Quelltext der Seite Quantenkanal

Der Begriff '''Quantenkanal''' bezeichnet einen [[Kanal (Informationstheorie)|Übertragungskanal]], der [[Quanteninformation]] oder einen [[Zustand (Quantenmechanik)|quantenmechanischen Zustand]] übertragen kann. Eine Informationsübertragung kann mit oder ohne Quantenspeicherung erfolgen. Ein Beispiel für Quanteninformation ist der [[Photon#Spin|Spin]] eines [[Photon]]s (im Wesentlichen die [[Polarisation#Polarisationsarten|Art]] seiner [[Polarisation]]); damit ist eine verschlüsselte oder abhörsichere Informationsübertragung ([[Quantenkryptographie]]) möglich.

In der Literatur wird der Begriff '''Quantenkanal''' für verschiedene Ausprägungen verwendet:
* Ein [[physikalisches System]], das ein [[Qubit]] von einem Ort an einen anderen transportieren kann, also zum Beispiel eine Glasfaser, durch die Photonen versendet werden<ref>{{cite book |author=Matthias Homeister |title=Quantum Computing verstehen |edition=6 |date=2022 |publisher=Springer Fachmedien |location=Wiesbaden |language=de |isbn=978-3-658-36433-5 |page=124}}</ref>
* Die [[Linearer Operator|lineare Abbildung]] <math>Q</math>, die den Input- auf den Output-Zustand des Kanals abbildet und dabei die Eigenschaften eines realen (also nicht-idealen) Kanals berücksichtigt. Die Menge der dabei auftretenden Abbildungen (oft auch als „Quantenoperationen“ bezeichnet) enthält alle deterministischen, von der Quantenmechanik erlaubten Abbildungen (Definition s.&nbsp;u.) auf dem Input-Raum. Daher wird auch, unabhängig vom Bild des Übertragungskanals, jede solche Abbildung als Quantenkanal bezeichnet. Mit Ausnahme der (nicht-deterministischen) [[Quantenmechanische Messung|Messungen]]<ref>die auch zu Quantenkanälen führen, wenn das Messergebnis ignoriert, das heißt über alle möglichen Messresultate gemittelt wird (ggf. nach einer vom Messergebnis abhängigen Operation).</ref> beschreiben die Quantenkanäle damit die allgemeinste von der Quantenmechanik erlaubte Zeitentwicklung und insbesondere die Zeitentwicklung [[Offenes System|offener Systeme]] und Prozesse wie [[Dekohärenz]] und [[Dissipation]].
* Ein Paar maximal verschränkter Teilchen, das zum Beispiel bei der [[Quantenteleportation]] dabei hilft, einen Zustand zwischen zwei Quantensystemen zu übertragen.<ref>{{Literatur |Autor=[[Anton Zeilinger]] |Titel=Einsteins Spuk |Auflage=9 |Verlag=Wilhelm Goldmann Verlag |Ort=München |Datum=2007 |ISBN=978-3-442-15435-7 |Seiten=98}}</ref> Dieser Quantenkanal überträgt keine Information. Es ist eine Eigenschaft der Verschränkung, dass die Information dazu in der Verschränkung selber steckt. Man kann durch Messen an der Empfangsseite keine Information gewinnen. Dieser Fall wird unten nicht weiter behandelt.

Ein Quantenkanal wird mathematisch durch einen sogenannten Super-Operator (d.&nbsp;h., einen Operator, der auf Operatoren wirkt) beschrieben. Dieser Super-Operator <math>Q</math> wirkt auf den [[Dichteoperator]] <math>\rho_{in}</math>, der den [[Zustand (Quantenmechanik)|Quantenzustand]] auf der Senderseite beschreibt, und <math>\rho_{out}=Q(\rho_{in})</math> gibt dann den Zustand an, der auf Empfängerseite ankommt.

Ein Super-Operator <math>Q</math>, der auf <math>\mathcal{B(H)}</math>, den Operatoren auf dem Hilbertraum <math>\mathcal{H}</math>, wirkt, ist genau dann ein Quantenkanal, wenn <math>Q</math>
''[[Spur (Mathematik)|spurerhaltend]]'' und ''[[Vollständig positiver Operator|vollständig positiv]]'' ist, das heißt, wenn
# <math>\mathrm{tr}(Q(\rho))=\mathrm{tr}(\rho)</math> für alle <math>\rho</math> und
# für alle positiven Operatoren <math>\sigma\in\mathcal{B(H\otimes K)}</math> gilt, dass auch <math>(Q\otimes\mathbf{1})(\sigma)</math> positiv ist.

Quantenkanäle sind ein zentrales Studienobjekt der Quanteninformatik. Von besonderem Interesse ist ihre Kapazität zur [[Datenübertragung]] in Verallgemeinerung zur [[Kanalkapazität]] der klassischen [[Claude Shannon|Shannonschen]] [[Informationstheorie]]. Zu den wichtigsten Kapazitäten (von denen nicht alle eine klassische Entsprechung haben) gehören die ''klassische Kapazität'' (die angibt, wie viele klassische Bits pro Kanalnutzung fehlerfrei übertragen werden können, im Limit unendlich vieler Verwendungen des Kanals), die ''Quantenkapazität'' (wie viele [[Qubit]]s können im asymptotischen Fall pro Kanalnutzung fehlerfrei übertragen werden), und die ''Privatkapazität'' (wie viel geheime Bits können pro Kanalnutzung übertragen werden). Für die meisten Quantenkanäle können diese Kapazitäten derzeit nur näherungsweise berechnet werden.

Eine spezielle Form von Quantenkanal ist der [[Quantenspeicher]]. Hier geht es um Informationsübertragung in der Zeit, statt wie sonst im Raum. Der mathematische Formalismus (und auch die Fragestellungen an die Kapazität) sind aber genau dieselben.

== Eigenschaften des Quantenkanals ==
Ein Quantenkanal ist durch mehrere Schlüsseleigenschaften, darunter [[Linearität (Physik)|Linearität]], [[Unitärer Operator|Unitarität]], Quantenrauschen<ref>{{Internetquelle |autor=Jürgen Höfling|url=https://www.datacenter-insider.de/was-ist-das-quantenrauschen-a-63e14230d4374094beb5fe650e1ab6ee/ |titel=Was ist das Quantenrauschen?| hrsg=Datacenter Insider |datum=2020-12-08 |abruf=2024-06-08 |sprache=de |abruf-verborgen=1}}</ref>, [[Quantenverschränkung|Verschränkungserzeugung]] und der Einschränkung durch das [[No-Cloning-Theorem]], charakterisiert. Die Eigenschaften sind von wesentlicher Bedeutung für Entwurf und Analyse von Quantenkommunikationssystemen und quantenkryptografischen Protokollen.

Beschrieben werden diese Eigenschaften mathematisch durch [[Lineare Abbildung|lineare Transformationen]], einheitliche Operatoren und die physikalischen Prozesse zur Erzeugung von Verschränkungen.<ref name = "EITCI">{{Internetquelle |autor=|url=https://de.eitca.org/cybersecurity/eitc-is-qcf-quantum-cryptography-fundamentals/quantum-information-carriers/quantum-systems/examination-review-quantum-systems/what-are-the-characteristics-of-a-quantum-channel-and-how-are-they-described-mathematically/ |titel=Was sind die Eigenschaften eines Quantenkanals und wie werden sie mathematisch beschrieben?|titelerg= Grundlagen der Quantenkryptografie |hrsg=[[European Information Technologies Certification Institute|EITCI]] |datum=2013-08-25 |abruf=2024-06-08 |sprache=de |abruf-verborgen=1}}</ref>

=== Linearität ===
Ein Quantenkanal ist linear, wenn er den Prinzipien der [[Zustand (Quantenmechanik)#Superposition von Zuständen|Quantenüberlagerung]] folgt. Mathematisch wird dies durch eine lineare Transformation beschrieben, die üblicherweise durch eine Matrix oder einen  Operator dargestellt wird. Bei einem Quantenkanal, der ein Qubit, überträgt, wird das Eingangs-Qubit entsprechend der [[Dirac-Notation]] für quantenmechanische Zustände durch einen Zustandsvektor <math>\left|\psi\right\rangle</math> [[Qubit#Mathematische Beschreibung|mathematisch beschrieben]], der Kanal durch eine Matrix <math>A</math> und der Ausgangszustand nach Anwendung des Kanals als <math>A\left|\psi\right\rangle</math> repräsentiert.<ref name = "EITCI"/>

=== Unitarität ===
Quantenkanäle müssen einheitlich (unitär) sein, was bedeutet, dass sie die Norm des Eingabezustands beibehalten. Dadurch wird sichergestellt, dass die Wahrscheinlichkeiten unterschiedlicher Ergebnisse konsistent bleiben. Mathematisch wird eine einheitliche Transformation durch eine Matrix <math>U</math> dargestellt, die die Bedingung <math>\ U^{T} U = I</math> erfüllt, wobei <math>\ U^{T}</math> die konjugierte Transponierte von <math>U</math> bezeichnet und <math>I</math> die Identitätsmatrix ist. Diese Bedingung gewährleistet, dass der Kanal reversibel ist und Informationen zuverlässig in beide Richtungen übertragen werden können.<ref name = "EITCI"/>

== Mathematische Darstellung ==
Jeder Quantenkanal lässt sich in der [[Kraus-Darstellung]] schreiben: Für jeden Kanal <math>Q:\mathcal{B(H)\to B(K)}</math> gibt es lineare Operatoren <math>Q_k, k=1,2,\cdots,L</math> mit <math>Q_k:\mathcal{H\to K}</math> und <math>\textstyle \sum_{k=1}^L Q_k^\dagger Q_k = \mathbf{1}_{\mathcal{K}}</math>, sodass für alle <math>\rho</math> gilt
: <math>Q(\rho) = \sum_k Q_k \rho Q_k^\dagger</math>.
Die <math>Q_k</math> werden auch als Kraus-Operatoren bezeichnet. Die Kraus-Darstellung ist nicht eindeutig, Die kleinste Zahl an <math>Q_k</math> die ausreicht, um <math>Q</math> darzustellen, heißt ''Kraus-Rang'' des Quantenkanals ''Q''. Der Kraus-Rang von <math>Q</math> liegt zwischen 1 und dem Produkt der Dimensionen der beiden Hilberträume, <math>\mathrm{dim}(\mathcal{H})\mathrm{dim}(\mathcal{K})</math>. Quantenkanäle mit Kraus-Rang 1 sind unitär.

Jeder Term in der Kraus-Darstellung kann als Zeitevolution des Systems interpretiert werden, die mit Wahrscheinlichkeit <math>p_k=\mathrm{tr}(Q_k\rho Q_k^\dagger)</math> eintritt. Der Quantenkanal beschreibt die Situation, dass nicht bekannt ist, welche dieser Möglichkeiten eintritt, und daher die statistische Mischung aller möglichen Evolutionen betrachtet wird. Die folgende unitäre Darstellung des Quantenkanals macht deutlich, dass man das Auftreten von verschiedenen möglichen Evolutionen und die Mittelung darüber verstehen kann als das Ergebnis von dem Betrachter (der <math>Q</math> zur Beschreibung der Dynamik benutzt) nicht zugänglichen Messungen in der sogenannten „Umgebung“ des betrachteten Quantensystems, das heißt, allen Systeme, die mit dem betrachteten System direkt oder indirekt wechselwirken.

Dieses Bild wird klarer in der folgenden Darstellung von <math>Q</math> als unitäre Evolution auf <math>\mathcal{H}</math> und einem Hilfssystem <math>\mathcal{H'}</math> (im Englischen oft: ''ancilla''). Für jedes <math>Q</math> gilt, dass es für <math>\mathcal{H'}=\mathcal{K}\otimes\mathcal{K}</math> und einen beliebigen Zustand <math>|\phi\rangle\in\mathcal{H'}</math> eine unitäre Abbildung <math>U</math> auf <math>\mathcal{H}\otimes\mathcal{H'}</math> gibt, sodass gilt
: <math> Q(\rho) = \mathrm{tr}_E(U\rho\otimes |\phi\rangle\langle \phi| U^\dagger)</math>,
wobei <math>\mathrm{tr}_E</math> die [[partielle Spur]] über die „Umgebung“, d.&nbsp;h., die ersten beiden Tensorfaktoren <math>\mathcal{H}\otimes\mathcal{K}</math> bezeichnet. Schreibt man die Partialspur mithilfe einer Orthonormalbasis <math>\{|k\rangle\}\in\mathcal{H}\otimes\mathcal{K}</math> aus, so gilt also
:<math> Q(\rho) = \sum_k {}_E\langle k| (U\rho\otimes |\phi\rangle\langle \phi| U^\dagger)|k\rangle_E</math>
und jeder Term der Summe entspricht einem Term in der Kraus-Darstellung mit <math>Q_k={}_E\langle k| U |\phi\rangle_{\mathcal{H'}}</math>.<ref>Beachte, dass <math>U</math> auf <math>\mathcal{H}\otimes\mathcal{K}\otimes\mathcal{K}</math> wirkt. Der Ausdruck <math>\langle k| U |\phi\rangle</math> mit <math>|\phi\rangle\in \mathcal{K}\otimes\mathcal{K}</math> und <math>|k\rangle\in\mathcal{H}\otimes\mathcal{K}</math> ist daher eine lineare Abbildung <math>\mathcal{H}\to\mathcal{K}</math> wie auch die <math>Q_k</math>.</ref>

Die beiden Darstellungen sind äquivalent: aus der Kraus-Darstellung lässt sich das <math>U</math> einer unitären Darstellung konstruieren und umgekehrt aus <math>U,|\phi\rangle</math> die <math>Q_k</math>.

Die unitäre Darstellung wird oft im [[Heisenberg-Bild]] betrachtet (in dem Operatoren, nicht Zustände evolvieren, der Kanal im Heisenberg-Bild wird mit <math>Q^*</math> bezeichnet). Dann erhält man die ''[[Satz von Stinespring|Stinespring-Darstellung]]'' des Quantenkanals <math>Q^*</math> mittels einer [[Isometrie#Vektorräume mit Skalarprodukt|Isometrie]] <math>V:\mathcal{H}\to \mathcal{K}\otimes C^r</math>, wobei <math>r</math> eine [[ganze Zahl]] größer oder gleich dem Kraus-Rang des Kanals ist. Es gilt für alle <math>A\in\mathcal{B(H)}</math>:
:<math> Q^*(A) = V(A\otimes \mathbf{1}_{C^r})V^\dagger</math>.

== Beispiele ==
Mehrere Quantenkanäle wurden wegen ihrer mathematischen Einfachheit oder physikalischen Wichtigkeit benannt und besonders intensiv studiert. Hier ein paar Beispiele:
* Der ''ideale Kanal'' <math>\mathcal{I}(\rho) = \rho</math> beschreibt die fehlerfreie Übertragung.
* Auch jeder ''unitäre Kanal'' <math>\mathcal{U}(\rho) = U\rho U^\dagger</math> ist fehlerfrei und hat maximale Kapazität.
* Der ''depolarisierende Kanal'' <math>\mathcal{D}_p(\rho) = (1-p)\rho + p \mathbf{1}/2</math> beschreibt einen Prozess, bei dem der Inputzustand mit Wahrscheinlichkeit <math>1-p</math> perfekt übertragen wird und mit Wahrscheinlichkeit <math>p</math> als maximal gemischter Zustand (=völlig depolarisiert) ankommt. Für Qubits beschreibt der depolarisierende Kanal den Fall, dass mit Wahrscheinlichkeit von jeweils <math>p/4</math> einer der drei „[[Pauli-Matrizen|Pauli-Fehler]]“ <math>X,Z,Y</math> (Bitflip, Phasenflip, oder beides zusammen) auftritt und mit Wahrscheinlichkeit <math>1-3p/4</math> ideale Transmission.
* Der ''Auslösch-Kanal'' (englisch: ''erasure channel'') <math>\mathcal{E}_p(\rho) = (1-p)\rho + p |E\rangle\langle E|</math> beschreibt einen Prozess, bei dem die Quantenzustand mit Wahrscheinlichkeit <math>p</math> ganz gelöscht wird (zum Beispiel, in dem das Photon, das die Quanteninformation trägt, absorbiert wird) und mit Wahrscheinlichkeit <math>1-p</math> perfekt übertragen wird.
* als ''verschränkungsbrechend'' werden Quantenkanäle bezeichnet, für die gilt, dass sie [[Quantenverschränkung|Verschränkung]] zwischen dem Input-System und jedem weiteren System ''S'' zerstören, d.&nbsp;h., für die gilt, dass der Zustand <math>Q\otimes\mathcal{I}(\rho)</math> immer separabel ist, auch wenn <math>\rho</math> verschränkt war.<ref>Hierbei wird nur die Verschränkung zwischen Outputraum und ''S'' betrachtet.</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Mark M. Wilde |Titel=Quantum Information Theory |Verlag=Cambridge University Press |Datum=2013 |ISBN=978-1-139-52534-3 |arXiv=1106.1445 |DOI=10.1017/CBO9781139525343}}
* {{Literatur |Autor=[[Alexander Semjonowitsch Cholewo|Alexander S. Holevo]] |Titel=Quantum Systems, Channels, and Information |Verlag=De Gruyter |Datum=2012 |ISBN=978-3-11-027325-0|Online=https://books.google.de/books?id=zh_rOYaVIf8C}}
* {{Internetquelle |autor=[[Michael M. Wolf]] |url=http://www-m5.ma.tum.de/foswiki/pub/M5/Allgemeines/MichaelWolf/QChannelLecture.pdf |titel=Quantum Channels & Operations: A Guided Tour |datum=2012 |abruf=2020-03-09 |format=PDF |sprache=en |abruf-verborgen=1}}<!-- hier findet sich nichts von ""A Guided Tour"" -->
* {{Literatur |Autor=[[Michael Nielsen|Michael A. Nielsen]], Isaac L. Chuang |Titel=Quantum Information and Quantum Computation |Verlag=Cambridge University Press |Datum=2001 |ISBN=0-521-63503-9 |Sprache=en}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Quanteninformatik]]