Quelltext der Seite Quotientenkörper

In der [[Algebra]] ist der '''Quotientenkörper''' eines [[Ring (Algebra)|Rings]] (mit bestimmten Eigenschaften) eine Obermenge dieses Rings, auf welche die [[Addition]] und die [[Multiplikation]] des Rings fortgesetzt werden und in der jedes Element außer <math>0</math> ein multiplikatives [[Inverses Element|Inverses]] besitzt. Das prominenteste Beispiel ist der Körper der [[Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]] als Quotientenkörper des Rings der [[Ganze Zahlen|ganzen Zahlen]]. Eine Verallgemeinerung des Konzepts für nicht notwendigerweise nullteilerfreie Ringe ist durch die [[Lokalisierung (Algebra)|Lokalisierung]] gegeben.

== Definition ==
Es sei <math>R</math> ein vom [[Nullring]] verschiedener, [[Nullteiler|nullteilerfreier]] [[kommutativer Ring]]. Der kleinste [[Körper (Algebra)|Körper]], in den <math>R</math> eingebettet werden kann, wird der '''Quotientenkörper''' oder '''Körper der Brüche''' des Rings genannt. Gebräuchlich ist die symbolische Abkürzung <math>\operatorname{Quot}(R)</math> oder auch <math>\operatorname{Q}(R)</math>.

=== Bemerkungen ===
Für den Nullring wäre die Menge <math>M</math> in der Definition unten leer. Der Ring muss frei von Nullteilern sein, da ansonsten für <math>b, d \in R \setminus \{0\}</math> mit <math>bd = 0</math> die Multiplikation nicht wohldefiniert wäre (siehe unten). Ist der Ring nicht kommutativ, so entsteht lediglich ein [[Schiefkörper]], der nicht zwangsläufig ein Körper ist.

Jeder Ring obiger Art kann in einen „kleinsten“ Körper eingebettet werden, d.&nbsp;h. alle Körper, in die der Ring eingebettet werden kann, enthalten einen zu diesem kleinsten Körper, dem Quotientenkörper des Rings, isomorphen Teilkörper; insbesondere kann er so auch zu einem Integritätsring erweitert werden, indem der Quotientenkörper gebildet und <math>1 \in \operatorname{Quot}(R)</math> zu <math>R \subset \operatorname{Quot}(R)</math> adjungiert wird. Das heißt, <math>R[1] \subset \operatorname{Quot}(R)</math> ist der kleinste Integritätsring, der <math>R</math> enthält.

Insbesondere erfüllt jeder [[Integritätsring]] die geforderten Eigenschaften; allerdings ist ein [[Einselement]], das der Integritätsring zusätzlich fordert, nicht notwendig, um den Quotientenkörper bilden zu können. Dennoch fordern viele Autoren wegen besserer Übersichtlichkeit einen Integritätsring.

Die Konstruktion des Quotientenkörpers ist ein Spezialfall der [[Lokalisierung (Algebra)|Lokalisierung]].

== Eigenschaften ==
[[Datei:Quotkörper.svg|right]]
* Der Quotientenkörper eines Körpers ist bis auf Isomorphie der Körper selbst.
* Abstrakt definiert man den Quotientenkörper eines Ringes <math>R</math> durch folgende [[universelle Eigenschaft]]: Ein Quotientenkörper ist ein Paar <math>(\operatorname{Quot}(R), i)</math>, wobei <math>\operatorname{Quot}(R)</math> ein Körper und <math>i\colon R\to\operatorname{Quot}(R)</math> ein [[Injektivität|injektiver]] [[Ringhomomorphismus]] ist, mit der Eigenschaft, dass es für jedes Paar <math>(K, f)</math>, wobei <math>K</math> ein Körper und <math>f\colon R\to K</math> ein injektiver Ringhomomorphismus ist, genau einen injektiven [[Körperhomomorphismus]] <math>g\colon\operatorname{Quot}(R)\to K</math> gibt mit <math>f=g\circ i</math>. Anschaulich bedeutet dies, dass man in jeden Körper, in den man <math>R</math> einbetten kann, ebenfalls den Quotientenkörper von <math>R</math> einbetten kann (wobei letztere Einbettung eine Fortsetzung der ersten ist).

Aus der letztgenannten Eigenschaft folgt, dass <math>\operatorname{Quot}(R)</math> der kleinste Körper ist, der <math>R</math> enthält, und dass dieser bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist, also ist es gerechtfertigt, von ''dem'' Quotientenkörper zu sprechen.

== Konstruktion ==
Man kann den Quotientenkörper <math>(\operatorname{Quot}(R), i)</math> eines Rings <math>R</math> wie folgt konstruieren:
* Erkläre auf <math>M := R \times \left(R\setminus\{0\}\right)</math> die [[Äquivalenzrelation]]
:<math>(a,b) \sim (c,d) \quad :\!\!\iff \quad ad=cb</math>.
* Üblicherweise schreibt man <math>\tfrac{a}{b}</math> für die Äquivalenzklasse von <math>(a,b)</math>.
* Man setzt nun <math>Q</math> gleich der Menge der Äquivalenzklassen: <math>Q:=M/{\sim}=\left\{\tfrac{a}{b} \mid (a,b)\in M\right\}</math>.
* Definiere auf <math>Q</math> die Addition und Multiplikation wie folgt vertreterweise:
:<math>\frac{a}{b}+\frac{c}{d} \ := \ \frac{ad+cb}{bd}, \qquad \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}  \ := \  \frac{ac}{bd}</math>
:Insbesondere sind die so definierten Operationen [[Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], also die beiden Seiten von der Wahl der Vertreter unabhängig.
* Der Ring ist nicht der Nullring, enthält also ein Element <math>a \neq 0</math>. Das neutrale Element bezüglich der Addition (das Nullelement) ist <math display="inline">\frac{0}{a}</math>, das neutrale Element bezüglich der Multiplikation (das Einselement) ist <math display="inline">\frac{a}{a}</math>. Diese Äquivalenzklassen sind für alle <math>a \in R \setminus \{0\}</math> gleich. Im Falle des Integritätsrings wird meist <math>a = 1</math> gewählt.
* Für <math>\tfrac{a}{b}</math> ist das Inverse bezüglich der Addition durch <math>\tfrac{-a}{b}</math> gegeben, und falls <math>a\neq 0</math> ist, ist <math>\tfrac{a}{b}</math> invertierbar bezüglich der Multiplikation, wobei das Inverse durch <math>\tfrac{b}{a}</math> gegeben ist.
* Damit ist <math>(Q, +, \cdot)</math> ein Körper, insbesondere ist für einen Integritätsring <math>i\colon R\to Q</math>, <math>a\mapsto \tfrac{a}{1}</math> ein injektiver Ringhomomorphismus, welcher die gewünschte Einbettung vermittelt. Es gilt <math>\operatorname{Quot}(R) = (Q, +, \cdot)</math>.

Für die Wohldefiniertheit der Struktur von <math>\operatorname{Quot}(R)</math> ist die Kürzungsregel in nullteilerfreien Ringen entscheidend, d.&nbsp;h., dass für <math>a\neq 0</math> aus <math>ax=ay</math> stets <math>x=y</math> folgt.

== Beispiele ==
* Der Quotientenkörper <math>\operatorname{Quot}(\mathbb{Z})</math> des Integritätsrings <math>\mathbb{Z}</math> der [[Ganze Zahlen|ganzen Zahlen]] ist der Körper <math>\mathbb{Q}</math> der [[Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]].
* Der Quotientenkörper <math>\operatorname{Quot}(2\mathbb{Z})</math> des Rings der geraden ganzen Zahlen (ein Ring ohne Eins) ist ebenfalls der Körper <math>\mathbb{Q}</math>.
* Der Quotientenkörper <math>\operatorname{Quot}\big(K[X]\big)</math> des Polynomrings wird häufig als der [[rationaler Funktionenkörper|rationale Funktionenkörper]] <math>\displaystyle K(X)</math> definiert.
* Der [[Quadratischer Zahlkörper|quadratische Zahlkörper]] <math>\mathbb{Q}(\mathrm{i})</math> ist der Quotientenkörper der [[Gaußsche Zahl|Gaußschen Zahlen]] <math>\mathbb{Z}[\mathrm{i}]</math>.
* Es seien <math>\mathcal{O}(\mathbb{C})</math> der Integritätsring der [[Ganze Funktion|ganzen Funktionen]] und <math>\mathcal{M}(\mathbb{C})</math> der Körper der auf <math>\mathbb{C}</math> [[meromorph]]en Funktionen. Mit dem [[Weierstraßscher Produktsatz|Weierstraßschen Produktsatz]] sieht man, dass man jede auf <math>\mathbb{C}</math> meromorphe Funktion als [[Quotient]] zweier ganzer Funktionen schreiben kann, folglich ist <math>\mathcal{M}(\mathbb{C}) = \operatorname{Quot}(\mathcal{O}(\mathbb{C}))</math>.

== Literatur ==
* {{Literatur 
| Autor= Thomas W. Hungerford
| Titel= Algebra 
| Auflage=5.
| Verlag= Springer 
| Jahr= 1989
| ISBN=0-387-90518-9}}

Zu Anwendungen in der [[Funktionentheorie]]:
* {{Literatur 
| Autor= Eberhard Freitag, Rolf Busam 
| Titel= Funktionentheorie 1 
| Auflage=3.
| Verlag= Springer 
| Jahr= 2000
| ISBN=3-540-67641-4 }}

{{DEFAULTSORT:Quotientenkorper}}
[[Kategorie:Körper (Algebra)]]
[[Kategorie:Körpertheorie]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]