Quelltext der Seite Rücktransport

In verschiedenen [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebieten der Mathematik]] bezeichnet man als '''Rücktransport'''<ref>[[Otto Forster]]: ''Riemannsche Flächen'' (= ''Heidelberger Taschenbücher'' 184). Springer, Berlin u. a. 1977, ISBN 3-540-08034-1. S. 62 (Englisch: ''Lectures on Riemann Surfaces'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 81). Corrected 2nd printing. ebenda 1991, ISBN 3-540-90617-7).</ref> oder '''Pullback''' (auch: ''Zurückziehung'', ''Rückzug'') Konstruktionen, die ausgehend von einer [[Abbildung (Mathematik)|Abbildung]] <math>f\colon X\to Y</math> und einem Objekt <math>E</math>, das in irgendeiner Weise zu <math>Y</math> gehört, ein entsprechendes, „entlang von <math>f</math> zurückgezogenes“ Objekt für <math>X</math> liefern; es wird häufig mit <math>f^*E</math> bezeichnet.

Das duale Konzept heißt meist [[Pushforward]].

In der Kategorientheorie ist Pullback eine andere Bezeichnung für das [[Faserprodukt]]. Das duale Konzept wird hier [[Pushout]], [[cokartesisches Quadrat]] oder [[Fasersumme]] genannt.

== Motivation: Der Rücktransport einer glatten Funktion ==
Sei <math>f \colon M \to N</math> ein [[Diffeomorphismus]] zwischen glatten Mannigfaltigkeiten und sei <math>\psi \colon N \to \R</math> eine glatte Funktion auf <math>N</math>. Dann ist der Rücktransport von <math>\psi</math> bezüglich <math>f</math> definiert durch
:<math>f^*\colon C^\infty(N) \to C^\infty(M)</math> mit <math>(f^*(\psi))(x) = \psi(f(x))\,.</math>

Der Rücktransport <math>f^*\psi</math> ist also eine glatte Funktion <math>M \to \R</math>.

Schränkt man die Funktion <math>\psi</math> auf eine offene Teilmenge <math>U \subset N</math> ein, so erhält man ebenso eine glatte Funktion auf <math>f^{-1}(U) \subset M</math>. Der Rücktransport ist also ein Morphismus zwischen den [[Garbe (Mathematik)|Garben]] der glatten Funktionen von <math>N</math> und <math>M</math>.

== Der Rücktransport eines Vektorbündels ==
Seien <math>M</math> und <math>N</math> [[Topologischer Raum|topologische Räume]], <math>\pi_E \colon E \to N</math> ein [[Vektorbündel]] über <math>N</math> und <math>f \colon M \to N</math> eine [[Stetige Funktion|stetige Abbildung]]. Dann ist das zurückgezogene Vektorbündel <math>\pi_{E'} \colon E' \to M</math> definiert durch
:<math>E' := \{(x,e) \in M \times E | f(x) = \pi(e)\}</math>

zusammen mit der [[Projektion (Mengenlehre)|Projektion]] <math>\pi_{E'}(x,e) := x</math>.<ref name=hatcher18>Allen Hatcher: ''Vector Bundles & K-Theory.'' Version 2.1, May 2009, S. 18 [https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VBdoublepage.pdf online (PDF; 1,11 MB)].</ref> <!-- und der [[Unterraumtopologie]]. -->

Es kann nun gezeigt werden, dass es einen [[Vektorbündelhomomorphismus]] <math>f_*</math> gibt, so dass das Diagramm
:<math>\begin{array}{rcl}
E' & \stackrel{f_*}{\longrightarrow} & E\\
\pi_{E'} \big\downarrow &  & \big\downarrow \pi_E\\
M & \stackrel{f}{\longrightarrow} & N
\end{array}</math>
[[Kommutatives Diagramm|kommutiert]].<ref name=hatcher18 /> Somit ist das zurückgezogene Vektorbündel ein Spezialfall eines [[Faserprodukt]]es. Für einen fixierten Punkt <math>p \in M</math> ist <math>f_*|_p</math> eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen, daher gibt es eine [[Dualer Operator|duale Abbildung]] <math>f^*|_p \colon E^*_{f(p)} N \to (E')^*_p</math>. In diesem Kontext wird das zurückgezogene Vektorbündel <math>E'</math> auch mittels <math>f^*E</math> notiert und man nennt es auch Pullbackbündel von <math>E</math> bezüglich <math>f</math>.

== Zurückgezogene Schnitte in Vektorbündeln ==
[[Datei:SmoothPullback-01.png|mini|Schema eines Pullbacks am Beispiel der Kotangentialbündel]]

Im Bereich der [[Differentialgeometrie]] werden meist [[glatte Mannigfaltigkeit]]en anstatt beliebiger topologischer Räume <math>M</math> und <math>N</math> betrachtet. Dann wird auch zusätzlich gefordert, dass die Abbildung <math>f \colon M \to N</math> und das Vektorbündel differenzierbar sind. Betrachtet man die entsprechenden [[Tangentialraum|Tangentialräume]] anstatt beliebiger Vektorbündel, so ist die Abbildung <math>f_*</math> der [[Pushforward]] von <math>f</math> und die zurückziehende Abbildung <math>f^* \colon T^*_{f(p)}N \to T^*_p M</math> ist die duale Abbildung.<ref name="Lee136">John M. Lee: ''Introduction to Smooth Manifolds'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 136.</ref>

Ist <math>\omega \in \Gamma(N,E)</math> ein [[Schnitt (Faserbündel)|Schnitt]] im Vektorbündel <math>E</math>, so ist <math>f^*\omega \in \Gamma(M,f^*E)</math> der zurückgezogene Schnitt, der durch
:<math>(f^*\omega)_p = \omega_{f(p)}</math>

für alle <math>p \in M</math> gegeben ist.

== Rücktransport bestimmter Schnitte in Vektorbündeln ==
Im vorigen Abschnitt wurde der Rücktransport eines Schnitts in einem Vektorbündel definiert. In diesem Abschnitte werden konkrete Instanzen solcher Rücktransporte von Schnitten aufgeführt. Dazu sind in diesem Abschnitt <math>M</math> und <math>N</math> glatte Mannigfaltigkeiten und <math>f \colon M \to N</math> eine [[glatte Abbildung]].

=== Glatte Funktionen ===
Die Menge <math>C^\infty(M)</math> der glatten Funktionen <math>\psi \colon N \to \R</math> kann auf natürliche Weise mit dem Vektorraum <math>\Gamma^\infty(N,N \times \R)</math> der glatten Schnitte im Vektorbündel <math>\textstyle \coprod_{p \in M} \R \cong N \times \R</math> identifiziert werden.<ref>John M. Lee: ''Introduction to Smooth Manifolds'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 111.</ref> Entsprechend kann der Rücktransport einer glatten Funktion <math>(f^*(\psi))(x) = \psi(f(x))</math> auch als Rücktransport eines glatten Schnittes des Vektorbündels <math>M \times \R</math> aufgefasst werden.

=== 1-Formen ===

Der Pushforward von <math>f</math> entspricht gerade der [[Äußere Ableitung|äußeren Ableitung]] von <math>f</math>, was ein Vektorbündelhomomorphismus vom Tangentialraum <math>TM</math> in den Tangentialraum <math>TN</math> ist. Der duale Operator <math>f^*</math> ist somit ein Bündelhomomorphismus vom [[Kotangentialbündel]] <math>T^*N</math> in das Kotangentialbündel <math>T^*M</math>.

Sei <math>\alpha</math> ein glatter Schnitt in <math>T^*N</math>, was per Definition eine [[1-Form]] ist. Dann gilt für den Rücktransport von <math>\alpha</math>
:<math> (f^*\alpha)_p(X) = \alpha_{f(p)}(df_p(X))</math>
für ein <math>p \in M</math>.<ref name=Lee136 />

=== Differentialformen ===

Da die Menge der [[Differentialform]]en ein Vektorbündel bildet, kann man den Rücktransport einer Differentialform untersuchen.

Ist <math>f\colon M\to N</math> eine differenzierbare Abbildung und <math>\omega \in \Gamma(N, \Lambda^k(T^*N))</math> eine [[Differentialform|''k''-Form]] auf <math>N</math>, so gilt für die auf <math>M</math> zurückgezogene Differentialform <math>f^*\omega</math> die Gleichung
: <math>(f^*\omega)_p(X_1, \ldots , X_k) = \omega_{f(p)}(f_{*p}X_1, \ldots ,f_{*p}X_k)</math>
für Tangentialvektoren <math>X\in T_pM</math> im Punkt <math>p\in M</math> gegeben.<ref>John M. Lee: ''Introduction to Smooth Manifolds'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 303.</ref>

== Literatur ==
* R. Abraham, [[Jerrold Marsden|Jerrold E. Marsden]], T. Ratiu: ''Manifolds, tensor analysis, and applications'' (= ''Applied mathematical sciences'' 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7.
== Weblinks ==
* [https://ncatlab.org/nlab/show/pullback+of+a+differential+form Pullback einer Differentialform, nLab]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{DEFAULTSORT:Rucktransport}}
[[Kategorie:Differentialtopologie]]