die Definitionslücke ist eine Zariski-abgeschlossene Menge, und die [[abgeschlossene Hülle]] des Definitionsbereiches ist die ganze Menge.

=== Rationale Funktionen auf einer algebraischen Varietät ===
{{Hauptartikel|Rationaler Funktionenkörper#Funktionenkörper in der algebraischen Geometrie}}
Sei <math>V</math> eine [[algebraische Varietät]] definiert durch Polynome <math>f_1, \dotsc, f_m\in k\left[x_1,\dotsc,x_n\right]</math>, also
:<math>V = \{x \in \mathbb A^n \mid f(x) = 0 \text{ für alle } f\in S\}.</math>
Sei
:<math>I(V) = \{f \in k[x_1,\dotsc,x_n] \mid f(x) = 0 \text{ für alle } x\in V\}.</math>
Der Ring der ''ganzen Funktionen'' ist <math>k[x_1,\dotsc,x_n]/I(V)</math>. Der Körper der ''rationalen Funktionen'' ist der [[Quotientenkörper]] des Ringes der [[Ganze Funktion|ganzen Funktionen]].

Allgemeiner gibt es den Begriff [[Rationale Abbildung|rationaler Abbildungen]] zwischen (quasi-projektiven) Varietäten. Rationale Funktionen sind der Spezialfall rationaler Abbildungen von einer Varietät nach <math>\mathbb A^1</math>.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Rational functions|Rationale Funktionen}}
* [http://www.netalive.org/rationale-funktionen/ Rationale Funktionen - Ein Digitales Lehrbuch] © 2000 - 2001 by Henning Koch

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]