Quelltext der Seite Quantenstatistik

{{Redundanztext
|3=Fermi-Dirac-Statistik
|4=Quantenstatistik
|5=Ideales Fermigas|2=März 2024|1=[[Benutzer:Blaues-Monsterle|Blaues-Monsterle]] ([[Benutzer Diskussion:Blaues-Monsterle|Diskussion]]) 21:17, 5. Mär. 2024 (CET)}}
Die '''Quantenstatistik''' wendet zur Untersuchung [[makroskopisch]]er Systeme die Methoden und Begriffe der klassischen [[statistische Physik|statistischen Physik]] an und berücksichtigt zusätzlich die [[Quantenmechanik|quantenmechanischen]] Besonderheiten im Verhalten der Teilchen. Sie geht davon aus, dass sich das System in einem Zustand befindet, der nur durch makroskopische Größen bestimmt ist, aber durch eine große Anzahl verschiedener, nicht näher bekannter, [[Mikrozustand|Mikrozustände]] realisiert sein kann. Jedoch wird das Abzählen der verschiedenen möglichen Mikrozustände dahin gehend abgeändert, dass das Vertauschen zweier gleicher Teilchen keinen ''verschiedenen'' Mikrozustand hervorbringt. Damit wird dem besonderen Charakter der [[Ununterscheidbare Teilchen|Ununterscheidbarkeit identischer Teilchen]] Rechnung getragen. Außerdem werden für die Energien der Zustände einzelner Teilchen nur die quantenmechanisch möglichen Werte zugelassen.

Wie die Quantenmechanik berücksichtigt auch die Quantenstatistik die folgende doppelte Unkenntnis:<ref>Wolfgang Nolting: ''Grundkurs Theoretische Physik 6: Statistische Physik.'' Springer, 2007, ISBN 3540688714, S. 101 ({{Google Buch |BuchID=W2ZiWP5V9QsC |Seite=101 |Hervorhebung=doppelte Unkenntnis}}).</ref>
# Kennt man den Zustand eines Systems genau – liegt also ein [[reiner Zustand]] vor – und ist dieser  kein Eigenzustand der [[Observable]]n, so kann man den Messwert einer Einzelmessung dennoch nicht exakt vorhersagen.
# Kennt man den Zustand des Systems nicht genau, so muss von einem [[gemischter Zustand|gemischten Zustand]] ausgegangen werden.

== Erklärung ==

Liegt das System in einem [[Zustand (Quantenmechanik)|Zustand]] vor, der durch einen Vektor <math>|\psi\rangle</math> des [[Hilbertraum]]s oder durch eine [[Wellenfunktion]] <math>\psi)</math> gegeben ist, spricht man von einem [[reiner Zustand|reinen Zustand]]. In Analogie zum klassischen [[Ensemble (Physik)|Ensemble]] werden meist [[Ensemble (Physik)|Ensembles]] verschiedener reiner Zustände <math>|\psi_n\rangle</math> betrachtet, die ''[[Zustandsgemisch]]''e  (auch semantisch weniger präzise als ''gemischten Zustände'' bezeichnet). Diese werden beschrieben durch den [[Dichteoperator]] (auch ''statistischer Operator'', ''Zustandsoperator'' oder ''Dichtematrix'' genannt):

:<math> \rho = \sum_n \;\; p_n |\psi_n \rangle \langle \psi_n| </math>.

Er beschreibt, mit welchen reellen [[Wahrscheinlichkeit]]en <math> p_n \!\,</math> sich das System in den einzelnen reinen Zuständen befindet.

Die Überlagerung ist [[Kohärenz_(Physik)|inkohärent]]. Dies drückt sich darin aus, dass der Dichteoperator von Phasenbeziehungen zwischen den Zuständen <math>|\psi_n \rangle</math> unabhängig ist. Etwaige komplexe Phasenfaktoren, die sich bei [[Interferenz (Physik) #Interferenz in der Quantenmechanik|kohärenter Überlagerung]] auswirken würden, heben sich in den [[Projektionsoperator]]en <math>\hat P_n = |\psi_n \rangle \langle \psi_n|</math> heraus. 

Eine Folge ist, dass Vorgänge, bei denen Kohärenz wichtig ist, z.&nbsp;B. [[Quantencomputer|Quantencomputing]] oder [[Quantenkryptographie]], nicht leicht im Rahmen der Quantenstatistik beschrieben werden können bzw. durch [[Thermodynamik|thermodynamische]] Effekte erschwert werden.

=== Ununterscheidbare Teilchen ===
Die Existenz ''[[ununterscheidbare Teilchen|identischer Teilchen]]'' ist für die Quantenstatistik von fundamentaler Bedeutung. Identische Teilchen sind Quantenobjekte, die sich durch keine [[Quantenmechanische Messung|Messung]] unterscheiden lassen; d.&nbsp;h., der für die Quantenphysik grundlegende [[Hamiltonoperator]] des Systems (siehe z.&nbsp;B. [[Mathematische Struktur der Quantenmechanik]]) muss [[Symmetrie (Physik)|symmetrisch]] in den Teilchenvariablen sein, z.&nbsp;B. in den Orts- und [[Spin]][[freiheitsgrad]]en des einzelnen [[Teilchen]]s. Die [[Vielteilchen-Wellenfunktion]] <math> \psi(1,2,\ldots,N)</math> muss also unter Vertauschung bis auf einen Faktor vom Betrag 1&nbsp;<ref>Wegen der Erhaltung der Wahrscheinlichkeit, die durch <math> |\psi|^2</math> ausgedrückt wird.</ref> gleich bleiben, jeder [[Operator (Mathematik)|Operator]] <math> A </math> einer [[Observable]] [[Kommutator (Mathematik)|kommutiert]] mit jeder [[Permutation]] <math>P</math> der identischen Teilchen:
<math> \left[A,P\right] = 0 </math>

Da jede Permutation aus [[Vertauschung|Transpositionen]] <math>\tau_{ij}</math> zusammengesetzt werden kann und <math>\tau_{ij}^2 = 1</math> gilt, ist es sinnvoll nur total symmetrische (<math>\tau_{ij} = 1</math>) oder total antisymmetrische (<math>\tau_{ij} = -1</math>) [[Vielteilchentheorie|Vielteilchenzustände]] zu betrachten:

<math>\tau_{ij}|\ldots,i,\ldots,j\ldots\rangle = |\ldots,j,\ldots,i,\ldots\rangle = \pm|\ldots,i,\ldots,j,\ldots\rangle </math>.

Mit anderen Worten: für symmetrische Vielteilchenzustände identischer Teilchen bleibt bei Vertauschen zweier beliebiger Teilchen das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] der Gesamtwellenfunktion erhalten, bei antisymmetrischen Vielteilchenzuständen wechselt es.

Das Experiment zeigt, dass die Natur tatsächlich nur solche Zustände realisiert, was am Fehlen von [[Austauschentartung]] erkennbar ist. Man bezeichnet diese Tatsache auch als [[Symmetrisierungspostulat]].

== Bosonen und Fermionen ==
=== Allgemeines ===
Die Wahrscheinlichkeiten <math>p</math>, mit denen ein Vielteilchensystem auf seine einzelnen reinen Zustände verteilt ist, beschreibt für [[Boson]]en die [[Bose-Einstein-Statistik]] und für [[Fermion]]en die [[Fermi-Dirac-Statistik]].

Dabei sind Bosonen Teilchen mit ''ganzzahligem'', Fermionen mit ''halbzahligem'' Spin, jeweils gemessen in Einheiten von <math>\hbar = h/(2\pi )</math> ([[reduzierte Planck-Konstante]]). Außerdem ist die Wellenfunktion der Bosonen [[Symmetrische Funktion|symmetrisch]] und diejenige der Fermionen [[Antisymmetrische Funktion|antisymmetrisch]].

Diese Verknüpfung des Teilchenspins mit der Symmetrie der Wellenfunktion bzw. dem Vorzeichen der Wellenfunktion bei Vertauschung zweier Teilchen wird als [[Spin-Statistik-Theorem]] bezeichnet. Es wurde von [[Wolfgang Pauli]] aus allgemeinen Prinzipien der [[relativistisch]]en [[Quantenfeldtheorie]] bewiesen.

In zwei Dimensionen ist auch ein [[Zustand (Quantenmechanik)#Phasenfaktor und Superposition|Phasenfaktor]] <math>\mathrm e^{i\phi}</math> bei Vertauschung denkbar, diese Teilchen werden [[Anyon]]en genannt, bisher aber nicht beobachtet. Bei Anyonen können [[rationale Zahlen]] für den Spin auftreten.

Beispiele für quantenstatistische Effekte, d.&nbsp;h. Effekte, bei denen die Vertauschungseigenschaften der Gesamtwellenfunktion eine entscheidende Rolle spielen, sind:
* für Bosonen
** [[Bose-Einstein-Kondensation]]
** [[Supraleitfähigkeit]] ([[Cooper-Paare]] als Bosonen)
** [[Suprafluidität]]
** [[Hohlraumstrahlung]] schwarzer Körper.
* für Fermionen
** [[Wärmekapazität]] von [[Festkörper]]n
** [[Bandstruktur|Bänderstruktur]] von [[Metall]]en und [[Halbleiter]]n,
** Widerstand von [[weißer Zwerg|weißen Zwergen]] und [[Neutronenstern]]en gegenüber der [[Gravitation|Eigengravitation]].

=== Zusammenhang mit dem Drehverhalten der Wellenfunktion ===

Auch das ''Drehverhalten der Wellenfunktion'' ist in diesem Zusammenhang interessant: bei einer räumlichen Drehung um 360° ändert sich die Wellenfunktion <math> \psi(1,2,\ldots,N)</math> für Fermionen nur um 180°:

:<math> \psi(1,2,\ldots,N) \mapsto \mathrm e^{i\pi} \psi(1,2,\ldots,N) = -\psi(1,2,\ldots,N)</math>,

während sie sich für Bosonen reproduziert:

:<math> \psi(1,2,\ldots,N) \mapsto \mathrm e^{i2\pi} \psi(1,2,\ldots,N) = +\psi(1,2,\ldots,N)</math>.

Durch eine solche 360°-Drehung kann die Vertauschung zweier Teilchen erfolgen: Teilchen 1 bewegt sich zum Ort 2, z.&nbsp;B. auf der ''oberen'' Hälfte einer Kreislinie, während Teilchen 2 sich zum leer gewordenen Ort von 1 auf der ''unteren'' Halbkreislinie bewegt, um ein Zusammentreffen zu vermeiden. Das Ergebnis der Permutationsgleichung passt also zum ungewöhnlichen Drehverhalten fermionischer Wellenfunktionen (mathematische Struktur: siehe ''Doppelgruppe'' [[SU(2)]] zur gewöhnlichen [[Drehgruppe]] SO(3)).

=== Statistik idealer Quantengase ===

Zur Herleitung der Statistik idealer Quantengase betrachten wir ein
System im [[Großkanonisches Ensemble|großkanonischen Ensemble]], d.&nbsp;h. das betrachtete System
sei an ein [[Wärmebad]] und an ein Teilchenreservoir angekoppelt. Die großkanonische
[[Zustandssumme]] ist dann gegeben durch
:<math>
Z_{G}=\mathrm{Tr}\, \mathrm e^{-\beta(\hat{H}-\mu\hat{N})}\,,
</math>
wobei <math>\mathrm{Tr}</math> die [[Spur (Mathematik)|Spurbildung]], <math>\hat{H}</math> der [[Hamilton-Operator]] und <math>\hat{N}</math>
der [[Teilchenzahloperator]] ist. Die Spur lässt sich am einfachsten mit
gemeinsamen [[Eigenzustand|Eigenzuständen]] zu beiden Operatoren ausführen. Dies erfüllen
die sog. [[Fock-Zustand|Fockzustände]] <math>|n_{1},n_{2},\ldots,n_{\nu},\ldots\rangle</math>.
Dabei ist <math>n_{\nu}</math> die Besetzungszahl des <math>\nu</math>-ten Eigenzustands.
Dann schreibt sich die Zustandssumme als
:<math>
Z_{G}=\sum_{N}\sum_{E}\mathrm e^{-\beta(E-\mu N)}\,
</math>
Dabei hängt die Energie <math>E</math> von der Gesamtteilchenanzahl <math>N=\Sigma_{\nu}n_{\nu}</math>
und der Besetzung der jeweiligen Eigenzustände ab. Der <math>\nu</math>-te Eigenzustand
habe die Energie <math>\varepsilon_{\nu}</math>. Dann bedeutet eine <math>n_{\nu}</math>-fache
Besetzung des <math>\nu</math>-ten Eigenzustandes einen Energiebeitrag von <math>E_{\nu}=n_{\nu}\varepsilon_{\nu}</math>
und Gesamtenergie <math>E</math> von <math>E_{N}=\Sigma_{\nu}E_{\nu}</math>. Somit lautet
die Zustandssumme
:<math>\begin{align}
Z_{G} & =\sum_{N=0}^{\infty}\sum_{\{n_{\nu}\in I|\Sigma_{\nu}n_{\nu}=N\}}\mathrm e^{-\beta\sum_{\nu}(\varepsilon_{\nu}-\mu)n_{\nu}}\,\\
 & =\sum_{N=0}^{\infty}\sum_{\{n_{\nu}\in I|\Sigma_{\nu}n_{\nu}=N\}}\prod_{\nu}\mathrm e^{-\beta(\varepsilon_{\nu}-\mu)n_{\nu}}\,
\end{align}</math>
Die zweite Summe läuft über alle möglichen Besetzungszahlen <math>n_{\nu}\in I</math>
(<math>I=\{0,1\}</math> für Fermionen, bzw. <math>I=\mathbb{N}_{0}</math> für Bosonen),
deren Summe stets die Gesamtteilchenzahl <math>N</math> ergibt. Da zusätzlich
über alle Gesamtteilchenzahlen <math>N</math> summiert wird, kann man beide
Summen zusammenfassen, indem die Beschränkung in der zweiten Summe
aufgehoben wird:
:<math>
Z_{G}=\prod_{\nu}\sum_{n_{\nu}\in I}\mathrm e^{-\beta(\varepsilon_{\nu}-\mu)n_{\nu}}\,
</math>
Die Summe lässt sich für die beiden Teilchensorten auswerten.
Für Fermionen erhält man
:<math>
Z_{G}=\prod_{\nu}\sum_{n_{\nu}=0}^{1}\mathrm e^{-\beta(\varepsilon_{\nu}-\mu)n_{\nu}}=\prod_{\nu}\left(1+\mathrm e^{-\beta(\varepsilon_{\nu}-\mu)}\right)\,
</math>
und für Bosonen
:<math>\begin{align}
Z_{G} & =\prod_{\nu}\sum_{n_{\nu}=0}^{\infty}\mathrm e^{-\beta(\varepsilon_{\nu}-\mu)n_{\nu}}=\prod_{\nu}\sum_{n_{\nu}=0}^{\infty}\left(\mathrm e^{-\beta(\varepsilon_{\nu}-\mu)}\right)^{n_{\nu}}\\
 & =\prod_{\nu}\frac{1}{1-\mathrm e^{-\beta(\varepsilon_{\nu}-\mu)}}\quad\mathrm{wenn}\quad\beta(\varepsilon_{\nu}-\mu)>0
\end{align}\,</math>
wobei im letzten Schritt die Konvergenz der [[geometrische Reihe|geometrischen Reihe]] gefordert
wurde. Mit Kenntnis der großkanonischen Zustandssumme lässt sich auch
das [[Großkanonisches Potential|großkanonische Potential]]
:<math>\Phi(T,V,\mu)\equiv-\frac{1}{\beta}\ln Z_{G}</math>
angeben. Damit lassen sich die thermodynamischen Größen [[Entropie (Thermodynamik)|Entropie]] <math>S</math>,
[[Druck (Physik)|Druck]] <math>p</math> und [[Teilchenzahl]] <math>N</math> (bzw. jeweils die mittleren Größen)
erhalten:
:<math>
\begin{pmatrix}S\\
p\\
N\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}\partial_{T}\\
\partial_{V}\\
\partial_{\mu}\end{pmatrix}\Phi(T,V,\mu)\,
</math>
Wir interessieren uns hier für die mittlere Besetzungszahl <math>\langle n_{j}\rangle</math>
des <math>j</math>-ten Zustandes. Unter Ausnutzung der Relation <math>\partial\varepsilon_{\nu}/\partial\varepsilon_{j}=\delta_{\nu,j}</math> mit dem [[Kronecker-Delta]] <math>\delta_{\nu,j}</math> erhält man:
:<math>\begin{align}
\langle n_{j}\rangle & =\frac{1}{Z_{G}}\prod_{\nu}\sum_{n_{\nu}\in I}n_{j}\mathrm e^{-\beta(\varepsilon_{\nu}-\mu)n_{\nu}}\\
 & =\frac{1}{Z_{G}}\left(-\frac{1}{\beta}\frac{\partial}{\partial\varepsilon_{j}}\right)\underbrace{\prod_{\nu}\sum_{n_{\nu}\in I}\mathrm e^{-\beta(\varepsilon_{\nu}-\mu)n_{\nu}}}_{=Z_{G}}\\
 & =-\frac{1}{\beta}\frac{\partial}{\partial\varepsilon_{j}}\ln Z_{G}
\end{align}\,</math>
Das ergibt für Fermionen die [[Fermi-Dirac-Verteilung]]
:<math>\begin{align}
\langle n_{j}\rangle & =-\frac{1}{\beta}\frac{\partial}{\partial\varepsilon_{j}}\sum_{\nu}\ln\left(1+\mathrm e^{-\beta(\varepsilon_{\nu}-\mu)}\right)=\frac{\mathrm e^{-\beta(\varepsilon_{j}-\mu)}}{1+\mathrm e^{-\beta(\varepsilon_{j}-\mu)}}\\
 & =\frac{1}{\mathrm e^{\beta(\varepsilon_{j}-\mu)}+1}
\end{align}\,</math>
und für Bosonen die [[Bose-Einstein-Verteilung]]
:<math>\begin{align}
\langle n_{j}\rangle & =-\frac{1}{\beta}\frac{\partial}{\partial\varepsilon_{j}}\sum_{\nu}\ln\frac{1}{1-\mathrm e^{-\beta(\varepsilon_{\nu}-\mu)}}=\frac{\mathrm e^{-\beta(\varepsilon_{j}-\mu)}}{1-\mathrm e^{-\beta(\varepsilon_{j}-\mu)}}\\
 & =\frac{1}{\mathrm e^{\beta(\varepsilon_{j}-\mu)}-1}
\end{align}\,</math>

== Zentrale Anwendungen ==
Der Formalismus berücksichtigt sowohl die thermodynamischen als auch die quantenmechanischen Phänomene.

Der gerade behandelte Unterschied zwischen Fermionen und Bosonen ist dabei wesentlich: So sind z.&nbsp;B. die quantisierten Schallwellen, die sog. [[Phonon]]en, ''Bosonen'', während die [[Elektron]]en ''Fermionen'' sind. Die betreffenden [[elementare Anregung|Elementaranregungen]] liefern in festen Körpern ganz unterschiedliche Beiträge zur [[spezifische Wärme|spezifischen Wärme]]: der ''Phononenbeitrag'' hat eine charakteristische Temperaturabhängigkeit <math>\propto T^3\,,</math> während sich der ''Elektronenbeitrag'' <math>\propto T^1</math> verhält, also bei hinreichend tiefen Temperaturen in allen Festkörpern, in denen beide Anregungen auftreten (z.&nbsp;B. in Metallen), stets der dominierende Beitrag ist.

Für diese und ähnliche Probleme kann man oft auch Methoden der Quantenfeldtheorie anwenden, z.&nbsp;B. [[Feynman-Diagramm]]e. Auch die [[BCS-Theorie|Theorie der Supraleitung]] kann man so behandeln.

== Siehe auch ==
* [[Quantentomographie]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor = [[Neil Ashcroft|N. W. Ashcroft]], [[N. David Mermin|D. N. Mermin]]
|Titel = Festkörperphysik
|Datum = 2005
|Ort = München Wien
|Verlag = Oldenbourg Wissensch.Vlg, 
|ISBN = 9783486577204
}}
* {{Literatur
|Autor  = [[Wolfgang Nolting (Physiker)|Wolfgang Nolting]]
|Titel  = Quantenstatistik
|Sammelwerk=Grundkurs Theoretische Physik
| Band = 6
|Verlag = Springer
|Ort=Berlin Heidelberg
|Datum  = 2007
|ISBN = 978-3-540-68870-9
|Seiten = 101
|Online =
  {{Google Buch
  | BuchID   = b7QfBAAAQBAJ
  | Seite    = 101
  | Linktext = 
  | Hervorhebung = 
  }}
}}
* {{Literatur
|Autor  = [[Wolfgang Nolting (Physiker)|Wolfgang Nolting]]
|Titel  = Viel-Teilchen-Theorie
|Sammelwerk=Grundkurs Theoretische Physik
| Band = 7
|Verlag = Springer
|Ort=Berlin Heidelberg
|Datum  = 2005
|ISBN = 978-3-540-24117-1
}}
* {{Literatur
|Autor  = U. Krey, A. Owen
|Titel  = Basic Theoretical Physics – A Concise Overview
| TitelErg=Part IV
|Verlag = Springer Science & Business Media
|Ort=Berlin Heidelberg
|Datum = 2007
|ISBN = 978-3-540-36804-5
|Online =
  {{Google Buch
  | BuchID   = xZ_QelBmkxYC
 }}
}}

== Einzelnachweise und Fußnoten ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4047991-2}}

[[Kategorie:Quantenphysik]]