Quelltext der Seite Quasikonvexe Funktion

[[Datei:Quasiconvex function.png|mini|Eine quasikonvexe Funktion, die nicht konvex ist.]]
[[Datei:Nonquasiconvex function.png|mini|Eine Funktion, die nicht quasikonvex ist: Die Menge der Punkte, für die die Funktionswerte unterhalb der gestrichelten roten Linie liegen, ist die Vereinigung von zwei getrennten Intervallen und daher nicht konvex.]]
Eine '''quasikonvexe Funktion''' ist eine [[reellwertige Funktion]], die auf einer [[Konvexe Menge|konvexen Teilmenge]] eines reellen [[Vektorraum]]s definiert ist und die Eigenschaft [[Konvexe Funktion|konvexer Funktionen]] verallgemeinert, dass alle ihre [[Subniveaumenge]]n konvex sind. Ähnlich wie bei den konvexen Funktionen definiert man als Gegenstück die '''quasikonkave Funktion'''. Ist eine Funktion quasikonvex und quasikonkav, so heißt sie eine '''quasilineare Funktion'''.
Quasikonvexe Funktionen sind von Bedeutung bei verschiedenen Anwendungen in der Wirtschaftstheorie. Optimierungsmethoden, die auf die Klasse der quasikonvexen Funktionen zugeschnitten sind, gehören zur quasikonvexen [[Mathematische Optimierung|Optimierung]] und sind Verallgemeinerungen der [[Konvexe Optimierung|konvexen Optimierung]].

== Definition ==
Quasikonvexe Funktionen können auf zwei Arten definiert werden. Je nach Wahl der Definition wird die andere Definition dann als Eigenschaft aufgeführt.
=== Über Niveaumengen ===
[[Datei:Quasi-concave-function-graph.png|mini|Der Graph einer quasikonkaven Funktion.]]
Eine Funktion <math>f \colon S \to \mathbb{R}</math>, die auf einer konvexen Teilmenge ''S'' eines reellen Vektorraums definiert ist, heißt
* ''quasikonvex'', wenn jede [[Subniveaumenge]]
:<math>\mathcal L^\leq_f(c) := \{x \in S \mid f(x) \leq c\}</math>

: für beliebiges <math> c \in \R </math> [[Konvexe Menge|konvex]] ist.
* ''quasikonkav'', wenn jede [[Superniveaumenge]]
:<math>\mathcal L^\geq_f(c) := \{x \in S \mid f(x) \geq c\}</math>

: für beliebiges <math> c \in \R </math> konvex ist. Äquivalent dazu ist, dass <math> - f </math> quasikonvex ist.
* ''quasilinear'', wenn sie sowohl quasikonvex als auch quasikonkav ist.

=== Über Ungleichungen ===
Eine Funktion <math>f \colon S \to \mathbb{R}</math>, die auf einer konvexen Teilmenge ''S'' eines reellen Vektorraums definiert ist, heißt
* ''quasikonvex'', wenn aus <math>x,y \in S</math> und <math>\lambda \in [0,1]</math> folgt, dass

: <math>f(\lambda x + (1 - \lambda)y)\leq\max\{f(x),f(y)\}.</math>
* ''strikt quasikonvex'', wenn

: <math>f(\lambda x + (1 - \lambda)y)<\max\{f(x),f(y)\}</math>

: für alle <math>x \neq y</math> und <math>\lambda \in (0,1)</math> gilt.
* ''quasikonkav'', wenn aus <math>x,y \in S</math> und <math>\lambda \in [0,1]</math> folgt, dass

: <math>f(\lambda x + (1 - \lambda)y)\geq\min\{f(x),f(y)\}.</math>
* ''strikt quasikonkav'', wenn

: <math>f(\lambda x + (1 - \lambda)y)>\min\{f(x),f(y)\}</math>

: für alle <math>x \neq y</math> und <math>\lambda \in (0,1)</math> gilt.

Äquivalent zur (strikten) Quasikonkavität von <math> f </math> ist, dass <math> -f </math> (strikt) quasikonvex ist. Die Quasilinearität wird wie oben definiert: Eine Funktion heißt ''quasilinear'', wenn sie quasikonvex und quasikonkav ist.

== Beispiele ==
[[Datei:Floor function.svg|mini|Abrundungsfunktion oder Gaußklammerfunktion]]
* Jede konvexe Funktion ist quasikonvex, da die Subniveaumengen von konvexen Funktionen konvex sind.
* Analog sind alle konkaven Funktionen quasikonkav.
* Jede [[monotone Funktion]] ist sowohl quasikonvex als auch quasikonkav, also quasilinear.
* Die [[Abrundungsfunktion]] <math>x\mapsto \lfloor x\rfloor</math> ist das Beispiel einer quasikonvexen Funktion, die weder konvex noch stetig ist.
* [[Lineare Funktion]]en sind quasilinear.
* <math>\R\rightarrow \R,\,x\mapsto x^+:=\mathrm{max}(x,0)</math> ist nicht linear, aber quasilinear.

== Eigenschaften ==
* Stetige quasikonvexe Funktionen auf einem normierten Vektorraum sind immer [[schwach unterhalbstetige Funktion]]en.
* Daher nehmen stetige quasikonvexe Funktionen auf [[Schwach folgenkompakte Menge|schwach folgenkompakten Mengen]] ein Minimum an.
* Speziell nehmen demnach stetige quasikonvexe Funktionen auf einer konvexen, abgeschlossenen, beschränkten und nichtleeren Teilmenge eines reflexiven Banachraumes ein Minimum an.
* Eine stetige Funktion <math> f:D \mapsto \mathbb{R} </math> mit <math> D \subset \mathbb{R} </math> konvex ist genau dann quasikonvex, wenn mindestens eine der drei folgenden Bedingungen gilt:
# <math> f </math> ist [[Monoton wachsende Funktion|monoton wachsend]] auf <math> D </math>.
# <math> f </math> ist [[Monoton fallende Funktion|monoton fallend]] auf <math> D </math>.
# Es gibt ein <math> t \in D </math>, so dass für <math> f </math> für alle <math> x \leq t </math> monoton fallend ist und für alle <math> x \geq t </math> monoton wachsend ist.
* Der Definitionsbereich und jede [[Niveaumenge]] einer quasilinearen Funktion sind konvex.
* Wie bei konvexen Funktionen gilt, dass eine Funktion <math> f \colon V \supset D \to \R </math>, wobei <math> D </math> eine konvexe Menge ist, genau dann quasikonvex ist, wenn die Funktion <math> g \colon \R \to \R </math> definiert durch <math> g(t)=f(x+tv) </math> quasikonvex ist für alle <math> x \in D </math> und alle Richtungen <math> v </math>.

== Rechenregeln ==
=== Punktweise positiv gewichtete Maxima ===
Sind <math> f_i </math> quasikonvexe Funktionen und <math> w_i \geq 0 </math> positive reelle Zahlen für <math> i=1, \dots, n </math>, dann ist auch
:<math> g(x)= \max \{w_1 f_1(x), \dots, w_n f_n (x)\} </math>

eine quasikonvexe Funktion. Dies folgt aus der Tatsache, dass die Subniveaumenge der Funktion <math> g </math> genau der Schnitt aller Subniveaumengen der Funktionen <math> f_i </math> ist. Diese sind aber per Definition konvex und damit ist die Niveaumenge von <math> g </math> als Schnitt konvexer Mengen auch konvex.

=== Punktweises Supremum ===
Ist <math> f(x,y) </math> eine quasikonvexe Funktion in <math> x </math> für alle <math> y \in D </math> und ist <math> w(y) \geq 0 </math> für alle <math> y \in D </math>, so ist auch
:<math> g(x)=\sup_{y \in D}(w(y)f(x,y)) </math>

eine quasikonvexe Funktion. Dies lässt sich analog zeigen wie der Fall mit Maxima.
=== Punktweises Infimum ===
Ist <math> f(x,y) </math> quasikonvex sowohl in <math> x </math> als auch in <math> y </math> und ist <math> y \in C </math> wobei <math> C </math> eine [[konvexe Menge]] ist, so ist die Funktion
:<math> g(x)=\inf_{y \in C} f(x,y) </math>

quasikonvex.

=== Komposition ===
Ist <math> f \colon \R^n \to \R </math> quasikonvex und ist <math> g \colon \R \to \R </math> eine [[monoton fallende Funktion]], so ist <math> h(x)=g(f(x)) </math> eine quasikonvexe Funktion.

== Quasikonvexität und Differenzierbarkeit ==
=== Unter Verwendung der ersten Ableitung ===
Gegeben sei die differenzierbare Funktion <math> f: D \rightarrow \mathbb{R} </math> mit <math> D \subset \mathbb{R}^n </math> konvex. Dann ist die <math> f </math> genau dann quasikonvex, wenn für alle <math> x,y \in D </math> gilt, dass
:<math> f(y)\leq f(x) \implies \nabla f(x)^T(y-x)\leq 0 </math>.

Im Falle einer Funktion auf den reellen Zahlen vereinfacht sich dies zu
:<math> f(y)\leq f(x) \implies f'(x)y\leq f'(x)x </math>.

Aufgrund der Äquivalenz wird dieses auch gelegentlich zur Charakterisierung von Quasikonvexität genutzt.

Im Gegensatz zu konvexen Funktionen folgt bei quasikonvexen Funktionen aus <math> \nabla f(\tilde x)=0 </math> bzw. <math> f'(\tilde x)=0 </math> im Allgemeinen ''nicht'', dass <math> \tilde x </math> ein [[Extremwert|Minimum]] ist. Beispiel dafür ist die Funktion
:<math> f(x)= \sin (\pi x)+\pi x </math>.

Sie ist quasikonvex, da monoton wachsend. Ihre Ableitung verschwindet unendlich oft, aber sie besitzt kein Minimum.

=== Unter Verwendung der zweiten Ableitung ===
Ist die Funktion <math> f </math> zweimal differenzierbar und quasikonvex, so gilt für alle <math> x \in D </math> und <math> y \in \mathbb{R}^n </math>, dass aus <math> y^T \nabla f(x)=0 </math> folgt, dass <math> y^T \nabla^2 f(x) y \geq 0 </math>. Im Falle einer Funktion auf <math> \mathbb{R} </math> vereinfacht sich dies zu <math> f'(x)=0 \implies f''(x) \geq 0 </math>

== Darstellung durch Familien von konvexen Funktionen ==
In der Anwendung ist man oftmals interessiert, Niveaumengen von quasikonvexen Funktionen durch eine Familie von konvexen Funktionen zu modellieren. Dieser Fall taucht beispielsweise bei Optimierungsproblemen mit quasikonvexen Restriktionsfunktionen auf. Die Niveaumengen sind zwar konvex, aber konvexe Funktionen sind einfacher zu Handhaben als quasikonvexe. Gesucht wird also eine Familie von konvexen Funktionen <math> \psi_t </math> für <math> t \in \R </math>, so dass
:<math> f(x) \leq t \iff \psi_t(x)\leq 0 </math>

für eine quasikonvexe Funktion <math> f </math> gilt. Die quasikonvexe Restriktion
:<math> f(x)-t \leq 0 </math>

lässt sich dann durch die konvexe Restriktion
:<math> \psi_t(x) \leq 0 </math>

ersetzen. Das quasikonvexe Optimierungsproblem ist dann ein konvexes Optimierungsproblem.
<math> \psi_t(x) </math> ist immer eine [[monoton wachsende Funktion]] in <math> t </math>, es gilt also <math> t_1 \leq t_2 \implies \psi_{t_1}(x) \leq \psi_{t_2}(x) </math>.

Eine Darstellung der Niveaumengen existiert immer, zum Beispiel durch die [[erweiterte Funktion]]
:<math> \psi_t (x)= \begin{cases}0 & \text{ falls } f(x) \leq t \\ + \infty & \text{ sonst } \end{cases} </math>.

Sie ist aber nicht eindeutig. Meist ist man an differenzierbaren Funktionen, die die Niveaumengen beschreiben interessiert.

== Anwendungen in der Wirtschaftstheorie ==
# In der Theorie des [[Haushaltsoptimum]]s treten quasikonkave [[Nutzenfunktion (Mikroökonomie)|Nutzenfunktionen]] auf.
# In der Theorie des [[Nash-Gleichgewicht#Existenz|Nash-Gleichgewichtes]] betrachtet man quasikonkave Auszahlungsfunktionen.

== Quellen ==
* M. Avriel, W. E. Diewert, S. Schaible, I. Zang: ''Generalized Concavity.'' Plenum Press, 1988, ISBN 0-306-42656-0.

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Johannes Jahn |Titel=Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization |Auflage=3. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-49378-5}}
* {{Literatur |Autor=Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe |Titel=Convex Optimization |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge / New York / Melbourne |Datum=2004 |ISBN=0-521-83378-7 |Online=[http://www.stanford.edu/~boyd/cvxbook/ online]}}

== Weblinks ==
* [http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103040253 SION, M., "On general minimax theorems", Pacific J. Math. 8 (1958), 171-176.]
* [http://glossary.computing.society.informs.org/second.php Mathematical programming glossary]
* [https://files.nyu.edu/caw1/public/UMath/Handouts/ums11h22convexsetsandfunctions.pdf Concave and Quasi-Concave Functions] - by Charles Wilson, [[NYU]] Department of Economics
* [http://economics.about.com/od/economicsglossary/g/quasiconc.htm Quasiconcave] - From Econterms, for [[About.com]]
* [http://www.economics.utoronto.ca/osborne/MathTutorial/QCC.HTM Quasiconcavity and quasiconvexity] - by Martin J. Osborne, [[University of Toronto]] Department of Economics
* [http://www2.hawaii.edu/~fuleky/anatomy/anatomy.html Anatomy of Cobb-Douglas Type Utility Functions in 3D] - several examples of quasiconcave utility functions

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
[[Kategorie:Konvexe Optimierung]]