Quelltext der Seite Quartische Gleichung

Eine '''quartische Gleichung''', traditionell auch '''biquadratische Gleichung'''<ref> im weiteren Sinn</ref> genannt, ist eine [[Gleichung#Bestimmungsgleichungen|Bestimmungsgleichung]], die sich in die Form
:<math>A x^4 + B x^3 + C x^2 + D x + E = 0</math>
mit [[Koeffizient]]en <math>A, B, C, D, E</math> und <math>A \ne 0</math> bringen lässt. Üblich sind auch die Bezeichnungen '''algebraische Gleichung 4. Grades''', '''polynomiale Gleichung (Polynomgleichung) 4. Grades''' oder schlicht '''Gleichung 4. Grades'''. Da die [[Nullstelle]]n (Wurzeln) eines [[Polynom]]s gesucht sind, ist die quartische Gleichung ein Spezialfall einer [[Algebraische Gleichung|algebraischen Gleichung]]. Bei vielen Anwendungen sind die Koeffizienten  [[Reelle Zahl|reelle]]  oder [[Komplexe Zahl|komplexe]] Zahlen, jedoch sind Koeffizienten aus einem anderen [[Körper (Algebra)|Körper]] ebenso möglich.

Im Fall komplexer Koeffizienten lässt sich die Gleichung nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] bis auf die Reihenfolge eindeutig in vier [[Linearfaktor]]en
:<math>A (x - x_1) (x - x_2) (x - x_3) (x - x_4) = 0</math>
zerlegen, wobei <math>x_1, x_2, x_3</math> und <math>x_4</math> die vier, nicht notwendigerweise verschiedenen komplexen Lösungen der Gleichung sind. Im Unterfall reeller Koeffizienten können nicht reelle Lösungen nur paarweise [[Komplexe Konjugation|komplex konjugiert]] auftreten, so dass es dann nur die drei Möglichkeiten mit 0, 2 oder 4 reellen Lösungen gibt.

Die vier Lösungen einer quartischen Gleichung können mit einer allgemeinen Formel, die nur die vier arithmetischen Grundoperationen und Wurzeln verwendet, aus den Koeffizienten berechnet werden. Die historisch besondere Bedeutung von Gleichungen 4. Grades beruht darauf, dass entsprechende Lösungsformeln für Gleichungen höherer Grade nicht existieren ([[Satz von Abel-Ruffini]]).

Ist <math>B = 0</math> und <math>D = 0</math>, dann lässt sich die Gleichung durch [[Substitution (Mathematik)|Substitution]] auf eine [[quadratische Gleichung]] zurückführen. Heutzutage, insbesondere in der [[Schulmathematik]], ist es üblich, nur diese Spezialform '''biquadratische Gleichung''' zu nennen.<ref name="Bronstein_Semendjajew">Bronstein, Semendjajev: ''Taschenbuch der Mathematik.'' 22. Auflage, Verlag Harri Deutsch, Thun 1985, ISBN 3-87144-492-8.</ref>

== Geschichte ==
Das erste Lösungsverfahren für Gleichungen 4. Grades fand der italienische Mathematiker [[Lodovico Ferrari]] (1522–1565). Veröffentlicht wurde das Verfahren, das die Lösungen mittels der vier arithmetischen Grundoperationen und Wurzeln aus den Gleichungskoeffizienten berechnet, durch Ferraris Lehrer [[Gerolamo Cardano]] 1545 in dem Werk [[Ars Magna (Cardano)|''Ars magna de Regulis Algebraicis'']], in dem auch die sogenannte [[Cardanische Formel]] zur Lösung für [[kubische Gleichung|kubischer Gleichungen]] erstmals publiziert wurde.

Es gibt zahlreiche Varianten von Lösungsmethoden für Gleichungen 4. Grades.<ref>Ludwig Matthiessen: ''Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen.'' Leipzig 1896, [[doi:10.3931/e-rara-78944]] (frei zugänglich)</ref> Eine davon geht auf [[Leonhard Euler]] zurück,<ref>Ludwig Matthiessen: ''Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen.'' Leipzig 1896, [[doi:10.3931/e-rara-78944]] (frei zugänglich), S. 552 ff.</ref> der sie 1738 in [[Sankt Petersburg]] publizierte, in dem Bestreben, eine allgemeine Lösungsformel auch für Gleichungen höherer Grade zu finden. Dass dies unmöglich ist, wurde von [[Niels Henrik Abel]] 1824 bewiesen ([[Satz von Abel-Ruffini]]).

Die Lösungsformeln für Gleichungen 4. Grades besitzen keinerlei Bedeutung mehr für Anwendungen, bei denen numerische Werte gesucht sind. Für solche numerischen Zwecke gibt es universelle und schneller zum Ergebnis führende Verfahren wie das [[Newtonverfahren]]. Die Bedeutung der Lösungsformeln ist beschränkt auf prinzipielle Aussagen innerhalb der algebraischen [[Körpertheorie]].

== Spezialfälle ==

=== ''B'' = 0 und ''D'' = 0 ===

Diese in der Schulmathematik häufigste Art von Gleichungen 4.&nbsp;Grades ('''biquadratische Gleichung im engeren Sinn''') lässt sich relativ einfach auf eine quadratische Gleichung zurückführen. Die gegebene Gleichung
:<math>A x^4 + C x^2 + E = 0 \quad</math> (zunächst mit reellen Koeffizienten <math>A</math>, <math>C</math> und <math>E</math>)
wird durch die Substitution <math>z = x^2</math> zu
:<math>A z^2 + C z + E = 0</math>.
Aus der [[Quadratische Gleichung#Allgemeine Lösungsformeln|Lösungsformel]] für quadratische Gleichungen erhält man zunächst
:<math>z_{1,2} = \frac{-C \pm \sqrt{C^2 - 4 A E}}{2 A}</math>.

Ist die Diskriminante <math>C^2 - 4 A E</math> positiv, so sind <math>z_1</math> und <math>z_2</math> zwei verschiedene reelle Zahlen. Ist die Diskriminante gleich null, so fallen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> zusammen. Bei negativer Diskriminante gibt es keine reelle Lösung für <math>z</math> und folglich auch keine reelle Lösung der Ausgangsgleichung.

Die reellen Lösungen der gegebenen Gleichung (maximal vier) ergeben sich aus
:<math>x_{1,2} = \pm \sqrt{z_1}, \quad x_{3,4} = \pm \sqrt{z_2}</math>,
soweit die Wurzeln definiert, also die Radikanden <math>z_1</math> bzw. <math>z_2</math> nicht negativ sind.

Bei einer Gleichung mit komplexen Koeffizienten gelten die angegebenen Formeln nach wie vor. Allerdings sind dann <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Allgemeinen keine reellen Zahlen. Die Quadratwurzel ist in <math>\C</math> nicht eindeutig, es sind jeweils beide mögliche Werte zu berücksichtigen. Eine Fallunterscheidung wie im Reellen ist dann unnötig. Insgesamt hat die Gleichung <math>A x^4 + C x^2 + E = 0</math> in <math>\C</math> vier Lösungen, die auch zusammenfallen können.

;Beispiel (reelle Gleichung)
:<math>2 x^4 + 6 x^2 - 20 = 0</math>
:<math>2 z^2 + 6 z - 20 = 0</math>
:<math>z_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-20)}}{2 \cdot 2} = \frac{-6 \pm 14}{4}</math>
:<math>z_1 = 2, \quad z_2 = -5</math>
Aus <math>z_1 = 2</math> ergeben sich die reellen Lösungen <math>x_{1,2} = \pm \sqrt{2}</math>. Weil <math>x^2 = -5</math> keine reelle Lösung hat, kommen in <math>\R</math> keine weiteren Lösungen dazu. Die [[Lösungsmenge]] ist
<math>L = \{ +\sqrt{2}, -\sqrt{2} \}</math>.

=== ''E'' = 0 ===
In diesem Fall ist <math>x_1 = 0</math> eine Lösung der Gleichung. Dann kann man den Faktor <math>x - x_1</math>, also <math>x - 0 = x</math> ausklammern und erhält die Gleichung
:<math>x \, \left(A x^3 + B x^2 + C x + D\right) = 0</math>.
Die Lösungen der quartischen Gleichung sind dann <math>0</math> und die drei Lösungen der [[Kubische Gleichung|kubischen Gleichung]]
:<math>A x^3 + B x^2 + C x + D = 0</math>.

== Allgemeine Lösungsmethoden ==

=== Normalisieren und Reduzieren ===
Zunächst wird die Gleichung mit der Substitution
:<math>x = u - \frac{B}{4 A}</math>
dahingehend vereinfacht, dass der kubische Koeffizient <math>B</math> verschwindet ([[Tschirnhaus-Transformation]]) und gleichzeitig der führende Koeffizient durch Division der gesamten Gleichung durch <math>A</math> zu <math>1</math> gesetzt wird.

Mit den Festlegungen
:<math>\begin{array}{rl}
\alpha &= -\dfrac{3 B^2}{8 A^2} + \dfrac{C}{A}\\[1em]
\beta  &=  \dfrac{B^3}{8 A^3} - \dfrac{B \, C}{2 A^2} + \dfrac{D}{A}\\[1em]
\gamma &= -\dfrac{3 B^4}{256 A^4} + \dfrac{B^2 \, C}{16 A^3} - \dfrac{B \, D}{4 A^2} + \dfrac{E}{A}
\end{array}</math>
reduziert sich die Gleichung zu
:<math>u^4 + \alpha u^2 + \beta u + \gamma = 0</math>.

Am Ende der Rechnung werden die Nullstellen des Ausgangspolynoms als <math>x_{1, 2, 3, 4} = u_{1, 2, 3, 4} - \tfrac{B}{4 A}</math> zurückgewonnen. Im Folgenden kann also angenommen werden, dass der Koeffizient dritten Grades Null ist.

=== Methode von Ferrari ===

Gegeben sei die reduzierte Gleichung
:<math>u^4 + \alpha u^2 + \beta u + \gamma = 0</math>
mit reellen Koeffizienten <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math>. Beidseitige Addition von <math>\alpha u^2 + \alpha^2 - \beta u - \gamma</math> ergibt:

:<math>u^4 + 2 \alpha u^2 + \alpha^2 = \alpha u^2 + \alpha^2 - \beta u - \gamma</math>
:<math>(u^2 + \alpha)^2 = \alpha u^2 - \beta u + \alpha^2 - \gamma</math>

Durch Hinzufügung einer neuen Unbekannten <math>y</math> soll erreicht werden, dass auf der rechten Seite das Quadrat eines Binoms steht.

:<math>(u^2 + \alpha + y)^2 = \alpha u^2 - \beta u + \alpha^2 - \gamma + 2 u^2 y + 2 \alpha y + y^2</math>
:<math>(u^2 + \alpha + y)^2 = (\alpha + 2 y) u^2 - \beta u + (\alpha^2 - \gamma + 2 \alpha y + y^2)</math>

Die letzte Gleichung lässt sich durch die Substitution <math>z = y + \alpha</math> vereinfachen.

:<math>(u^2 + z)^2 = (2 z - \alpha) u^2 - \beta u + (z^2 - \gamma)</math>

Damit aus der rechten Seite ein vollständiges Quadrat wird, muss die Diskriminante gleich 0 sein.

:<math>\beta^2 - 4 (2 z - \alpha) (z^2 - \gamma) = 0</math>

Aus dieser Hilfsgleichung 3. Grades (''kubische Resolventengleichung'') soll ein Wert <math>z</math> bestimmt werden, für den in der Gleichung zuvor die rechte Seite ein Quadrat wird. Die Hilfsgleichung hat mindestens eine reelle Lösung, die z.&nbsp;B. mit der Formel von Cardano berechnet werden kann. Es sei nun <math>z</math> eine reelle Lösung der Hilfsgleichung. Dann lässt sich die obige Gleichung folgendermaßen umformulieren:

:<math>(u^2 + z)^2 = \left( \sqrt{2 z - \alpha} \, u - \sqrt{z^2 - \gamma} \right)^2</math>
:<math>u^2 + z = \pm \left( \sqrt{2 z - \alpha} \, u - \sqrt{z^2 - \gamma} \right)</math>

Unter der Voraussetzung <math>2 z - \alpha \ne 0</math> folgt aus der Hilfsgleichung <math>z^2 - \gamma = \frac{\beta^2}{4 (2 z - \alpha)}</math>. In diesem Fall kann man die letzte Gleichung auch so schreiben:

:<math>u^2 + z = \pm \left( u \sqrt{2 z - \alpha} - \frac{\beta}{2 \sqrt{2 z - \alpha}} \right)</math>

Die ursprüngliche Gleichung 4. Grades wurde damit auf eine kubische Resolventengleichung für <math>z</math> und zwei quadratische Gleichungen für <math>u</math> zurückgeführt.<ref>{{Literatur |Autor=Ludwig Matthiessen |Titel=Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen |Datum=1878 |Ort=Leipzig |Seiten=540-541}}</ref><ref>[https://members.tripod.com/l_ferrari/quartic_equation.htm Frei nach Ferrari.]</ref>

=== Umformung in eine Differenz zweier Quadrate ===
Ist <math>\beta \neq 0</math>, so versucht man, die Gleichung als Differenz zweier vollständiger Quadrate zu schreiben. Dabei werden komplexe Parameter <math>w, y, z</math> eingeführt. Die Darstellung als Differenz führt dann direkt zu einer Faktorisierung in quadratische Faktoren mit komplexen Koeffizienten:
:<math>\begin{array}{rl}
u^4 + \alpha u^2 + \beta u + \gamma
&= (u^2 + \alpha + y)^2 - (w \, u - z)^2\\
&= (u^2 + w \, u - z + \alpha + y) \, (u^2 - w \, u + z + \alpha + y)
\end{array}</math>
Durch Vergleich mit
:<math>u^4 + \alpha \, u^2 + \beta \, u + \gamma = (u^2 + \alpha + y)^2 - [(\alpha + 2 y) \, u^2 - \beta \, u + ((\alpha + y)^2 - \gamma)]</math>
ergeben sich <math>w^2 = \alpha + 2 y</math> und <math>z^2 = (\alpha + y)^2 - \gamma</math> sowie <math>\beta = 2 w z</math>.

Damit der zweite Teil der Differenz ein vollständiges Quadrat in <math>u</math> ist, muss die [[Diskriminante]] dieses quadratischen Terms verschwinden:
:<math>0 = 4 w^2 z^2 - \beta^2 = 4 \, (\alpha + 2 y) \, ((\alpha + y)^2 - \gamma) - \beta^2</math>
:<math>0 = y^3 + \tfrac{5}{2} \alpha \, y^2 + (2 \alpha^2 - \gamma) \, y + \tfrac{1}{2} \alpha(\alpha^2 - \gamma) - \tfrac{1}{8} \beta^2</math>
Dies ist eine [[kubische Gleichung]] in <math>y</math>.

Aus einer der Lösungen für <math>y</math> ergeben sich zwei [[quadratische Gleichung]]en in <math>u</math>, die zu insgesamt vier Lösungen für <math>u</math> bzw. dann <math>x</math> führen.

=== Zusammenfassung ===
Insgesamt werden folgende Rechenschritte durchgeführt:
:<math>P = -\frac{\alpha^2}{12} - \gamma</math>,
:<math>Q = -\frac{\alpha^3}{108} + \frac{\alpha \gamma}{3} - \frac{\beta^2}{8}</math>,
:<math>y = -\frac{5}{6} \alpha +
 \begin{cases} - \sqrt[3]{Q} & \text{ falls } P = 0\\
U - \frac{P}{3 U} & \text{ falls } P \ne 0 \end{cases}</math> mit <math>U = \sqrt[3]{-\frac{Q}{2} + \sqrt{\frac{Q^2}{4} + \frac{P^3}{27}}}</math>
:<math>w = \sqrt{\alpha + 2 y}</math>
:<math>z = \frac{\beta}{2 w}</math>.
Nun können die Nullstellen wie folgt berechnet werden:
:<math>u_{1, 2, 3, 4} = \frac{1}{2} \left[s \cdot w + r \sqrt{w^2 - 4 \left(\alpha + y + s \, z\right)}\right]</math>
und in der Variablen der ursprünglichen Gleichung
:<math>x_{1, 2, 3, 4} = -\frac{B}{4 A} + \frac{1}{2} \left[s \cdot w + r \sqrt{-(\alpha + 2 y) - 2 \left(\alpha + s \, \tfrac{\beta}{w}\right)}\right]</math>.
Die Parameter <math>r, s \in \{-1, 1\}</math> geben das in den zwei Quadratwurzeln zu wählende [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] an, alle vier Kombinationen von <math>r</math> und <math>s</math> sind nötig, um die vier Lösungen zu erhalten.

=== Zerlegung in quadratische Faktoren ===
Hier wird die Zerlegung in ein Produkt mit zwei quadratischen Faktoren
:<math>x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d = \left(x^2 + p x + q\right) \cdot \left(x^2 + s x + t\right)</math>
zurückgeführt auf die Lösung <math>u</math> der kubischen Gleichung
:<math>u^3 - 2 b u^2 + \left(a c + b^2 - 4 d\right) u + c^2 - a b c + a^2 d = 0</math>.<ref>Quelle: [https://kilchb.de/gleichung4.php Lösungsformel von Joachim Mohr.]</ref>

(Bei reellen Koeffizienten <math>a, b, c</math> und <math>d</math> gibt es ein reelles <math>u</math> mit <math>4 u \le a^2</math>.)

Mit einer Lösung <math>u</math> dieser Gleichung errechnet sich direkt:
:<math>p = \frac{a + \sqrt{a^2 - 4 u}}{2}</math> (Sonderfall <math>p = \tfrac{a}{2}</math> siehe unten)
:<math>q = \frac{(b - u) \left(\sqrt{a^2 - 4 u} + a\right) - 2 c}{2 \sqrt{a^2 - 4 u}}</math>
:<math>s = \frac{a - \sqrt{a^2 - 4 u}}{2}</math>
:<math>t = \frac{(b - u) \left(\sqrt{a^2 - 4 u} - a\right) + 2 c}{2 \sqrt{a^2 - 4 u}}</math><ref>Implementierbar als<br />
<code>w = sqrt(a^2 - 4 * u)</code><br />
<code>p = (a + w)/2</code><br />
<code>q = ((b - u) * (w + a) - 2 * c)/(2 * w)</code><br />
<code>s = (a - w)/2</code><br />
<code>t = ((b - u) * (w - a) + 2 * c)/(2 * w)</code></ref>

Im Sonderfall <math>4 a b - a^3 = 8 c</math><ref>Quelle: ''[https://kilchb.de/gleichung4a.php kilchb.de].''</ref> ist die Lösung<ref>In diesem Fall ist das Schaubild der Parabel vierten Grades
:<math>y = x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d</math>
symmetrisch zu der Geraden mit der Gleichung
:<math>x = -\frac{a}{4}</math>.
Die Lösung erhält man durch Substitution
:<math>x = u - \frac{a}{4}</math>
über die elementar lösbare Gleichung
:<math>u^4 + b u^2 + d = 0</math>.</ref>

:<math>p = \frac{a}{2}</math>

:<math>q = \frac{c}{a} + \sqrt{\frac{c^2}{a^2} - d}</math> (Falls <math>a = 0</math> ist, ist die Ausgangsgleichung <math>x^4 + b x^2 + d = 0</math> zu lösen.)<ref>''[https://www.kilchb.de/gleichung4a.php#VI kilchb.de].''</ref>

:<math>s = \frac{a}{2}</math>

:<math>t = \frac{c}{a} - \sqrt{\frac{c^2}{a^2} - d}</math>

'''Beispiel 1:''' Von <math>x^4 - x^3 - x^2 + 4 x - 2 = 0</math> kommt man auf die Gleichung 3. Grades

:<math>u^3 + 2 u^2 + 5 u + 10 = 0</math>.

Eine Lösung ist <math>u = -2</math>. Daraus ergibt sich die Zerlegung:

:<math>x^4 - x^3 - x^2 + 4 x - 2 = \left(x^2 + x - 1\right) \left(x^2 - 2 x + 2\right)</math>.

'''Beispiel 2:''' Von <math>x^4 - 3 x^3 - 8 x - 6 = 0</math> kommt man auf die Gleichung 3. Grades

:<math>u^3 + 10 = 0</math>.

Eine Lösung ist <math>u= -\sqrt[3]{10}</math>. Daraus ergibt sich die Zerlegung:

:<math>x^4 - 3 x^3 - 8 x - 6 = \left(x^2 + p x + q\right) \left(x^2 + s x + t\right)</math> mit

:<math>p = \frac{3 + \sqrt{9 + 4 \sqrt[3]{10}}}{2} \approx 3{,}598674508</math>

:<math>q = \frac{\sqrt{9 + 4 \sqrt[3]{10}} \sqrt[3]{10} + 16 + 3 \sqrt[3]{10}}{2 \sqrt{9 + 4 \sqrt[3]{10}}} \approx 3{,}753109199</math>

:<math>s = \frac{3 - \sqrt{9 + 4 \sqrt[3]{10}}}{2} \approx -0{,}598674508</math>

:<math>t = \frac{\sqrt{9 + 4 \sqrt[3]{10}}\sqrt[3]{10} - 16 - 3 \sqrt[3]{10}}{2 \sqrt{9 + 4\sqrt[3]{10}}} \approx -1{,}598674508</math>

'''Beispiel 3:''' <math>x^4 + 4 x^3 - 11 x^2 - 30 x + 50 = \left(x^2 + 2 x - 5\right) \left(x^2 + 2 x - 10\right)</math>.

Hier ist <math>a = 4, b = -11, c = -30</math> und <math>d = 50</math>. Es liegt der Sonderfall <math>4 a b - a^3 = 8 c</math> vor.

===  Methode von Lagrange ===

Mit dieser auf [[Joseph-Louis Lagrange]] zurückgehenden Methode kann die reduzierte Gleichung <math>y^4 + p y^2 + q y + r = 0</math> gelöst werden. Die Koeffizienten seien reelle oder komplexe Zahlen. Allgemeiner sind Koeffizienten aus einem beliebigen [[Körper (Algebra)|Körper]] möglich, sofern die [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] ungleich 2 und ungleich 3 ist. Sind <math>y_1, y_2, y_3, y_4</math> die Lösungen der reduzierten Gleichung, so werden folgendermaßen die Hilfsgrößen <math>z_1, z_2, z_3</math> eingeführt.<ref name="Karpfinger-Meyberg">{{Literatur |Titel=Algebra |Autor=Christian Karpfinger, Kurt Meyberg |Verlag=Springer Spektrum |Auflage=5 |Datum=2020 |ISBN=978-3-662-61951-3 |Seiten=452-453 |Kommentar=Hier wird z mit umgekehrtem Vorzeichen verwendet.}}</ref>
:<math>\begin{align}
z_1 & = - (y_1 + y_2) \, (y_3 + y_4)\\
z_2 & = - (y_1 + y_3) \, (y_2 + y_4)\\
z_3 & = - (y_1 + y_4) \, (y_2 + y_3)
\end{align}</math>
Unter Verwendung [[Elementarsymmetrisches Polynom|elementarsymmetrischer Polynome]] und des [[Satz von Vieta|Satzes von Vieta]] kann gezeigt werden, dass <math>z_1, z_2, z_3</math> die Lösungen der kubischen Gleichung
:<math>z^3 + 2 p z^2 + (p^2 - 4 r) z - q^2 = 0</math>
sind.<ref name="Karpfinger-Meyberg" /> <math>z_1, z_2, z_3</math> lassen sich also z.&nbsp;B. mit der [[Cardanische Formeln|cardanischen Formel]] ermitteln. Das Polynom auf der linken Seite wird als ''kubische Resolvente'' ([[Lagrange-Resolvente]]) bezeichnet.

Drei weitere Hilfsgrößen <math>u_1, u_2, u_3</math> seien definiert durch:
:<math>\begin{align}
u_1 & = y_1 + y_2\\
u_2 & = y_1 + y_3\\
u_3 & = y_1 + y_4
\end{align}</math>
Zur Berechnung von <math>u_1, u_2, u_3</math> werden – unter Berücksichtigung von <math>y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 0</math> (Satz von Vieta) – folgende Gleichungen aufgestellt:
:<math>\begin{align}
u_1^2 & = (y_1 + y_2)^2 = (y_1 + y_2) \, (-y_3 - y_4) = z_1\\
u_2^2 & = (y_1 + y_3)^2 = (y_1 + y_3) \, (-y_2 + y_4) = z_2\\
u_3^2 & = (y_1 + y_4)^2 = (y_1 + y_4) \, (-y_2 - y_3) = z_3
\end{align}</math>

Es folgt <math>u_k = \sqrt{z_k}</math> für <math>k = 1, 2, 3</math>. Allerdings ist die Quadratwurzel in <math>\C</math> nicht eindeutig definiert, sodass zunächst acht Kombinationen dieser Quadratwurzeln denkbar wären. Die einschränkende Bedingung für die Wahl der Quadratwurzeln ist
:<math>u_1 u_2 u_3 = -q</math>.<ref name="Karpfinger-Meyberg" />
Es existieren also nur vier Lösungen für das Tripel <math>(u_1, u_2, u_3)</math>.

Die Definitionsgleichungen von <math>u_1</math>, <math>u_2</math> und <math>u_3</math>, zusammen mit <math>y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 0</math>, kann man als [[lineares Gleichungssystem]] für die Unbekannten <math>y_1, y_2, y_3, y_4</math> auffassen. Es ergibt sich:<ref name="Karpfinger-Meyberg" />
:<math>\begin{align}
y_1 & = \frac{1}{2} (u_1 + u_2 + u_3)\\
y_2 & = \frac{1}{2} (u_1 - u_2 - u_3)\\
y_3 & = \frac{1}{2} (-u_1 + u_2 - u_3)\\
y_4 & = \frac{1}{2} (-u_1 - u_2 + u_3)
\end{align}</math>

Im Falle reeller Koeffizienten hängen die Lösungen der Gleichung vierten Grades folgendermaßen mit den Lösungen der kubischen Resolvente zusammen:

{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe5"
! Kubische Resolvente !! Gleichung vierten Grades
|-
| sämtliche Lösungen reell und positiv || vier reelle Lösungen
|-
| sämtliche Lösungen reell, eine positiv und zwei negativ || zwei Paare von zueinander komplex konjugierten Lösungen
|-
| eine positive reelle Lösung und zwei komplexe, zueinander konjugierte Lösungen || zwei reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen
|}

=== Lösungsformel ===
{{Panorama|Quartic Formula wide.svg|11200|Allgemeine Lösungsformel für die Gleichung <math>x^4\!\!+\!ax^3\!\!+\!bx^2\!\!+\!cx\!+\!d\!=\!0</math>}}

== Reelle Koeffizienten ==
Sind alle Koeffizienten reell, lassen sich Fallunterscheidungen für die möglichen Lösungen angeben. Dies beruht auf folgender Tatsache: Ist die nicht-reelle Zahl <math>a + b \mathrm i</math> mit <math>b \ne 0</math> [[Nullstelle]] eines beliebigen Polynoms mit reellen Koeffizienten, so ist es auch die [[Komplexe Konjugation|konjugiert komplexe]] Zahl <math>a - b \mathrm i</math> ([[Fundamentalsatz der Algebra#Anmerkung zum Fall reeller Koeffizienten|Beweis]]). Bei der Zerlegung des zugehörigen Polynoms ergibt das Produkt der beiden Faktoren
:<math>(x - (a + b \mathrm i)) (x - (a - b \mathrm i))</math>
ein quadratisches [[Polynom]] mit reellen Koeffizienten, nämlich <math>x^2 - 2 a x + a^2 + b^2</math>. Also lässt sich jedes Polynom mit reellen Koeffizienten unabhängig von seinem Grad in lineare und quadratische Faktoren mit reellen Koeffizienten zerlegen. Es gibt für die quartische Gleichung also drei Möglichkeiten:
* Die Gleichung hat vier reelle Lösungen. Sie zerfällt in vier Linearfaktoren mit reellen Koeffizienten.
* Die Gleichung hat zwei reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen. Sie zerfällt in zwei Linearfaktoren und einen quadratischen Faktor mit reellen Koeffizienten.
* Die Gleichung hat zwei Paare konjugiert komplexer Lösungen. Sie zerfällt in zwei quadratische Faktoren mit reellen Koeffizienten.

=== Vier reelle Lösungen ===
Unter den Lösungen können einfache Lösungen oder solche mit einer Vielfachheit <math>2, 3</math> oder <math>4</math> sein ([[Fundamentalsatz der Algebra#Beispiel|Erläuterung]]).

Im Einzelnen gibt es diese Möglichkeiten:
* eine Lösung mit Vielfachheit <math>4</math>
:Beispiel: <math>2 x^4 + 8 x^3 + 12 x^2 + 8 x + 2 = 0</math>, zerlegt <math>2 (x + 1)^4 = 0</math>
:hat die vierfache Lösung <math>x_{1, 2, 3, 4} = -1</math>.
* eine Lösung mit Vielfachheit <math>3</math> und eine einfache Lösung
:Beispiel: <math>\tfrac{1}{2} x^4 -3 x^3 + 6 x^2 - 4 x = 0</math>, zerlegt <math>\tfrac{1}{2} (x - 2)^3 \, x = 0</math>
:hat die dreifache Lösung <math>x_{1, 2, 3} = 2</math> und die einfache Lösung <math>x_4 = 0</math>.
* zwei Lösungen, jeweils mit Vielfachheit <math>2</math>
:Beispiel: <math>x^4 + 2 x^3 - 11 x^2 - 12 x + 36 = 0</math>, zerlegt <math>(x - 2)^2 (x + 3)^2 = 0</math>
:hat die zweifache Lösung <math>x_{1, 2} = 2</math> und die zweifache Lösung <math>x_{3, 4} = -3</math>.
* eine Lösung mit Vielfachheit <math>2</math> und zwei einfache Lösungen
:Beispiel: <math>5 x^4 - \tfrac{15}{2} x^3 -\tfrac{45}{2} x^2 -\tfrac{5}{2} x + \tfrac{15}{2} = 0</math>, zerlegt <math>5 (x + 1)^2 (x - 3) \left(x - \tfrac{1}{2}\right) = 0</math>
:hat die zweifache Lösung <math>x_{1, 2} = -1</math> und die einfachen Lösungen <math>x_3 = 3, \, x_4 = \tfrac{1}{2}</math>.
* vier einfache Lösungen
:Beispiel: <math>x^4 + x^3 - 4 x^2 - 4 x = 0</math>, zerlegt <math>(x - 2) (x + 1) (x + 2) x = 0</math>
:hat die einfachen Lösungen <math>x_1 = 2, x_2 = -1, x_3 = -2, x_4 = 0</math>.

=== Zwei reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen ===
Auch hier kann die reelle Lösung mit Vielfachheit <math>2</math> auftreten. Es gibt also diese beiden Möglichkeiten:
* eine reelle Lösung mit Vielfachheit <math>2</math> und zwei konjugiert komplexe Lösungen
:Beispiel: <math>x^4 - 4 x^3 + 7 x^2 - 6 x + 2 = 0</math>, zerlegt <math>(x - 1)^2 (x - (1 + \mathrm i)) (x - (1 - \mathrm i))  = 0</math>
:oder mit reellem quadratischem Faktor <math>(x - 1)^2 \left(x^2 - 2 x + 2\right) = 0</math>
:hat die zweifache Lösung <math>x_{1, 2} = 1</math> und die konjugiert komplexen Lösungen <math>x_3 = 1 + \mathrm i, x_4 = 1 - \mathrm i</math>.
* zwei einfache reelle Lösungen und zwei konjugiert komplexe Lösungen
:Beispiel: <math>-x^4 + 3 x^3 - 2 x^2 - 16 x + 16 = 0</math>, zerlegt <math>-(x - 1) (x + 2) (x - (2 + 2 \mathrm i)) (x - (2 - 2 \mathrm i)) = 0</math>
:oder mit reellem quadratischem Faktor <math>-(x - 1) (x + 2) \left(x^2 - 4 x + 8\right) = 0</math>
:hat die einfachen Lösungen <math>x_1 = 1, \, x_2 = -2</math> und die konjugiert komplexen Lösungen <math>x_3 = 2 + 2 \mathrm i, \, x_4 = 2 - 2 \mathrm i</math>.

=== Zwei Paare konjugiert komplexer Lösungen ===
Hier gibt es diese beiden Möglichkeiten:
* zwei konjugiert komplexe Lösungen mit Vielfachheit <math>2</math>
:Beispiel: <math>x^4 - 4 x^3 + 14 x^2 - 20 x + 25 = 0</math>, zerlegt <math>(x - (1 + 2 \mathrm i))^2 (x - (1 - 2 \mathrm i))^2 = 0</math>
:oder mit zwei reellen quadratischen Faktoren <math>\left(x^2 - 2 x + 5\right) \left(x^2 - 2 x + 5\right) = 0</math>
:hat die zweifachen konjugiert komplexen Lösungen <math>x_{1, 2} = 1 + 2 \mathrm i, \, x_{3, 4} = 1 - 2 \mathrm i</math>.
* zwei Paare einfacher konjugiert komplexer Lösungen
:Beispiel: <math>x^4 - 4 x^3 + \tfrac{21}{4} x^2 - 4 x + \tfrac{17}{4} = 0</math>, zerlegt <math>(x - \mathrm i) (x + \mathrm i) \left(x - \left(2 - \tfrac{1}{2} \mathrm i\right)\right) \left(x - \left(2 + \tfrac{1}{2} \mathrm i\right)\right) = 0</math>
:oder mit zwei reellen quadratischen Faktoren <math>\left(x^2 + 1\right) \left(x^2 - 4 x + \tfrac{17}{4}\right) = 0</math>
:hat die konjugiert komplexen Lösungen <math>x_1 = \mathrm i, \, x_2 = -\mathrm i</math> und <math>x_3 = 2 - \tfrac{1}{2} \mathrm i, \, x_4 = 2 + \tfrac{1}{2} \mathrm i</math>.

== Siehe auch ==
* [[Lineare Gleichung]]
* [[Quadratische Gleichung]]
* [[Kubische Gleichung]]
* [[Lösen von Gleichungen]]
* [[Vorzeichenregel von Descartes]]

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* [[Jörg Bewersdorff]]: ''Algebra für Einsteiger. Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie.'' 6. Auflage, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-26151-1, [[DOI:10.1007/978-3-658-26152-8]], [http://www.galois-theorie.de/pdf/galois-theorie-algebra.pdf Einführung] (PDF; 319&nbsp;kB).
* Johannes Beuriger: ''Zur Auflösung der biquadratischen Gleichungen.'' 1901 ({{ULBDD|urn:nbn:de:hbz:061:1-125993}}).
* [[Heinrich Dörrie (Mathematiker)|Heinrich Dörrie]]: ''Kubische und biquadratische Gleichungen.'' München 1948, [[doi:10.1515/9783486775990]].
* [[Ludwig Matthiessen]]: ''Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen.'' Leipzig 1896, [[doi:10.3931/e-rara-78944]] (frei zugänglich).

== Weblinks ==
* [http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/viertergrad.pdf Biquadratischer Fall, symmetrischer Fall, allgemeiner Fall] (PDF; 65&nbsp;kB).

[[Kategorie:Elementare Algebra]]